Введение

Тип топологического пространства

В топологии и смежных областях математики пространство Хаусдорфа (['/h//aʊ//s//d//ɔːr//f/ HOWSSdorf, '/h//aʊ//z//d//ɔːr//f/ HOWZdorf]), разделенное пространство или T₂-пространство — это топологическое пространство, в котором для любых двух различных точек существуют окрестности каждой из них, не пересекающиеся друг с другом. Из множества аксиом разделения, которые можно наложить на топологическое пространство, "условие Хаусдорфа" (T₂) является наиболее часто используемым и обсуждаемым. Оно влечет за собой единственность пределов последовательностей, сетей и фильтров. Пространства Хаусдорфа названы в честь Феликса Хаусдорфа, одного из основателей топологии. Оригинальное определение топологического пространства Хаусдорфом (в 1914 году) включало условие Хаусдорфа в качестве аксиомы.

Определения

Точки x и y в топологическом пространстве могут быть разделены окрестностями, если существует окрестность U точки x и окрестность V точки y такие, что U и V не пересекаются. Топологическое пространство называется пространством Хаусдорфа, если любые две различные точки в нем могут быть разделены окрестностями. Это условие является третьей аксиомой разделения (после T0 и T1), поэтому пространства Хаусдорфа также называются пространствами T2. Также используется название "разделённое пространство". Связанным, но более слабым понятием является понятие пререгулярного пространства. Пространство является пререгулярным, если любые две топологически различимые точки могут быть разделены непересекающимися окрестностями. Пререгулярное пространство также называется пространством R1. Связь между этими двумя условиями следующая: топологическое пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно одновременно пререгулярно (то есть топологически различимые точки разделены окрестностями) и колмогоровским (то есть различные точки топологически различимы). Топологическое пространство является пререгулярным тогда и только тогда, когда его колмогоровское факторпространство является хаусдорфовым.

Примеры пространств Хаусдорфа и нехаусдорфовских пространств

Почти все пространства, встречающиеся в анализе, являются хаусдорфовыми; наиболее важно, что вещественные числа (в стандартной метрической топологии на вещественных числах) являются хаусдорфовым пространством. В более общем случае, все метрические пространства являются хаусдорфовыми. Фактически, во многих областях анализа, таких как топологические группы и топологические многообразия, условие хаусдорфовости явно указано в их определениях. Простой пример топологии, являющейся T1, но не хаусдорфовой, – это кофинитная топология, определенная на бесконечном множестве, а также кокоунтабельная топология, определенная на несчетном множестве. Псевдометрические пространства обычно не являются хаусдорфовыми, но они пререгулярны, и используются в анализе, как правило, только при построении хаусдорфовых пространств с масштабом. Действительно, когда аналитики сталкиваются с нехаусдорфовым пространством, оно, как правило, все равно хотя бы пререгулярно, и тогда его просто заменяют его кольмогоровским частным, которое является хаусдорфовым. В отличие от этого, не пререгулярные пространства встречаются гораздо чаще в абстрактной алгебре и алгебраической геометрии, в частности, в виде топологии Зариски на алгебраическом многообразии или спектра кольца. Они также возникают в теории моделей интуиционистской логики: каждая полная алгебра Хейтинга является алгеброй открытых множеств некоторого топологического пространства, но это пространство не обязано быть пререгулярным, тем более хаусдорфовым, и на самом деле обычно таковым не является. Связанное понятие домена Скотта также состоит из не пререгулярных пространств. Хотя существование единственных пределов для сходящихся сетей и фильтров подразумевает, что пространство является хаусдорфовым, существуют нехаусдорфовы пространства T1, в которых каждая сходящаяся последовательность имеет единственный предел. Такие пространства называются US-пространствами. Для последовательных пространств это понятие эквивалентно слабой хаусдорфовости.

