Парадокс Лошмидта: Конфликт симметрии времени и энтропии.

Введение

Конфликт между известными физическими принципами (симметрия времени и энтропия)

В физике парадокс Лошмидта (названный в честь Й. Й. Лошмидта), также известный как парадокс обратимости, парадокс необратимости или Umkehreinwand, представляет собой возражение, что необратимый процесс не должен выводиться из динамики, симметричной по времени. Это ставит симметрию времени (почти) всех известных фундаментальных физических процессов низкого уровня в противоречие с любой попыткой вывести из них второй закон термодинамики, описывающий поведение макроскопических систем. Оба эти принципа общепризнаны в физике и имеют прочную наблюдательную и теоретическую основу, однако они, кажется, находятся в конфликте, что и является причиной парадокса.

Происхождение

Критику Йозефа Лошмидта вызвала H-теорема Больцмана, которая использовала кинетическую теорию для объяснения увеличения энтропии в идеальном газе, переходящем из неравновесного состояния, при столкновениях молекул газа. В 1876 году Лошмидт указал, что если существует движение системы от момента времени t0 к t1 и далее к t2, приводящее к устойчивому уменьшению H (увеличению энтропии) со временем, то существует и другое допустимое состояние движения системы в момент t1, полученное путем обращения всех скоростей, в котором H должно возрастать. Это показало, что одно из ключевых предположений Больцмана – молекулярный хаос, или Stosszahlansatz, заключающийся в полной некоррелированности всех скоростей частиц, не вытекает из ньютоновской динамики. Можно утверждать, что возможные корреляции несущественны и, следовательно, их можно игнорировать; однако, если это сделать, то будет изменена сама концептуальная основа, поскольку это действие вносит элемент временной асимметрии. Обратимые законы движения не могут объяснить, почему мы наблюдаем наш мир в сравнительно низком состоянии энтропии в настоящий момент (по сравнению с равновесной энтропией, соответствующей универсальной тепловой смерти), и почему в прошлом энтропия была еще ниже. Позднее авторы ввели термин «демон Лошмидта» (по аналогии с демоном Максвелла, см. ниже) для обозначения сущности, способной обращать эволюцию во времени в микроскопической системе, в частности, в случае ядерных спинов, что, действительно, хотя бы на короткое время, экспериментально возможно.

До Лошмидта

В 1874 году, за два года до публикации работы Лошмидта, Уильям Томсон защитил второй закон термодинамики от возражений, связанных с обратимостью времени, в своей статье "Кинетическая теория диссипации энергии".

Стрела времени

Любой процесс, который регулярно происходит в прямом направлении времени, но редко или никогда – в обратном, например, увеличение энтропии в изолированной системе, определяет то, что физики называют стрелой времени в природе. Этот термин относится лишь к наблюдению асимметрии во времени и не предназначен для объяснения таких асимметрий. Парадокс Лошмидта эквивалентен вопросу о том, как может существовать термодинамическая стрела времени, учитывая фундаментальные законы, симметричные относительно времени. Ведь временная симметрия подразумевает, что для любого процесса, совместимого с этими законами, существует обратный процесс, выглядящий как перемотанный назад фильм исходного процесса, который также будет совместим с теми же законами и даже столь же вероятен, если начальное состояние системы выбрано случайным образом из фазового пространства всех возможных состояний. Хотя большинство стрел времени, описанных физиками, считаются частными случаями термодинамической стрелы, есть несколько, которые, как полагают, не связаны с ней, например, космологическая стрела времени, основанная на расширении Вселенной, а не на её сжатии, и тот факт, что некоторые процессы в физике частиц фактически нарушают временную симметрию, сохраняя при этом связанную симметрию, известную как CPT-симметрия. В случае космологической стрелы большинство физиков полагают, что энтропия продолжит расти даже при сжатии Вселенной (хотя физик Томас Голд однажды предложил модель, в которой термодинамическая стрела изменит направление в этой фазе). В случае нарушений временной симметрии в физике частиц, эти нарушения редки и известны лишь для нескольких типов мезонных частиц. Более того, благодаря CPT-симметрии, изменение направления времени эквивалентно замене частиц на античастицы и наоборот. Следовательно, это не может объяснить парадокс Лошмидта.

Динамические системы

Текущие исследования в области динамических систем предлагают один из возможных механизмов получения необратимости из обратимых систем. Центральный аргумент основан на утверждении, что правильный способ изучения динамики макроскопических систем – это изучение оператора переноса, соответствующего микроскопическим уравнениям движения. Далее утверждается, что оператор переноса не является унитарным (то есть необратимым), но имеет собственные значения, модуль которых строго меньше единицы; эти собственные значения соответствуют затухающим физическим состояниям. Этот подход сопряжен с различными трудностями и хорошо работает лишь для небольшого числа точно решаемых моделей. Абстрактные математические инструменты, используемые при изучении диссипативных систем, включают определения смешивания, странствующих множеств и эргодическую теорию в целом.

