Введение

Историческое развитие геометрии

Геометрия (от γεωμετρία; geo — «земля», metron — «измерение») возникла как область знаний, занимающаяся пространственными отношениями. Геометрия была одной из двух областей математики до нового времени, другой — изучение чисел (арифметика). Классическая геометрия была сосредоточена на построениях с помощью циркуля и линейки. Геометрия была революционизирована Евклидом, который ввел математическую строгость и аксиоматический метод, который используется до сих пор. Его книга «Начала» широко считается самым влиятельным учебником за всю историю и была известна всем образованным людям на Западе вплоть до середины XX века. В наше время геометрические понятия были обобщены до высокой степени абстракции и сложности и подверглись методам математического анализа и абстрактной алгебры, так что многие современные направления в этой области едва ли узнаваемы как потомки первоначальной геометрии. (См. Разделы математики и Алгебраическая геометрия.)

Ранняя геометрия

Самые ранние известные сведения о геометрии восходят к древним народам, таким как цивилизация долины Инда (см. математика Хараппы) и Древняя Вавилония (см. вавилонская математика), примерно с 3000 года до н.э. Ранняя геометрия представляла собой собрание принципов, открытых эмпирическим путем и касающихся длин, углов, площадей и объемов, которые разрабатывались для решения практических задач в области землемерия, строительства, астрономии и различных ремесел. Среди этих принципов были некоторые удивительно сложные, и современному математику было бы непросто вывести некоторые из них без использования математического анализа и алгебры. Например, и египтяне, и вавилоняне были знакомы с вариантами теоремы Пифагора примерно за 1500 лет до Пифагора, а индийские «Сульба-сутры» около 800 года до н.э. содержали первые формулировки этой теоремы; египтяне владели верной формулой для вычисления объема усеченной квадратной пирамиды.

Вавилонская геометрия

Вавилоняне, возможно, знали общие правила измерения площадей и объемов. Они измеряли окружность круга как утроенный диаметр, а площадь – как одну двенадцатую часть квадрата окружности, что было бы верно, если бы π оценивалось как 3. Объем цилиндра определялся как произведение площади основания на высоту, однако объем усеченного конуса или квадратной пирамиды ошибочно определялся как произведение высоты на половину суммы площадей оснований. Вавилонянам также была известна теорема Пифагора. Кроме того, недавно была обнаружена табличка, в которой π использовалось как 3 и 1/8. Вавилоняне также известны вавилонской милей – мерой расстояния, равной примерно семи современным милям. Эта мера расстояний впоследствии была преобразована во временную милю, используемую для измерения пути Солнца, и, таким образом, представляла время. Недавние открытия показывают, что древние вавилоняне могли открыть астрономическую геометрию почти за 1400 лет до европейцев.

