Метризуемые пространства и теоремы о метризации

Введение

Топологическое пространство, гомеоморфное метрическому пространству. В топологии и смежных областях математики, метризуемое пространство — это топологическое пространство, гомеоморфное метрическому пространству. Иными словами, топологическое пространство называется метризуемым, если существует метрика, индуцирующая его топологию. Теоремы о метризации — это теоремы, предоставляющие достаточные условия для метризуемости топологического пространства.

Свойства

Метризуемые пространства наследуют все топологические свойства от метрических пространств. Например, они являются пространствами Хаусдорфа, паракомпактными (и, следовательно, нормальными и тихоноффскими) и первыми счетными. Однако некоторые свойства метрики, такие как полнота, не обязательно наследуются. То же справедливо и для других структур, связанных с метрикой. Например, метризуемое равномерное пространство может иметь отличный от соответствующего ему метрического пространства набор сокращений.

Теоремы метризации

Одной из первых широко признанных теорем метризации была теорема метризации Урысона. Она утверждает, что каждое хаусдорфово второстепенно счётноe регулярное пространство является метризуемым. Таким образом, например, каждое второстепенно счётноe многообразие является метризуемым. (Историческая справка: Форма теоремы, представленная здесь, была фактически доказана Тихоновым в 1926 году. Урысон показал в работе, опубликованной посмертно в 1925 году, что каждое второстепенно счётноe нормальное хаусдорфово пространство является метризуемым). Обратное неверно: существуют метрические пространства, которые не являются второстепенно счётноми, например, несчётное множество, наделённое дискретной метрикой. Теорема о метризации Нагаты — Смирнова, описанная ниже, предоставляет более конкретную теорему, для которой обратное утверждение справедливо. Несколько других теорем метризации вытекают как простые следствия из теоремы Урысона. Например, компактное хаусдорфово пространство является метризуемым тогда и только тогда, когда оно второстепенно счётно. Теорему Урысона можно переформулировать следующим образом: топологическое пространство является разделимым и метризуемым тогда и только тогда, когда оно регулярное, хаусдорфово и второстепенно счётно. Теорема о метризации Нагаты — Смирнова распространяет это на неразделимый случай. В ней говорится, что топологическое пространство является метризуемым тогда и только тогда, когда оно регулярное, хаусдорфово и имеет σ-локально конечную базу. σ-локально конечная база — это база, являющаяся объединением счётного числа локально конечных коллекций открытых множеств. Более близко связанную теорему можно найти в теореме о метризации Бинга. Разделимые метризуемые пространства также можно охарактеризовать как пространства, гомеоморфные подпространству куба Гильберта, то есть счётного бесконечного произведения единичного интервала (с его естественной топологией подпространства из действительных чисел) с самим собой, наделённого топологией произведения. Пространство называется локально метризуемым, если каждая точка имеет метризуемую окрестность. Смирнов доказал, что локально метризуемое пространство является метризуемым тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и паракомпактно. В частности, многообразие является метризуемым тогда и только тогда, когда оно паракомпактно.

One of the first widely recognized metrization theorems was Urysohn's metrization theorem. This states that every Hausdorff second countable regular space is metrizable. So, for example, every second countable manifold is metrizable. (Historical note: The form of the theorem shown here was in fact proved by Tikhonov in 1926. What Urysohn had shown, in a paper published posthumously in 1925, was that every second countable normal Hausdorff space is metrizable). The converse does not hold: there exist metric spaces that are not second countable, for example, an uncountable set endowed with the discrete metric. The Nagata–Smirnov metrization theorem, described below, provides a more specific theorem where the converse does hold. Several other metrization theorems follow as simple corollaries to Urysohn's theorem. For example, a compact Hausdorff space is metrizable if and only if it is second countable. Urysohn's Theorem can be restated as: A topological space is separable and metrizable if and only if it is regular, Hausdorff and second countable. The Nagata–Smirnov metrization theorem extends this to the non separable case. It states that a topological space is metrizable if and only if it is regular, Hausdorff and has a σ locally finite base. A σ locally finite base is a base which is a union of countably many locally finite collections of open sets. For a closely related theorem see the Bing metrization theorem. Separable metrizable spaces can also be characterized as those spaces which are homeomorphic to a subspace of the Hilbert cube that is, the countably infinite product of the unit interval (with its natural subspace topology from the reals) with itself, endowed with the product topology. A space is said to be locally metrizable if every point has a metrizable neighbourhood. Smirnov proved that a locally metrizable space is metrizable if and only if it is Hausdorff and paracompact. In particular, a manifold is metrizable if and only if it is paracompact.

Местная метризация, но не метризация

Линия с двумя истоками, также называемая нехаусдорфовым многообразием (и, следовательно, не может быть метризуемым). Как и все многообразия, она локально гомеоморфна евклидову пространству и, таким образом, локально метризуема (но не метризуема) и локально хаусдорфова (но не хаусдорфова). Она также является T1 локально регулярным пространством, но не полурегулярным пространством. Длинная линия локально метризуема, но не метризуема; в некотором смысле она "слишком длинная".