Теорема флуктуации

Одним из подходов к разрешению парадокса Лошмидта является теорема о флуктуациях, выведенная эвристически Денисом Эвансом и Деброй Сирлз, которая предоставляет численную оценку вероятности того, что система, находящаяся вдали от равновесия, примет определенное значение функции диссипации (часто величины, подобной энтропии) за определенный промежуток времени. Результат получен с использованием точных обратимых во времени динамических уравнений движения и принципа универсальной причинности. Теорема о флуктуациях выводится из того факта, что динамика обратима во времени. Количественные предсказания этой теоремы были подтверждены в лабораторных экспериментах, проведенных Эдит М. Севик и др. в Австралийском национальном университете с использованием оптического пинцета. Эта теорема применима к переходным системам, которые могут изначально находиться в равновесии, а затем выводиться из него (как это было в первом эксперименте Севик и др.), или находиться в любом другом произвольном начальном состоянии, включая релаксацию к равновесию. Существует также асимптотический результат для систем, находящихся в неравновесном стационарном состоянии в любой момент времени. В теореме о флуктуациях есть ключевой момент, отличающийся от формулировки парадокса Лошмидтом. Лошмидт рассматривал вероятность наблюдения единственной траектории, что аналогично вопросу о вероятности наблюдения единственной точки в фазовом пространстве. В обоих случаях эта вероятность всегда равна нулю. Чтобы эффективно рассмотреть этот вопрос, необходимо учитывать плотность вероятности для множества точек в малой области фазового пространства или для множества траекторий. Теорема о флуктуациях рассматривает плотность вероятности для всех траекторий, изначально находящихся в бесконечно малой области фазового пространства. Это напрямую приводит к вероятности обнаружения траектории в наборах прямых или обратных траекторий, в зависимости от начального распределения вероятностей, а также от диссипации, происходящей в процессе эволюции системы. Именно эта принципиальная разница в подходе позволяет теореме о флуктуациях правильно разрешить парадокс.

One approach to handling Loschmidt's paradox is the fluctuation theorem, derived heuristically by Denis Evans and Debra Searles, which gives a numerical estimate of the probability that a system away from equilibrium will have a certain value for the dissipation function (often an entropy like property) over a certain amount of time. The result is obtained with the exact time reversible dynamical equations of motion and the universal causation proposition. The fluctuation theorem is obtained using the fact that dynamics is time reversible. Quantitative predictions of this theorem have been confirmed in laboratory experiments at the Australian National University conducted by Edith M. Sevick et al. using optical tweezers apparatus. This theorem is applicable for transient systems, which may initially be in equilibrium and then driven away (as was the case for the first experiment by Sevick et al.) or some other arbitrary initial state, including relaxation towards equilibrium. There is also an asymptotic result for systems which are in a nonequilibrium steady state at all times. There is a crucial point in the fluctuation theorem, that differs from how Loschmidt framed the paradox. Loschmidt considered the probability of observing a single trajectory, which is analogous to enquiring about the probability of observing a single point in phase space. In both of these cases the probability is always zero. To be able to effectively address this you must consider the probability density for a set of points in a small region of phase space, or a set of trajectories. The fluctuation theorem considers the probability density for all of the trajectories that are initially in an infinitesimally small region of phase space. This leads directly to the probability of finding a trajectory, in either the forward or the reverse trajectory sets, depending upon the initial probability distribution as well as the dissipation which is done as the system evolves. It is this crucial difference in approach that allows the fluctuation theorem to correctly solve the paradox.

Теория информации

Более позднее предложение сосредоточено на этапе парадокса, где происходит инверсия скоростей. В этот момент газ становится открытой системой, и для осуществления инверсии скоростей необходимо произвести измерения положения и скорости. Без этого инверсия невозможна. Сами эти измерения либо необратимы, либо обратимы. В первом случае они требуют увеличения энтропии в измерительном приборе, что как минимум компенсирует уменьшение энтропии при обратной эволюции газа. Во втором случае принцип Ландауэра позволяет прийти к тому же выводу. Следовательно, система «газ + измерительный прибор» подчиняется второму закону термодинамики. Не случайно этот аргумент тесно соотносится с другим аргументом, предложенным Беннеттом для объяснения демона Максвелла. Разница заключается в том, что роль измерения очевидна в случае демона Максвелла, но не в парадоксе Лошмидта, что, возможно, объясняет 40-летний разрыв между этими двумя объяснениями. В случае парадокса единичной траектории этот аргумент устраняет необходимость в каких-либо других объяснениях, хотя некоторые из них содержат обоснованные замечания. Более широкий парадокс, заключающийся в том, что необратимый процесс нельзя вывести из обратимой динамики, данным аргументом не охватывается.

Большой взрыв

Другой способ разрешения парадокса Лошмидта — рассматривать второй закон термодинамики как выражение набора граничных условий, в которых координата времени нашей Вселенной имеет начальную точку с низкой энтропией: Большой взрыв. С этой точки зрения, направление времени определяется исключительно направлением, ведущим от Большого взрыва, а гипотетическая вселенная с Большим взрывом, обладающим максимальной энтропией, не имела бы направления времени. Теория космической инфляции пытается объяснить, почему ранняя Вселенная характеризовалась столь низкой энтропией.