Геометрия индийских ведов

В индийский ведический период существовала традиция геометрии, которая в основном выражалась в строительстве сложных алтарей. Ранние индийские тексты (1-е тысячелетие до н.э.) на эту тему включают «Сатапата-брахману» и «Шульба-сутры». Согласно [источнику], «Шульба-сутры содержат самое раннее дошедшее до нас словесное выражение теоремы Пифагора в мире, хотя она уже была известна древним вавилонянам». Диагональный шнур (акшанья-раджжу) прямоугольника производит то же самое, что боковые (паршвамани) и поперечные (тирьяньмани) <шнуры> производят по отдельности. В них содержатся списки пифагорейских троек, являющихся частными случаями диофантовых уравнений. Также содержатся утверждения (которые, как мы теперь знаем, являются приближенными) о квадратуре круга и «окружении квадрата». «Баудхаяна-шульба-сутра», наиболее известная и древняя из «Шульба-сутр» (датируется VIII или VII веком до н.э.), содержит примеры простых пифагорейских троек, такие как: , , , , , а также формулировку теоремы Пифагора для сторон квадрата: «Шнур, натянутый по диагонали квадрата, образует площадь вдвое большую, чем площадь исходного квадрата». [Текст] содержит пятнадцать пифагорейских троек с довольно большими значениями, включая (13500, 12709, 18541), являющуюся примитивной тройкой, что, в частности, указывает на глубокое понимание этой темы в Месопотамии в 1850 году до н.э. «Поскольку эти таблички предшествуют периоду «Шульба-сутр» на несколько столетий, и учитывая контекстуальное появление некоторых троек, разумно предположить, что аналогичное понимание существовало и в Индии». Дани продолжает: «Поскольку основной целью «Шульба-сутр» было описание построения алтарей и связанных с ними геометрических принципов, тема пифагорейских троек, даже если она была хорошо понята, могла и не найти отражения в «Шульба-сутрах». Встречаемость троек в «Шульба-сутрах» сопоставима с математикой, которую можно встретить во вводной книге по архитектуре или другой подобной прикладной области, и не будет напрямую соответствовать общим знаниям по этой теме в то время. Поскольку, к сожалению, не обнаружено других современных источников, возможно, никогда не удастся удовлетворительно решить этот вопрос». Хотя сам он не был математиком, его взгляды на математику оказали большое влияние. Математики, таким образом, приняли его убеждение, что геометрия должна использовать только циркуль и линейку – никогда не измерительные инструменты, такие как размеченная линейка или транспортир, поскольку это инструменты ремесленника, недостойные ученого. Это правило привело к глубокому изучению возможных построений с помощью циркуля и линейки, а также к трем классическим задачам построения: как с помощью этих инструментов трисектировать угол, построить куб вдвое больше заданного и построить квадрат, равный по площади заданному кругу. Доказательства невозможности этих построений, наконец достигнутые в XIX веке, привели к важным принципам, касающимся глубокой структуры системы действительных чисел. Аристотель (384–322 до н.э.), величайший ученик Платона, написал трактат о методах рассуждения, используемых в дедуктивных доказательствах (см. Логика), который не был существенно улучшен до XIX века.

Евклид

Евклид (ок. 325 – 265 до н. э.) из Александрии, вероятно, ученик Академии, основанной Платоном, написал трактат в 13 книгах (главах) под названием «Элементы геометрии», в котором он представил геометрию в идеальной аксиоматической форме, получившей название евклидовой геометрии. Трактат не является сборником всех знаний о геометрии, которыми обладали эллинистические математики того времени; сам Евклид написал восемь более углубленных книг по геометрии. Из других источников известно, что «Элементы» не были первым учебником по элементарной геометрии, но они были настолько превосходящими, что остальные вышли из употребления и были утеряны. Его пригласил в Александрийский университет Птолемей I, царь Египта. «Элементы» начинаются с определений терминов, фундаментальных геометрических принципов (называемых аксиомами или постулатами) и общих количественных принципов (называемых общими положениями), из которых логически можно вывести всю остальную геометрию. Далее приведены пять его аксиом, несколько перефразированных для облегчения понимания. Любые две точки можно соединить прямой линией. Любую конечную прямую можно продолжить в прямую. Окружность можно построить с любым центром и любым радиусом. Все прямые углы равны между собой. Если две прямые линии в плоскости пересечены другой прямой линией (называемой секущей), и внутренние углы между этими двумя линиями и секущей, лежащие по одну сторону от секущей, в сумме составляют меньше двух прямых углов, то на этой стороне от секущей эти две прямые, продолженные, пересекутся (также называемый постулатом о параллельных). Понятия, которые сейчас понимаются как алгебра, были выражены Евклидом геометрически, методом, известным как греческая геометрическая алгебра.

Архимед

Архимед (287–212 до н.э.) из Сиракуз, Сицилия, когда это был греческий город-государство, был одним из самых известных математиков эллинистического периода. Он известен формулировкой гидростатического принципа (известного как принцип Архимеда) и своими трудами по геометрии, включая «Измерение круга» и «О конических и сфероидальных сечениях». Его труд «О плавающих телах» является первой известной работой по гидростатике, и Архимед признан её основателем. Переводы его работ эпохи Возрождения, включая древние комментарии, оказали огромное влияние на работы выдающихся математиков XVII века, в частности Рене Декарта и Пьера де Ферма.