Свойства

Подпространства и произведения пространств Хаусдорфа являются пространствами Хаусдорфа, но факторпространства пространств Хаусдорфа не обязаны быть пространствами Хаусдорфа. Фактически, каждое топологическое пространство может быть реализовано как факторпространство некоторого пространства Хаусдорфа. Пространства Хаусдорфа являются T1, что означает, что каждый синглетон является замкнутым множеством. Аналогично, пререгулярные пространства являются R0. Каждое пространство Хаусдорфа является трезвым пространством, хотя обратное в общем случае неверно. Другое свойство пространств Хаусдорфа заключается в том, что каждое компактное множество является замкнутым множеством. Для нехаусдорфовых пространств может быть, что каждое компактное множество является замкнутым множеством (например, кокосчетная топология на несчетном множестве) или не является (например, коконечная топология на бесконечном множестве и пространство Серпинского). Определение пространства Хаусдорфа говорит о том, что точки могут быть разделены окрестностями. Оказывается, что это подразумевает нечто, кажущееся более сильным: в пространстве Хаусдорфа каждая пара непересекающихся компактных множеств также может быть разделена окрестностями, другими словами, существует окрестность одного множества и окрестность другого, такие что эти две окрестности не пересекаются. Это пример общего правила, что компактные множества часто ведут себя как точки. Условия компактности вместе с пререгулярностью часто подразумевают более сильные аксиомы разделения. Например, любое локально компактное пререгулярное пространство является вполне регулярным. Компактные пререгулярные пространства являются нормальными, что означает, что они удовлетворяют лемме Урисона и теореме о продолжении Тиеце и имеют разбиения единства, подчиненные локально конечным открытым покрытиям. Хаусдорфовы версии этих утверждений: каждое локально компактное пространство Хаусдорфа является тихоновым, и каждое компактное пространство Хаусдорфа является нормальным хаусдорфовым. Следующие результаты представляют собой некоторые технические свойства относительно отображений (непрерывных и других) в и из пространств Хаусдорфа. Пусть – непрерывная функция и предположим, что – пространство Хаусдорфа. Тогда граф , , является замкнутым подмножеством . Пусть – функция и пусть – ее ядро, рассматриваемое как подпространство . Если непрерывна и – пространство Хаусдорфа, то – замкнутое множество. Если – открытое сюръективное отображение и – замкнутое множество, то – пространство Хаусдорфа. Если – непрерывное открытое сюръективное отображение (т.е. открытое факторное отображение), то – пространство Хаусдорфа тогда и только тогда, когда – замкнутое множество. Если – непрерывные отображения и – пространство Хаусдорфа, то эквалайзер – замкнутое множество в . Следовательно, если – пространство Хаусдорфа и и совпадают на плотном подмножестве , то . Другими словами, непрерывные функции в пространства Хаусдорфа определяются своими значениями на плотных подмножествах. Пусть – замкнутое сюръективное отображение, такое что компактно для всех . Тогда если – пространство Хаусдорфа, то – пространство Хаусдорфа. Пусть – факторное отображение, где – компактное пространство Хаусдорфа. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
– пространство Хаусдорфа.
– замкнутое отображение.
– замкнутое множество.

Пререгулярность против регулярности

Все регулярные пространства являются пререгулярными, как и все пространства Хаусдорфа. Существует множество результатов для топологических пространств, справедливых как для регулярных, так и для пространств Хаусдорфа. В большинстве случаев эти результаты применимы ко всем пререгулярным пространствам; они были сформулированы отдельно для регулярных и пространств Хаусдорфа, поскольку понятие пререгулярных пространств возникло позднее. С другой стороны, результаты, которые действительно касаются регулярности, обычно не применимы к нерегулярным пространствам Хаусдорфа. Часто бывает, что другое свойство топологического пространства (например, паракомпактность или локальная компактность) влечёт за собой регулярность, если пространство удовлетворяет условию пререгулярности. Такие свойства часто существуют в двух вариантах: регулярном и хаусдорфовом. Хотя пространства Хаусдорфа, как правило, не являются регулярными, пространство Хаусдорфа, которое также, например, локально компактно, будет регулярным, поскольку любое пространство Хаусдорфа является пререгулярным. Таким образом, с определённой точки зрения, в этих ситуациях важнее пререгулярность, чем регулярность. Однако определения обычно всё ещё формулируются в терминах регулярности, поскольку это условие более известно, чем пререгулярность. Подробнее об этом вопросе см. в разделе «История аксиом разделения».

Варианты

Термины "хаусдорфово", "разделенное" и "пререгулярное" также применимы к таким вариантам топологических пространств, как однородные пространства, пространства Коши и пространства сходимости. Общей чертой, объединяющей эти примеры, является то, что пределы сетей и фильтров (если они существуют) единственны (для разделенных пространств) или единственны с точностью до топологической неразличимости (для пререгулярных пространств). Оказывается, однородные пространства и, в более общем случае, пространства Коши всегда пререгулярны, поэтому условие Хаусдорфа в этих случаях сводится к условию T0. Это также пространства, в которых понятие полноты имеет смысл, и хаусдорфовость естественно сочетается с полнотой. В частности, пространство является полным тогда и только тогда, когда любая сеть Коши имеет хотя бы один предел, а пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда любая сеть Коши имеет не более одного предела (поскольку пределы могут существовать только у сетей Коши).

Алгебра функций

Алгебра непрерывных (действительных или комплексных) функций на компактном хаусдорфовом пространстве является коммутативной C*-алгеброй, и, обратно, по теореме Банаха — Стоуна можно восстановить топологию пространства из алгебраических свойств его алгебры непрерывных функций. Это приводит к некомутативной геометрии, где некомутативные C*-алгебры рассматриваются как алгебры функций на некомутативном пространстве.

Академический юмор

Условие Гаусдорфа иллюстрируется каламбуром о том, что в пространствах Гаусдорфа любые две точки можно "обособить" друг от друга открытыми множествами. В Институте математики Боннского университета, где Феликс Хаусдорф проводил исследования и преподавал, есть комната, специально называемая Hausdorff Raum. Это игра слов, так как немецкое слово Raum означает и комнату, и пространство.