Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Американский математик
American mathematician
Биография
Беллман родился в 1920 году в Нью-Йорке в семье непрактикующих евреев польского и русского происхождения, Перл (урожденная Саффиан) и Джона Джеймса Беллмана. Относительно своих религиозных взглядов, он был атеистом. Он учился в средней школе имени Авраама Линкольна в Бруклине в 1937 году и изучал математику в Бруклинском колледже, где получил степень бакалавра в 1941 году. Позже он получил степень магистра в Университете Висконсина. Во время Второй мировой войны он работал в группе теоретической физики в Лос-Аламосе. В 1946 году он получил степень доктора философии (Ph.D.) в Принстонском университете под руководством Соломона Лефшеца. Начиная с 1949 года, Беллман много лет работал в корпорации RAND, и именно в этот период он разработал динамическое программирование. Позднее в жизни интересы Ричарда Беллмана стали все больше склоняться к биологии и медицине, которые он считал «передовыми рубежами современной науки». В 1967 году он стал главным редателем журнала Mathematical Biosciences, который быстро стал (и остается) одним из важнейших журналов в области математической биологии. В 1985 году в его честь была учреждена премия Беллмана по математическим биологическим наукам, которая вручается раз в два года за лучшую научную статью, опубликованную в журнале. В 1973 году у Беллмана диагностировали опухоль головного мозга, которую удалили, но возникшие осложнения привели к тяжелой инвалидности. Он был профессором Университета Южной Калифорнии, членом Американской академии искусств и наук (1975), членом Национальной инженерной академии (1977) и членом Национальной академии наук (1983). В 1979 году он был удостоен медали почета IEEE «за вклад в теорию принятия решений и теорию управления, в частности за создание и применение динамического программирования». Его ключевой работой является уравнение Беллмана.
Bellman was born in 1920 in New York City to non practising Jewish parents of Polish and Russian descent, Pearl (née Saffian) and John James Bellman, On his religious views, he was an atheist. He attended Abraham Lincoln High School, Brooklyn in 1937, and studied mathematics at Brooklyn College where he earned a BA in 1941. He later earned an MA from the University of Wisconsin. During World War II, he worked for a Theoretical Physics Division group in Los Alamos. In 1946, he received his Ph. D. at Princeton University under the supervision of Solomon Lefschetz. Beginning in 1949, Bellman worked for many years at RAND corporation, and it was during this time that he developed dynamic programming. Later in life, Richard Bellman's interests began to emphasize biology and medicine, which he identified as "the frontiers of contemporary science". In 1967, he became founding editor of the journal Mathematical Biosciences, which rapidly became (and remains) one of the most important journals in the field of Mathematical Biology. In 1985, the Bellman Prize in Mathematical Biosciences was created in his honor, being awarded biannually to the journal's best research paper. Bellman was diagnosed with a brain tumor in 1973, which was removed but resulted in complications that left him severely disabled. He was a professor at the University of Southern California, a Fellow in the American Academy of Arts and Sciences (1975), a member of the National Academy of Engineering (1977), and a member of the National Academy of Sciences (1983). He was awarded the IEEE Medal of Honor in 1979, "for contributions to decision processes and control system theory, particularly the creation and application of dynamic programming". His key work is the Bellman equation.
Уравнение Беллмана
Уравнение Беллмана, также известное как уравнение динамического программирования, является необходимым условием оптимальности, связанным с математическим методом оптимизации, известным как динамическое программирование. Почти любая задача, решаемая с помощью теории оптимального управления, также может быть решена путем анализа соответствующего уравнения Беллмана. Уравнение Беллмана впервые было применено в теории управления в инженерии и других областях прикладной математики, а впоследствии стало важным инструментом в экономической теории.
A Bellman equation, also known as a dynamic programming equation, is a necessary condition for optimality associated with the mathematical optimization method known as dynamic programming. Almost any problem which can be solved using optimal control theory can also be solved by analyzing the appropriate Bellman equation. The Bellman equation was first applied to engineering control theory and to other topics in applied mathematics, and subsequently became an important tool in economic theory.