После Архимеда

После Архимеда эллинистическая математика начала приходить в упадок. Впереди ещё должно было появиться несколько незначительных ученых, но золотой век геометрии завершился. Прокл (410–485), автор «Комментария к первой книге Евклида», был одним из последних значительных деятелей эллинистической геометрии. Он был компетентным геометром, но, что более важно, он был выдающимся комментатором трудов, предшествовавших ему. Большая часть этих трудов не дошла до наших дней и известна нам лишь благодаря его комментариям. Римская республика и империя, последовавшие за и поглотившие греческие города-государства, породили прекрасных инженеров, но не выдающихся математиков. Великая Александрийская библиотека была позже уничтожена огнем. Среди историков растет убеждение, что Александрийская библиотека, вероятно, пострадала от нескольких разрушительных событий, однако разрушение языческих храмов Александрии в конце IV века, по всей видимости, было самым серьезным и окончательным. Доказательства этого разрушения наиболее убедительны и достоверны. Вторжение Цезаря, возможно, привело к потере от 40 000 до 70 000 свитков на складе рядом с портом (как утверждает Лучано Канфора, это, вероятно, были копии, изготовленные Библиотекой для экспорта), но вряд ли затронуло саму Библиотеку или Музей, поскольку имеются многочисленные свидетельства их существования и в более поздний период. Гражданские войны, сокращение инвестиций в поддержание и приобретение новых свитков и в целом снижение интереса к мирским занятиям, вероятно, способствовали уменьшению объема материалов, доступных в Библиотеке, особенно в IV веке. Серапеум был, безусловно, разрушен Феофилом в 391 году, и Музей и Библиотека, возможно, пали жертвами той же кампании.

Классическая индийская геометрия

В рукописи Бахшали содержится несколько геометрических задач (включая задачи об объемах неправильных тел). В рукописи Бахшали также "применяется десятичная позиционная система с точкой для обозначения нуля". "Арьябхатия" Арьябхаты (499 г.) включает вычисление площадей и объемов. Брахмагупта написал свой астрономический труд "Брахма Спхута Сиддханта" в 628 году. Глава 12, состоящая из 66 санскритских шлок, была разделена на два раздела: "основные операции" (включая извлечение кубических корней, дроби, соотношение и пропорцию, а также обмен) и "практическая математика" (включая смешение, математические ряды, плоские фигуры, кладку кирпичей, распиловку пиломатериалов и складирование зерна). В последнем разделе он сформулировал свою знаменитую теорему о диагоналях циклического четырехугольника:

Парамешвара Намбудири был первым математиком, представившим формулу для радиуса окружности, описанной вокруг циклического четырехугольника. Иногда это выражение приписывают Лхулье [1782], спустя 350 лет. Если стороны циклического четырехугольника равны a, b, c и d, то радиус R описанной окружности равен:

Китайская геометрия

Первой определенной работой (или, по крайней мере, самой старой из существующих) по геометрии в Китае был Мо Цзин, канон Мохиста раннего философа Мо-цзы (470–390 до н.э.). Он был составлен спустя годы после его смерти его последователями около 330 года до н.э. Подобно первому и третьему определениям Евклида и «началу линии» Платона, Мо Цзин утверждал, что «точка может находиться в конце (линии) или в начале, подобно предлежанию головкой при родах. Ничего подобного ей нет». Схоже с атомистами Демокрита, Мо Цзин утверждал, что точка — наименьшая единица, и её нельзя разрезать пополам, поскольку «ничто» нельзя разделить надвое, наряду с принципами пространства и ограниченного пространства. В нем также описывается тот факт, что плоскости, лишенные толщины, нельзя складывать друг на друга, поскольку они не могут соприкасаться. В книге даны определения окружности, диаметра и радиуса, а также объема. В период правления династии Хань (202 до н.э. – 220 н.э.) в Китае наблюдался новый расцвет математики. Одним из старейших китайских математических текстов, представляющих геометрические прогрессии, был Суань шу шу 186 года до н.э., относящийся к периоду Западной Хань. Математик, изобретатель и астроном Чжан Хэн (78–139 гг. н.э.) использовал геометрические формулы для решения математических задач. Хотя грубые оценки числа пи (π) были приведены в Чжоу Ли (составленном во II веке до н.э.), именно Чжан Хэн впервые предпринял целенаправленные усилия по созданию более точной формулы для числа пи. Чжан Хэн аппроксимировал число пи как 730/232 (или приблизительно 3,1466), хотя для вычисления объема сферы он использовал другую формулу для числа пи, взяв вместо этого квадратный корень из 10 (или приблизительно 3,162). Цзу Чунчжи (429–500 гг. н.э.) повысил точность приближения числа пи до значения между 3,1415926 и 3,1415927, при этом 355⁄113 (密率, Милю, детальное приближение) и 22⁄7 (约率, Юэлю, приблизительное приближение) являлись другими значимыми приближениями. По сравнению с более поздними работами, формула для числа пи, предложенная французским математиком Франсискусом Виетой (1540–1603), оказалась посередине между приближениями Цзу.

Ренессанс

Передача греческой классики в средневековую Европу через арабскую литературу 9–10 веков, "Золотой век ислама", началась в 10 веке и достигла кульминации в латинских переводах 12 века. Копию "Альмагеста" Птолемея вернул на Сицилию Генрих Аристипп (ум. 1162) в качестве подарка от императора королю Вильгельму I (годы правления 1154–1166). Неизвестный студент из Салерно отправился на Сицилию и перевел "Альмагест", а также несколько работ Евклида с греческого на латинский. Хотя сицилийцы обычно переводили непосредственно с греческого, при отсутствии греческих текстов они обращались к арабским переводам. Евгений Палермский (ум. 1202) перевел "Оптику" Птолемея на латынь, опираясь на знание всех трех языков. Строгие дедуктивные методы геометрии, представленные в "Началах" Евклида, были вновь освоены, и дальнейшее развитие геометрии в стилях Евклида (евклидова геометрия) и аль-Хаияма (алгебраическая геометрия) продолжалось, породив множество новых теорем и концепций, многие из которых были глубокими и изящными. В искусстве эпохи Возрождения 14–15 веков были достигнуты успехи в изображении перспективы, превзошедшие достижения античности. В архитектуре Кватроченто изучались концепции архитектурного порядка и формулировались правила. Ярким примером служит базилика Сан-Лоренцо во Флоренции, построенная Филиппо Брунеллески (1377–1446). Около 1413 года Филиппо Брунеллески продемонстрировал геометрический метод перспективы, используемый художниками и сегодня, нарисовав контуры флорентийских зданий на зеркале. Вскоре после этого почти каждый художник во Флоренции и Италии использовал геометрическую перспективу в своих картинах, в частности Мазолино да Паникале и Донателло. Мелоццо да Форли первым применил технику укорочения вверх (в Риме, Лорето, Форли и других городах) и прославился этим. Перспектива была не только способом передачи глубины, но и новым методом композиции картины. Картины стали изображать единую, целостную сцену, а не сочетание нескольких. Как показывает быстрое распространение точных перспективных картин во Флоренции, Брунеллески, вероятно, понимал (с помощью своего друга математика Тосканелли), но не опубликовал математические основы перспективы. Десятилетия спустя его друг Леон Баттиста Альберти написал трактат "О живописи" (De pictura, 1435/1436) о правильных методах изображения расстояния в живописи, основанный на евклидовой геометрии. Альберти также изучал науку об оптике в Падуанской школе и находился под влиянием Биажио Пелакани да Пармы, изучавшего "Оптику" Альхазена. Пьеро делла Франческа развил идеи "О живописи" в своем трактате "О перспективе в живописи" (De Prospectiva Pingendi) в 1470-х годах. Альберти ограничился фигурами на плоскости земли и дал общие принципы перспективы. Делла Франческа детализировал их, явно охватывая твердые тела в любой области картины. Делла Франческа также начал практику, ставшую распространенной, использовать иллюстрации для объяснения математических концепций, что сделало его трактат более понятным, чем трактат Альберти. Делла Франческа также первым точно изобразил платонические тела в перспективе. Перспектива на некоторое время оставалась прерогативой Флоренции. Ян ван Эйк и другие не смогли создать последовательную структуру сходящихся линий в своих картинах, как, например, в "Портрете четы Арнольфини" в Лондоне, поскольку не знали о теоретическом прорыве, произошедшем в Италии. Однако он добился очень тонких эффектов, манипулируя масштабом в своих интерьерах. Постепенно, и отчасти благодаря деятельности художественных академий, итальянские методы стали частью подготовки художников по всей Европе, а затем и в других частях мира. Кульминацией этих традиций эпохи Возрождения стал синтез в исследованиях архитектора, геометра и оптика Жирара Дезарга о перспективе, оптике и проективной геометрии. "Витрувианский человек" Леонардо да Винчи (ок. 1490) изображает человека в двух наложенных позах с разведенными руками и ногами, вписанного в круг и квадрат. Рисунок основан на соотношениях идеальных человеческих пропорций с геометрией, описанной древнеримским архитектором Витрувием в третьей книге его трактата "Де архитектуре".

