Введение

Встраивание топологического пространства в компактное пространство как плотное подмножество. В математике, в общей топологии, компактификация — это процесс или результат преобразования топологического пространства в компактное пространство. Компактное пространство — это пространство, в котором любое открытое покрытие пространства содержит конечное подпокрытие. Методы компактификации разнообразны, но каждый из них представляет собой способ контролировать точки, стремящиеся "в бесконечность", либо каким-то образом добавляя "точки на бесконечности", либо предотвращая такой "уход".

Пример

Рассмотрим вещественную прямую с её обычной топологией. Это пространство некомпактно; в некотором смысле, точки могут уходить в бесконечность влево или вправо. Можно превратить вещественную прямую в компактное пространство, добавив одну «точку на бесконечности», которую мы обозначим ∞. Полученная компактификация гомеоморфна окружности в плоскости (которая, как замкнутое и ограниченное подмножество евклидовой плоскости, компактна). Каждая последовательность, уходящая в бесконечность на вещественной прямой, тогда будет сходиться к ∞ в этой компактификации. Направление, в котором число стремится к бесконечности на числовой прямой (либо в отрицательном, либо в положительном направлении), всё ещё сохраняется на окружности; ведь если число приближается к бесконечности со стороны отрицательности на числовой прямой, то соответствующая точка на окружности может приближаться к ∞ слева, например. Если же число приближается к бесконечности с положительной стороны на числовой прямой, то соответствующая точка на окружности может приближаться к ∞ справа. Интуитивно этот процесс можно представить следующим образом: сначала сожмите вещественную прямую до открытого интервала на оси x; затем согните концы этого интервала вверх (в положительном направлении оси y) и сдвиньте их друг к другу, пока не получите окружность с одной точкой (верхней) отсутствующей. Эта точка и есть наша новая точка ∞ «на бесконечности»; добавление её завершает компактную окружность. Немного более формально: представим точку на единичной окружности её углом в радианах, от −π до π для простоты. Отождествим каждую такую точку θ на окружности с соответствующей точкой на вещественной прямой tan(θ/2). Эта функция не определена в точке π, так как tan(π/2) не определена; мы отождествим эту точку с нашей точкой ∞. Поскольку тангенс и обратный тангенс непрерывны, наша функция отождествления является гомеоморфизмом между вещественной прямой и единичной окружностью без точки ∞. То, что мы построили, называется одноточечной компактификацией Александрова вещественной прямой, которая рассматривается в более общем виде ниже. Также можно компактифицировать вещественную прямую, добавив две точки, +∞ и −∞; это приводит к расширенной вещественной прямой.

Определение

Встраивание топологического пространства X как плотного подмножества компактного пространства называется компактификацией X. Часто бывает полезно встраивать топологические пространства в компактные пространства из-за особых свойств, которыми обладают компактные пространства. Встраивания в компактные хаусдорфовы пространства могут представлять особый интерес. Поскольку каждое компактное хаусдорфово пространство является пространством Тихонова, а каждое подпространство пространства Тихонова также является пространством Тихонова, мы заключаем, что любое пространство, допускающее хаусдорфову компактификацию, должно быть пространством Тихонова. Более того, обратное также верно: быть пространством Тихонова является необходимым и достаточным условием для существования хаусдорфовой компактификации. Тот факт, что большие и интересные классы некомпактных пространств действительно имеют компактификации определенного типа, делает компактификацию распространенным методом в топологии.

Александровская одноточечная компактификация

Для любого некомпактного топологического пространства X одноточечная компактификация (Александрова) αX пространства X получается добавлением одной дополнительной точки ∞ (часто называемой точкой на бесконечности) и определением открытых множеств нового пространства как открытых множеств X вместе с множествами вида G ∪ {∞}, где G – открытое подмножество X, такое что замыкание G компактно. Одноточечная компактификация X является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда X является хаусдорфовым пространством и локально компактным.

Камчатое Чехское уплотнение

Особый интерес представляют компактификации Хаусдорфа, то есть компактификации, в которых компактное пространство является хаусдорфовым. Топологическое пространство имеет компактификацию Хаусдорфа тогда и только тогда, когда оно является тихоновым. В этом случае существует единственная (с точностью до гомеоморфизма) "наиболее общая" компактификация Хаусдорфа, компактификация Стоуна — Чеха пространства X, обозначаемая βX; формально это демонстрирует категорию компактных хаусдорфовых пространств и непрерывных отображений как рефлексивную подкатегорию категории тихоновых пространств и непрерывных отображений. "Наиболее общая" или, формально, "рефлексивная" означает, что пространство βX характеризуется универсальным свойством: любая непрерывная функция из X в компактное хаусдорфово пространство K может быть единственным образом продолжена до непрерывной функции из βX в K. Более конкретно, βX — это компактное хаусдорфово пространство, содержащее X, такое что индуцированная на X топология из βX совпадает с заданной топологией на X, и для любого непрерывного отображения f : X → K, где K — компактное хаусдорфово пространство, существует единственное непрерывное отображение g : βX → K, которое при ограничении на X совпадает с f.

