Введение

Терминология квантовой физики

Связанное состояние – это композитная система, состоящая из двух или более фундаментальных строительных блоков, таких как частицы, атомы или тела, которая ведет себя как единый объект, и для разделения которых требуется энергия. В квантовой физике связанное состояние – это квантовое состояние частицы, находящейся под воздействием потенциала, в результате чего частица имеет тенденцию локализоваться в одной или нескольких областях пространства. Потенциал может быть внешним или возникать вследствие присутствия другой частицы; в последнем случае связанное состояние можно определить как состояние, представляющее две или более частиц, энергия взаимодействия которых превышает суммарную энергию отдельных частиц. Следствием этого является то, что при потенциале, стремящемся к нулю на бесконечности, отрицательные энергетические состояния должны быть связаны. Энергетический спектр множества связанных состояний обычно дискретен, в отличие от состояний рассеяния свободных частиц, имеющих непрерывный спектр. Хотя метастабильные состояния с положительной энергией взаимодействия, но длительным временем жизни, строго говоря не являются связанными, их часто рассматривают как неустойчивые связанные состояния, называемые «квазисвязанными состояниями». Примерами служат радионуклиды и атомы Ридберга. В релятивистской квантовой теории поля стабильное связанное состояние n частиц с массами соответствует полюсу в S-матрице с энергией центра масс, меньшей чем . Неустойчивое связанное состояние проявляется как полюс с комплексной энергией центра масс.

Примеры

Протон и электрон могут двигаться отдельно; когда они это делают, общая энергия центра масс положительна, и такую пару частиц можно описать как ионизированный атом. Как только электрон начинает "вращаться" вокруг протона, энергия становится отрицательной, и образуется связанное состояние – а именно атом водорода. Только самое низкое энергетическое состояние, основное состояние, стабильно. Другие возбужденные состояния нестабильны и распадаются в стабильные (но не другие нестабильные) связанные состояния с меньшей энергией, излучая фотон. "Атом" позитрония – это нестабильное связанное состояние электрона и позитрона. Он распадается на фотоны. Любое состояние в квантовом гармоническом осцилляторе является связанным, но имеет положительную энергию. Следует отметить, что , поэтому нижеизложенное не применимо. Ядро – это связанное состояние протонов и нейтронов (нуклонов). Сам протон является связанным состоянием из трех кварков (два верхних и один нижний; один красный, один зеленый и один синий). Однако, в отличие от атома водорода, отдельные кварки никогда не могут быть изолированы. См. концепцию конфайнмента. Модели Хаббарда и Джейнса–Каммингса–Хаббарда (JCH) поддерживают подобные связанные состояния. В модели Хаббарда два отталкивающихся бозонных атома могут образовывать связанную пару в оптической решетке. Гамильтониан JCH также поддерживает два поляритонных связанных состояния, когда взаимодействие фотон-атом достаточно сильно.

Свойства

Поскольку конечно нормализуемые состояния должны лежать в чистой точечной части спектра, связанные состояния также должны лежать в чистой точечной части спектра. Однако, как указали Нейман и Вигнер, энергия связанного состояния может находиться в непрерывной части спектра. Это явление называется существованием связанного состояния в континууме.

Состояния, связанные с позицией

Рассмотрим одномерное уравнение Шрёдингера. Если состояние имеет энергию , то волновая функция ψ удовлетворяет следующему уравнению для некоторого , так что ψ экспоненциально убывает при больших значениях x. Это поведение хорошо изучено для плавно меняющихся потенциалов в рамках WKB-приближения для волновой функции, где наблюдается осциллирующее поведение, если правая часть уравнения отрицательна, и поведение, растущее или убывающее, если она положительна. Следовательно, отрицательные энергетические состояния являются связанными, если V стремится к нулю при бесконечности.

Не дегенерация в одномерных состояниях

Можно показать, что одномерные связанные состояния не вырождаются по энергии для хорошо себя ведущих волновых функций, стремящихся к нулю на бесконечности. Это не обязательно верно для волновых функций в более высоких измерениях. Благодаря свойству невырожденных состояний, одномерные связанные состояния всегда могут быть выражены как вещественные волновые функции. Доказательство: Рассмотрим два собственных состояния с одинаковым собственным значением энергии и . Поскольку уравнение Шрёдингера, которое выражается как: выполняется для i = 1 и 2, вычитая одно уравнение из другого, получаем: которое можно переписать в виде условия: Поскольку , переходя к пределу при x, стремящемся к бесконечности, обе волновые функции обращаются в ноль, что дает: Решая относительно , получаем: , что доказывает, что собственная функция энергии одномерного связанного состояния является единственной. Более того, можно показать, что эти волновые функции всегда могут быть представлены полностью вещественной волновой функцией. Определим вещественные функции и такие, что Тогда, из уравнения Шрёдингера: получаем, что поскольку все члены в уравнении являются вещественными числами: выполняется для i = 1 и 2. Таким образом, каждое одномерное связанное состояние может быть представлено полностью вещественными собственными функциями. Следует отметить, что представление волновых функций в виде вещественной функции, полученное в этом доказательстве, применимо ко всем невырожденным состояниям в общем случае.

Теорема о узлах

Теорема об узлах гласит, что n-я связанная волновая функция, упорядоченная по возрастанию энергии, имеет ровно n-1 узлов, то есть точек, где волновая функция равна нулю. Из-за формы стационарного уравнения Шредингера физическая волновая функция не может иметь бесконечного числа узлов, поскольку это соответствует нефизическому решению.