Введение
В математике компактно-открытая топология — это топология, определённая на множестве непрерывных отображений между двумя топологическими пространствами. Компактно-открытая топология является одной из часто используемых топологий на пространствах функций и применяется в теории гомотопий и функциональном анализе. Она была введена Ральфом Фоксом в 1945 году. Если область значений рассматриваемых функций имеет равномерную структуру или метрическую структуру, то компактно-открытая топология является "топологией равномерной сходимости на компактных множествах". То есть последовательность функций сходится в компактно-открытой топологии тогда и только тогда, когда она сходится равномерно на каждом компактном подмножестве области определения.
Определение
Пусть X и Y — два топологических пространства, и пусть C(X, Y) обозначает множество всех непрерывных отображений между X и Y. Для заданного компактного подмножества K из X и открытого подмножества U из Y, пусть V(K, U) обозначает множество всех функций f ∈ C(X, Y) таких, что f(K) ⊆ U. Иными словами, коллекция всех таких V(K, U) является подбазой для компактно-открытой топологии на C(X, Y). (Эта коллекция не всегда является базой для топологии на C(X, Y).) При работе в категории компактно порожденных пространств, обычно изменяют это определение, ограничиваясь подбазой, сформированной из тех K, которые являются образом компактного хаусдорфова пространства. Конечно, если X компактно порождено и хаусдорфово, это определение совпадает с предыдущим. Однако измененное определение имеет решающее значение, если требуется, чтобы удобная категория компактно порожденных слабо хаусдорфовых пространств была декартово замкнутой, среди прочих полезных свойств. Путаница между этим определением и предыдущим вызвана различным использованием термина "компактный". Если X локально компактно, то из категории топологических пространств всегда существует правое сопряжение. Это сопряжение совпадает с компактно-открытой топологией и может быть использовано для ее однозначного определения. Изменение определения для компактно порожденных пространств можно рассматривать как взятие сопряжения произведения в категории компактно порожденных пространств вместо категории топологических пространств, что гарантирует существование правого сопряжения.
Свойства
Если X – одноточечное пространство, то можно отождествить C(X, Y) с Y, и при этом отождествлении компактно-открытая топология совпадает с топологией на Y. В более общем случае, если X – дискретное пространство, то C(X, Y) можно отождествить с декартовым произведением копий Y, и компактно-открытая топология совпадает с топологией произведения. Если Y – пространство T₀, пространство T₁, пространство Хаусдорфа, регулярное или Тихонофское, то компактно-открытая топология обладает соответствующей аксиомой разделения. Если X – пространство Хаусдорфа, а S – подбаза для Y, то множество {V(K, U) : U ∈ S, K компактно} является подбазой для компактно-открытой топологии на C(X, Y). Если Y – метрическое пространство (или, в более общем случае, однородное пространство), то компактно-открытая топология равна топологии компактной сходимости. Иными словами, если Y – метрическое пространство, то последовательность {fₙ} сходится к f в компактно-открытой топологии тогда и только тогда, когда для каждого компактного подмножества K из X, {fₙ} сходится к f равномерно на K. Если X компактно, а Y – однородное пространство, то компактно-открытая топология равна топологии равномерной сходимости. Если X, Y и Z – топологические пространства, при этом Y локально компактно и является пространством Хаусдорфа (или даже просто локально компактным предрегулярным пространством), то композиция отображений C(Y, Z) × C(X, Y) → C(X, Z), заданная как (f, g) ↦ f ∘ g, непрерывна (здесь все функциональные пространства снабжены компактно-открытой топологией, а C(Y, Z) × C(X, Y) – топологией произведения). Если X – локально компактное пространство Хаусдорфа (или предрегулярное пространство), то отображение оценки e : C(X, Y) × X → Y, определяемое , непрерывно. Это можно рассматривать как частный случай вышеописанного, где X – одноточечное пространство. Если X компактно, а Y – метрическое пространство с метрикой d, то компактно-открытая топология на C(X, Y) метризуема, и метрика для нее задается как для f, g ∈ C(X, Y).
Фрешевые дифференцируемые функции
Пусть X и Y — два пространства Банаха, определённые над одним и тем же полем, и пусть C^( m)(U, Y) обозначает множество всех m-кратно непрерывно дифференцируемых по Фреше функций из открытого подмножества U ⊆ X в Y. Компактно-открытая топология — это начальная топология, индуцированная семейством полунорм
где , для каждого компактного подмножества K ⊆ U.