Компактификация Стоуна — Чеха может быть построена явно следующим образом: пусть C — множество непрерывных функций из X в замкнутый интервал [0, 1]. Тогда каждая точка в X может быть отождествлена с функцией оценки на C. Таким образом, X можно отождествить с подмножеством [0, 1]<sup>C</sup>, пространства всех функций из C в [0, 1]. Поскольку последнее является компактным по теореме Тихонова, замыкание X как подмножества этого пространства также будет компактным. Это и есть компактификация Стоуна — Чеха.

Уплотнение пространства-времени

Уолтер Бенц и Исаак Яглом показали, как стереографическая проекция на однополостный гиперболоид может быть использована для компактификации расщеплённых комплексных чисел. Фактически, гиперболоид является частью квадрики в реальном проективном четырёхмерном пространстве. Этот метод аналогичен используемому для построения базового многообразия для действия конформной группы пространства-времени.

Проективное пространство

Реальное проективное пространство RPn является компактификацией евклидова пространства Rn. Для каждого возможного "направления", в котором точки в Rn могут "уходить в бесконечность", добавляется одна новая точка на бесконечности (но каждое направление отождествляется с противоположным). Александровская одноточечная компактификация R, которую мы построили в приведенном выше примере, на самом деле гомеоморфна RP1. Однако следует отметить, что проективная плоскость RP2 не является одноточечной компактификацией плоскости R2, поскольку добавляется более одной точки. Комплексное проективное пространство CPn также является компактификацией Cn; Александровская одноточечная компактификация комплексной плоскости C является (гомеоморфной) комплексной проективной прямой CP1, которая, в свою очередь, может быть отождествлена со сферой, сферой Римана. Переход к проективному пространству – распространенный инструмент в алгебраической геометрии, поскольку добавленные точки на бесконечности приводят к более простым формулировкам многих теорем. Например, любые две различные прямые в RP2 пересекаются ровно в одной точке, что неверно для R2. В более общем случае, теорема Безу, являющаяся фундаментальной в теории пересечений, справедлива в проективном пространстве, но не в аффинном пространстве. Это различие в поведении пересечений в аффинном и проективном пространствах отражается в алгебраической топологии в кольцах когомологий – когомология аффинного пространства тривиальна, в то время как когомология проективного пространства нетривиальна и отражает ключевые особенности теории пересечений (размерность и степень подмногообразия, при этом пересечение является двойственным по Пуанкаре к произведению по чашке). Компактификация модульных пространств обычно требует допуска определенных вырождений – например, допуска определенных сингулярностей или редуцируемых многообразий. Это особенно используется в компактификации Делиня — Мамфорда модульного пространства алгебраических кривых.

Компактификация и дискретные подгруппы групп Ли

При изучении дискретных подгрупп групп Ли пространство косетов часто рассматривается как кандидат на более тонкую компактификацию, позволяющую сохранить структуру на более богатом уровне, чем просто топологическом. Например, модульные кривые компактифицируются добавлением отдельных точек для каждой вершины, превращая их в поверхности Римана (а следовательно, поскольку они компактны, в алгебраические кривые). Вершины здесь появляются не случайно: кривые параметризуют пространство решёток, и эти решётки могут вырождаться ("уходить в бесконечность"), часто несколькими способами (с учётом некоторой вспомогательной структуры уровня). Вершины отражают эти различные "направления в бесконечность". Всё это относится к решёткам на плоскости. В n-мерном евклидовом пространстве можно задать те же вопросы, например, о том, как провести такую компактификацию. Это оказывается более сложной задачей. Существует множество компактификаций, таких как компактификация Бореля — Серре, редуктивная компактификация Бореля — Серре и компактификации Сатаке, которые могут быть построены.

Другие теории компактификации

Теории концов пространства и простых концов. Некоторые "граничные" теории, такие как колларинг открытого многообразия, граница Мартина, граница Шилова и граница Фурстенберга. Боровская компактификация топологической группы возникает из рассмотрения почти периодических функций. Проективная прямая над кольцом для топологического кольца может компактифицировать его. Компактификация Бейли — Бореля частного от деления пространства эрмитовой симметричной области. Прекрасная компактификация частного от деления алгебраических групп. Компактификации, которые одновременно являются выпуклыми подмножествами в локально выпуклом пространстве, называются выпуклыми компактификациями; их дополнительная линейная структура позволяет, например, разрабатывать дифференциальное исчисление и проводить более сложные исследования, например, в релаксации в вариационном исчислении или теории оптимизации.