Пропагатор в квантовой теории поля: амплитуды и эволюция во времени

Введение

Функция в квантовой теории поля, описывающая амплитуды вероятности движения частиц, временная эволюция в квантовой теории поля.

В квантовой механике и квантовой теории поля пропагатор – это функция, которая определяет амплитуду вероятности для частицы переместиться из одной точки в другую за заданный промежуток времени или с определенной энергией и импульсом. В диаграммах Фейнмана, используемых для вычисления вероятности столкновений в квантовой теории поля, виртуальные частицы вносят свой вклад в вероятность события рассеяния, описываемого соответствующей диаграммой. Пропагаторы также можно рассматривать как обратный к волновому оператору, соответствующему данной частице, и поэтому их часто называют (причинными) функциями Грина (термин "причинные" используется для отличия от эллиптической функции Грина, связанной с оператором Лапласа).

Релятивистские пропагаторы

В релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля пропагаторы лоренц-инвариантны. Они определяют амплитуду распространения частицы между двумя событиями в пространстве-времени.

Скалярный пропагатор

В квантовой теории поля теория свободного (или невзаимодействующего) скалярного поля является полезным и простым примером, который служит для иллюстрации концепций, необходимых для более сложных теорий. Она описывает частицы со спином, равным нулю. Существует несколько возможных пропагаторов для теории свободного скалярного поля. Теперь мы опишем наиболее часто используемые из них.

Пропагандист Дирака

Введён Полем Дираком в 1938 году.

Быстрее света?

У пропагатора Фейнмана есть некоторые свойства, которые поначалу кажутся смущающими. В частности, в отличие от коммутатора, пропагатор отличен от нуля вне светового конуса, хотя он быстро убывает при пространственноподобных интервалах. Интерпретируя это как амплитуду для движения частиц, мы приходим к выводу, что виртуальная частица движется быстрее света. Не сразу очевидно, как это согласовать с причинностью: можно ли использовать виртуальные частицы, движущиеся быстрее света, для передачи сообщений быстрее света? Ответ – нет: в то время как в классической механике интервалы, вдоль которых могут распространяться частицы и причинные эффекты, одинаковы, это больше неверно в квантовой теории поля, где именно коммутаторы определяют, какие операторы могут влиять друг на друга. Итак, что представляет собой пространственноподобная часть пропагатора? В квантовой теории поля вакуум является активным участником, а числа частиц и значения полей связаны соотношением неопределенности; значения полей неопределенны даже при нулевом числе частиц. Существует ненулевая амплитуда вероятности обнаружить значительные флуктуации вакуумного значения поля Φ(x) при локальном измерении (или, точнее, при измерении оператора, полученного усреднением поля по малой области). Кроме того, динамика полей в некоторой степени благоприятствует пространственно коррелированным флуктуациям. Ненулевой упорядоченный по времени продукт для пространственно разделенных полей просто измеряет амплитуду нелокальной корреляции в этих вакуумных флуктуациях, аналогично корреляции Эйнштейна — Подольского — Розена. Действительно, пропагатор часто называют функцией двухточечной корреляции для свободного поля. Поскольку, согласно постулатам квантовой теории поля, все наблюдаемые операторы коммутируют друг с другом при пространственноподобном разделении, сообщения нельзя передавать через эти корреляции, как и через любые другие корреляции Эйнштейна — Подольского — Розена; корреляции существуют для случайных величин. Что касается виртуальных частиц, то пропагатор при пространственноподобном разделении можно рассматривать как средство вычисления амплитуды для создания пары виртуальных частица-античастица, которая в конечном итоге исчезает в вакууме, или для обнаружения виртуальной пары, возникающей из вакуума. На языке Фейнмана такие процессы создания и уничтожения эквивалентны виртуальной частице, движущейся назад и вперед во времени, что может вывести ее за пределы светового конуса. Однако передача сигналов в прошлое недопустима.

The Feynman propagator has some properties that seem baffling at first. In particular, unlike the commutator, the propagator is nonzero outside of the light cone, though it falls off rapidly for spacelike intervals. Interpreted as an amplitude for particle motion, this translates to the virtual particle travelling faster than light. It is not immediately obvious how this can be reconciled with causality: can we use faster than light virtual particles to send faster than light messages? The answer is no: while in classical mechanics the intervals along which particles and causal effects can travel are the same, this is no longer true in quantum field theory, where it is commutators that determine which operators can affect one another. So what does the spacelike part of the propagator represent? In QFT the vacuum is an active participant, and particle numbers and field values are related by an uncertainty principle; field values are uncertain even for particle number zero. There is a nonzero probability amplitude to find a significant fluctuation in the vacuum value of the field Φ(x) if one measures it locally (or, to be more precise, if one measures an operator obtained by averaging the field over a small region). Furthermore, the dynamics of the fields tend to favor spatially correlated fluctuations to some extent. The nonzero time ordered product for spacelike separated fields then just measures the amplitude for a nonlocal correlation in these vacuum fluctuations, analogous to an EPR correlation. Indeed, the propagator is often called a two point correlation function for the free field. Since, by the postulates of quantum field theory, all observable operators commute with each other at spacelike separation, messages can no more be sent through these correlations than they can through any other EPR correlations; the correlations are in random variables. Regarding virtual particles, the propagator at spacelike separation can be thought of as a means of calculating the amplitude for creating a virtual particle antiparticle pair that eventually disappears into the vacuum, or for detecting a virtual pair emerging from the vacuum. In Feynman's language, such creation and annihilation processes are equivalent to a virtual particle wandering backward and forward through time, which can take it outside of the light cone. However, no signaling back in time is allowed.