17-й век

В начале 17 века в геометрии произошло два важных события. Первым и наиболее важным было создание аналитической геометрии, или геометрии с координатами и уравнениями, Рене Декартом (1596–1650) и Пьером де Ферма (1601–1665). Это было необходимым предшественником для развития математического анализа и точной количественной науки физики. Вторым геометрическим развитием этого периода было систематическое изучение проективной геометрии Жираром Десаргом (1591–1661). Проективная геометрия – это изучение геометрии без измерений, а лишь исследование того, как точки выстраиваются относительно друг друга. Некоторые ранние работы в этой области были выполнены эллинистическими геометрами, в частности Паппом (ок. 340 г.). Наибольшего расцвета эта область достигла благодаря Жан-Виктору Понселе (1788–1867). В конце 17 века математический анализ был разработан независимо и почти одновременно Исааком Ньютоном (1642–1727) и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646–1716). Это положило начало новой области математики, которую теперь называют анализом. Хотя сам по себе анализ не является ветвью геометрии, он применим к ней и решил две группы задач, которые долгое время оставались практически неразрешимыми: нахождение касательных к сложным кривым и вычисление площадей, ограниченных этими кривыми. Методы математического анализа свели эти задачи в основном к простым вычислительным операциям.

Неевклидова геометрия

Очень старая проблема доказательства Пятого постулата Евклида, "Параллельного постулата", из его первых четырех постулатов никогда не была забыта. Начиная вскоре после Евклида, было предпринято множество попыток доказательства, но все они впоследствии оказались ошибочными, поскольку в рассуждениях использовались принципы, которые сами по себе не были выведены из первых четырех постулатов. Хотя Омар Хайям и не смог доказать параллельный постулат, его критика теорий параллельности Евклида и доказательство свойств фигур в неевклидовых геометриях внесли вклад в развитие неевклидовой геометрии. К 1700 году было установлено многое о том, что можно доказать, исходя из первых четырех постулатов, и какие подводные камни возникают при попытке доказать пятый. Сачери, Ламберт и Лежандр в XVIII веке проделали значительную работу над этой проблемой, но не достигли успеха. В начале XIX века Гаусс, Иоганн Бойяи и Лобачевский, независимо друг от друга, пошли другим путем. Начиная подозревать невозможность доказательства Параллельного постулата, они приступили к разработке самосогласованной геометрии, в которой этот постулат был бы ложным. И им это удалось, таким образом, была создана первая неевклидова геометрия. К 1854 году Бернхард Риман, ученик Гаусса, применил методы математического анализа в новаторском исследовании внутренней (самодостаточной) геометрии всех гладких поверхностей и тем самым открыл другую неевклидову геометрию. Эта работа Римана впоследствии стала основой для теории относительности Эйнштейна. Оставалось математически доказать, что неевклидова геометрия столь же логически непротиворечива, как и евклидова геометрия, и это впервые удалось Белтрами в 1868 году. Таким образом, неевклидова геометрия была установлена на равных математических основаниях с евклидовой геометрией. Хотя теперь было известно о математической возможности различных геометрических теорий, оставался вопрос: "Какая из этих теорий описывает наше физическое пространство?" Математические исследования показали, что ответ на этот вопрос должен быть получен экспериментальным путем, а не математическим рассуждением, и выявили необходимость проведения экспериментов на огромных (межзвездных, а не земных) расстояниях. С развитием теории относительности в физике этот вопрос стал еще более сложным.