Уравнение Гамильтона Джейкоби Беллмана
Уравнение Гамильтона–Джакоби–Белмана (HJB) — это уравнение в частных производных, играющее центральную роль в теории оптимального управления. Решение уравнения HJB — это «функция ценности», которая определяет оптимальную стоимость достижения цели для заданной динамической системы с соответствующей функцией стоимости. Классические вариационные задачи, например, задача о брахистохроне, также могут быть решены этим методом. Уравнение является результатом теории динамического программирования, разработанной в 1950-х годах Ричардом Беллманом и его сотрудниками. Соответствующее уравнение для дискретного времени обычно называют уравнением Беллмана. В непрерывном времени этот результат можно рассматривать как обобщение более ранних работ в классической физике по уравнению Гамильтона–Якоби, выполненных Уильямом Роуэном Гамильтоном и Карлом Густавом Якобом Якоби.
The Hamilton–Jacobi–Bellman equation (HJB) is a partial differential equation which is central to optimal control theory. The solution of the HJB equation is the 'value function', which gives the optimal cost to go for a given dynamical system with an associated cost function. Classical variational problems, for example, the brachistochrone problem can be solved using this method as well. The equation is a result of the theory of dynamic programming which was pioneered in the 1950s by Richard Bellman and coworkers. The corresponding discrete time equation is usually referred to as the Bellman equation. In continuous time, the result can be seen as an extension of earlier work in classical physics on the Hamilton–Jacobi equation by William Rowan Hamilton and Carl Gustav Jacob Jacobi.
Проклятие измерения
Проклятие размерности — термин, введенный Беллманом для описания проблемы, возникающей из-за экспоненциального роста объема при добавлении дополнительных измерений в (математическое) пространство. Одним из следствий проклятия размерности является то, что некоторые методы численного решения уравнения Беллмана требуют значительно больше вычислительного времени при увеличении числа переменных состояния в функции ценности. Например, для дискретизации единичного интервала с расстоянием между точками не более 0,01 достаточно 100 равномерно распределенных точек; для аналогичной дискретизации 10-мерного единичного гиперкуба с решеткой и расстоянием 0,01 между соседними точками потребуется 10<sup>20</sup> точек. Таким образом, в определенном смысле, 10-мерный гиперкуб можно считать в 10<sup>18</sup> раз "больше", чем единичный интервал. (Пример, адаптированный из примера Р. Э. Беллмана, см. ниже.)
The curse of dimensionality is an expression coined by Bellman to describe the problem caused by the exponential increase in volume associated with adding extra dimensions to a (mathematical) space. One implication of the curse of dimensionality is that some methods for numerical solution of the Bellman equation require vastly more computer time when there are more state variables in the value function. For example, 100 evenly spaced sample points suffice to sample a unit interval with no more than 0.01 distance between points; an equivalent sampling of a 10 dimensional unit hypercube with a lattice with a spacing of 0.01 between adjacent points would require 1020 sample points: thus, in some sense, the 10 dimensional hypercube can be said to be a factor of 1018 "larger" than the unit interval. (Adapted from an example by R. E. Bellman, see below.)
Алгоритм Беллмана-Форда
Хотя алгоритм был открыт после работ Форда, он упоминается в алгоритме Беллмана — Форда, который также иногда называют алгоритмом корректировки меток. Этот алгоритм вычисляет кратчайшие пути от одной вершины до всех остальных в взвешенном ориентированном графе, где некоторые веса рёбер могут быть отрицательными. Алгоритм Дейкстры решает ту же задачу с меньшим временем работы, но требует, чтобы веса рёбер были неотрицательными.
Though discovering the algorithm after Ford he is referred to in the Bellman–Ford algorithm, also sometimes referred to as the Label Correcting Algorithm, computes single source shortest paths in a weighted digraph where some of the edge weights may be negative. Dijkstra's algorithm accomplishes the same problem with a lower running time, but requires edge weights to be non negative.
Публикации
За свою карьеру он опубликовал 619 статей и 39 книг. В последние 11 лет жизни он опубликовал более 100 статей, несмотря на тяжелейшие осложнения после операции на головном мозге (Дрейфус, 2003). Вот некоторые из них:
Over the course of his career he published 619 papers and 39 books. During the last 11 years of his life he published over 100 papers despite suffering from crippling complications of brain surgery (Dreyfus, 2003). A selection:
Статьи
Беллман, Р. Е., Калаба, Р. Е., Динамическое программирование и управление обратной связью, RAND Corporation, P 1778, 1959.
Bellman, R. E, Kalaba, R. E, Dynamic Programming and Feedback Control, RAND Corporation, P 1778, 1959.