Пропагандоры на диаграммах Файнмана

Наиболее распространенное применение пропагатора – в вычислении амплитуд вероятности для взаимодействий частиц с использованием диаграмм Фейнмана. Эти вычисления обычно проводятся в импульсном пространстве. В общем случае, амплитуда получает множитель, равный пропагатору, для каждой внутренней линии, то есть для каждой линии, которая не представляет входящую или исходящую частицу в начальном или конечном состоянии. Она также получает множитель, пропорциональный и по форме схожий с членом взаимодействия в лагранжиане теории, для каждой внутренней вершины, где линии сходятся. Эти предписания известны как правила Фейнмана. Внутренние линии соответствуют виртуальным частицам. Поскольку пропагатор не обращается в нуль для комбинаций энергии и импульса, запрещенных классическими уравнениями движения, мы говорим, что виртуальным частицам разрешено быть вне массовой оболочки. Фактически, поскольку пропагатор получается инвертированием волнового уравнения, в общем случае он будет иметь сингулярности на массовой оболочке. Энергия, переносимая частицей в пропагаторе, может быть даже отрицательной. Это можно интерпретировать как случай, когда вместо частицы, движущейся в одном направлении, ее античастица движется в противоположном направлении, перенося, таким образом, противоположный поток положительной энергии. Пропагатор охватывает обе возможности. Это означает, что необходимо быть осторожным со знаками минус в случае фермионов, чьи пропагаторы не являются четными функциями энергии и импульса (см. ниже). Виртуальные частицы сохраняют энергию и импульс. Однако, поскольку они могут быть вне массовой оболочки, в любом месте диаграммы, содержащем замкнутую петлю, энергии и импульсы виртуальных частиц, участвующих в петле, будут частично не ограничены, поскольку изменение величины для одной частицы в петле может быть скомпенсировано равным и противоположным изменением у другой. Следовательно, каждая петля в диаграмме Фейнмана требует интегрирования по континууму возможных энергий и импульсов. В общем случае, эти интегралы произведений пропагаторов могут расходиться, и с этой ситуацией необходимо справляться с помощью процедуры перенормировки.

The most common use of the propagator is in calculating probability amplitudes for particle interactions using Feynman diagrams. These calculations are usually carried out in momentum space. In general, the amplitude gets a factor of the propagator for every internal line, that is, every line that does not represent an incoming or outgoing particle in the initial or final state. It will also get a factor proportional to, and similar in form to, an interaction term in the theory's Lagrangian for every internal vertex where lines meet. These prescriptions are known as Feynman rules. Internal lines correspond to virtual particles. Since the propagator does not vanish for combinations of energy and momentum disallowed by the classical equations of motion, we say that the virtual particles are allowed to be off shell. In fact, since the propagator is obtained by inverting the wave equation, in general, it will have singularities on shell. The energy carried by the particle in the propagator can even be negative. This can be interpreted simply as the case in which, instead of a particle going one way, its antiparticle is going the other way, and therefore carrying an opposing flow of positive energy. The propagator encompasses both possibilities. It does mean that one has to be careful about minus signs for the case of fermions, whose propagators are not even functions in the energy and momentum (see below). Virtual particles conserve energy and momentum. However, since they can be off shell, wherever the diagram contains a closed loop, the energies and momenta of the virtual particles participating in the loop will be partly unconstrained, since a change in a quantity for one particle in the loop can be balanced by an equal and opposite change in another. Therefore, every loop in a Feynman diagram requires an integral over a continuum of possible energies and momenta. In general, these integrals of products of propagators can diverge, a situation that must be handled by the process of renormalization.

Связанные сингулярные функции

Скалярные пропагаторы являются функциями Грина для уравнения Клейна — Гордона. Существуют связанные с ними сингулярные функции, которые важны в квантовой теории поля. Мы придерживаемся обозначений, используемых в книге Бьёркена и Дрелля. См. также Боголюбова и Ширкова (Приложение А). Эти функции наиболее просто определяются через вакуумное среднее значения произведений операторов поля.