Введение математической строгости

Вся работа, связанная с постулатом о параллельных прямых, показала, что геометру довольно трудно отделить свои логические рассуждения от интуитивного понимания физического пространства, и, более того, выявила критическую важность такого разделения. Внимательное изучение обнаружило некоторые логические неточности в рассуждениях Евклида и некоторые неявные геометрические принципы, на которые Евклид порой опирался. Эта критика была сопоставима с кризисом, происходившим в математическом анализе относительно смысла бесконечных процессов, таких как сходимость и непрерывность. В геометрии возникла явная потребность в новом наборе аксиом, который был бы полным и ни в коей мере не основывался на чертежах или нашем пространственном воображении. Такие аксиомы, ныне известные как аксиомы Гильберта, были сформулированы Давидом Гильбертом в 1894 году в его диссертации «Grundlagen der Geometrie» (Основы геометрии).

Анализ сайта или топология

В середине XVIII века стало очевидно, что определенные схемы математического рассуждения повторяются при изучении схожих идей на числовой прямой, в двух и трех измерениях. Таким образом, была создана общая концепция метрического пространства, чтобы проводить рассуждения в большей общности, а затем применять их к частным случаям. Этот метод изучения математического анализа и связанных с ним понятий получил название анализ ситуса, а впоследствии – топология. Важными темами в этой области стали свойства более общих фигур, такие как связность и границы, а не свойства вроде прямолинейности и точного равенства измерений длины и угла, которые были в центре внимания евклидовой и неевклидовой геометрии. Топология вскоре выделилась в самостоятельную область, имеющую большое значение, а не оставалась подразделом геометрии или анализа.

Геометрия более чем 3-х измерений

В XIX веке Людвиг Шлефли разработал общее понятие евклидова пространства, расширив геометрию Евклида за пределы трех измерений. Он обнаружил все многомерные аналоги платоновых тел, установив, что в четырех измерениях существует ровно шесть таких правильных выпуклых политопов, а во всех более высоких измерениях – три. В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд представил то, что сейчас называется геометрической алгеброй, объединив кватернионы Уильяма Роуэна Гамильтона с алгеброй Германна Грассмана и выявив геометрическую природу этих систем, особенно в четырех измерениях. Операции геометрической алгебры позволяют отражать, вращать, перемещать и отображать моделируемые геометрические объекты в новые положения.

20-й век

Развитие алгебраической геометрии включало изучение кривых и поверхностей над конечными полями, как показали работы, в частности, Андре Вейля, Александра Гротендика и Жана Пьера Серра, а также над действительными или комплексными числами. Сама конечная геометрия, изучающая пространства с лишь конечно многим точками, нашла применение в теории кодирования и криптографии. С появлением компьютеров новые дисциплины, такие как вычислительная геометрия или цифровая геометрия, занимаются геометрическими алгоритмами, дискретными представлениями геометрических данных и так далее.