Введение

Математические утверждения, обсуждаемые ниже, независимы от ZFC (канонической аксиоматической теории множеств современной математики, состоящей из аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора), при условии, что ZFC непротиворечива. Утверждение считается независимым от ZFC (иногда это формулируется как "неразрешимое в ZFC"), если его нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом ZFC.

Теория множеств реальной прямой

Существует множество кардинальных инвариантов вещественной прямой, связанных с теорией меры и утверждениями, относящимися к теореме о категории Бейра, точные значения которых независимы от ZFC. Хотя между ними можно доказать нетривиальные соотношения, большинство кардинальных инвариантов могут принимать любое регулярное кардинальное число между ℵ₁ и 2ℵ₀. Это важная область исследований в теории множеств вещественной прямой (см. диаграмму Цихона). MA имеет тенденцию приравнивать большинство интересных кардинальных инвариантов к 2ℵ₀. Подмножество X вещественной прямой называется сильным множеством меры нуль, если для любой последовательности (εₙ) положительных вещественных чисел существует последовательность интервалов (Iₙ), покрывающая X, и такая, что длина Iₙ не превышает εₙ. Гипотеза Бореля, утверждающая, что любое сильное множество меры нуль счетно, независима от ZFC. Подмножество X вещественной прямой называется плотным, если каждый открытый интервал содержит множество элементов X. Вопрос о том, являются ли все плотные множества изоморфными по порядку, независим от ZFC.

Теория порядка

Проблема Суслина ставит вопрос о том, характеризует ли конкретный короткий список свойств упорядоченное множество вещественных чисел R. Это неразрешимо в ZFC. Линия Суслина — это упорядоченное множество, удовлетворяющее этому конкретному списку свойств, но не являющееся упорядоченным изоморфом к R. Принцип ромба ◊ доказывает существование линии Суслина, в то время как MA + ¬CH влечёт за собой EATS (каждое дерево Аронсзайна является специальным), что, в свою очередь, влечёт за собой (но не эквивалентно) несуществование линий Суслина. Рональд Дженсен доказал, что CH не подразумевает существование линии Суслина. Существование деревьев Курепы независимо от ZFC, при условии согласованности недоступного кардинала. Существование разбиения порядкового числа на два цвета без монохромного несчётного последовательно замкнутого подмножества независимо от ZFC, ZFC + CH и ZFC + ¬CH, при условии согласованности кардинала Мало. Эта теорема Шела отвечает на вопрос Х. Фридмана.

Абстрактная алгебра

В 1973 году Саарон Шелах показал, что проблема Уайтхеда («является ли каждая абелева группа A с Ext¹(A, Z) = 0 свободной абелевой группой?») независима от ZFC. Абелева группа с Ext¹(A, Z) = 0 называется группой Уайтхеда; MA + ¬CH доказывает существование несвободной группы Уайтхеда, в то время как V = L доказывает, что все группы Уайтхеда свободны. В одном из самых ранних применений правильного форсирования Шелах построил модель ZFC + CH, в которой существует несвободная группа Уайтхеда. Рассмотрим кольцо A = R[x, y, z] многочленов от трех переменных над действительными числами и его поле частных M = R(x, y, z). Проективная размерность M как модуля над A равна либо 2, либо 3, но от ZFC не зависит, равна ли она 2; она равна 2 тогда и только тогда, когда выполняется CH. Прямое произведение счетного числа полей имеет глобальную размерность 2 тогда и только тогда, когда выполняется гипотеза континуума.

Теория чисел

Можно записать конкретный полином p ∈ Z[x1, …, x9] такой, что утверждение "существуют целые числа m1, …, m9, для которых p(m1, …, m9) = 0" нельзя ни доказать, ни опровергнуть в ZFC (при условии, что ZFC является непротиворечивой). Это следует из решения Юрием Матиясевичем десятой проблемы Гильберта; полином сконструирован таким образом, что он имеет целые корни тогда и только тогда, когда ZFC является несовместимой.

Теория измерения

Более сильная версия теоремы Фубини для положительных функций, где функция больше не предполагается измеримой, а лишь предполагается, что два повторных интеграла определены и существуют, независима от ZFC. С одной стороны, CH подразумевает существование функции на единичном квадрате, чьи повторные интегралы не равны — эта функция является просто индикаторной функцией упорядочения [0, 1], эквивалентного полному упорядочению кардинала ω1. Аналогичный пример можно построить, используя MA. С другой стороны, непротиворечивость сильной теоремы Фубини впервые была показана Фридманом. Её также можно вывести из варианта аксиомы симметрии Фрейлинга.

Топология

Предположение о нормальном пространстве Мура, а именно, что каждое нормальное пространство Мура является метризуемым, может быть опровергнуто при допущении CH или MA + ¬CH, и может быть доказано при допущении определенной аксиомы, подразумевающей существование больших кардиналов. Таким образом, при наличии больших кардиналов, гипотеза о нормальном пространстве Мура независима от ZFC. Различные утверждения о конечных точках, P-точках, Q-точках, а также существование S-пространства, независимы от ZFC. В частности, существование S-пространства подразумевается существованием линии Суслина.

Функциональный анализ

Гарт Дейлс и Роберт М. Соловэй доказали в 1976 году, что гипотеза Капланского, а именно, что каждый алгебраический гомоморфизм из алгебры Банаха C(X) (где X — некоторое компактное хаусдорфово пространство) в любую другую алгебру Банаха должен быть непрерывным, независима от ZFC. CH подразумевает, что для любого бесконечного X существует разрывный гомоморфизм в любую алгебру Банаха. Рассмотрим алгебру B(H) ограниченных линейных операторов на бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве H. Компактные операторы образуют двусторонний идеал в B(H). Вопрос о том, является ли этот идеал суммой двух собственных меньших идеалов, независим от ZFC, как было доказано Андреасом Блассом и Сахароном Шелахом в 1987 году. Чарльз Акеман и Ник Уивер показали в 2003 году, что утверждение "существует контрпример к проблеме Наймарка, порожденный элементами ℵ1" независимо от ZFC. Мирослав Бачак и Петр Хаек доказали в 2008 году, что утверждение "каждое пространство Асплунда с плотностью характера ω1 имеет перенормировку со свойством пересечения Мазура" независимо от ZFC. Результат показан с использованием аксиомы максимума Мартина, в то время как Мар Хименес и Хосе Педро Морено (1997) представили контрпример, предполагая CH. Как показали Ильяс Фарах, Н. Кристофер Филлипс и Ник Уивер, существование внешних автоморфизмов алгебры Калкина зависит от теоретико-множественных предположений, выходящих за рамки ZFC. Проблема Ветцеля, которая спрашивает, является ли каждое множество аналитических функций, принимающее в каждой точке не более счетное число различных значений, обязательно счетным, верна тогда и только тогда, когда гипотеза континуума ложна.

Теория моделей

Предположение Чанга независимо от ZFC при условии согласованности кардинала Эрдоша.

Теория вычислимости

Марсия Грозек и Теодор Сламан привели примеры утверждений, независимых от ZFC, относительно структуры степеней Тьюринга. В частности, вопрос о существовании максимально независимого множества степеней мощности, меньшей континуума.