Джон фон Нейман: Математик, физик и пионер компьютерной науки.

Джон фон Нейман: биография, вклад в математику, физику, экономику и информатику. Пионер квантовой физики, теории игр и разработки компьютеров.

63 мин чтения

100%

Источник: John von Neumann — Wikipedia

Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.

Содержание

Введение

Венгерский и американский математик и физик (1903–1957)

Джон фон Нейман (/v//ɒ//n// /'/n//ɔɪ//m//ən/ von NOYmən; Neumann János Lajos; 28 декабря 1903 – 8 февраля 1957) был венгерским и американским математиком, физиком, ученым в области компьютерных наук, инженером и энциклопедистом. Он, возможно, обладал самым широким кругом знаний среди математиков своего времени, объединяя фундаментальные и прикладные науки и внося значительный вклад во многие области, включая математику, физику, экономику, вычислительную технику и статистику. Он был пионером в создании математической основы квантовой физики, в разработке функционального анализа и теории игр, вводя или кодифицируя такие понятия, как клеточные автоматы, универсальный конструктор и цифровой компьютер. Его анализ структуры самовоспроизведения предшествовал открытию структуры ДНК. Во время Второй мировой войны фон Нейман работал над Манхэттенским проектом, разработав математические модели взрывных линз, использовавшихся в ядерном оружии имплозионного типа. До и после войны он консультировал множество организаций, включая Управление научных исследований и разработок, Баллистическую исследовательскую лабораторию армии, Проект специального оружия вооруженных сил и Национальную лабораторию Ок-Ридж. На пике своего влияния в 1950-х годах он возглавлял ряд комитетов Министерства обороны, включая Комитет по оценке стратегических ракет и Научно-консультативный комитет по межконтинентальным баллистическим ракетам. Он также был членом влиятельной Комиссии по атомной энергии, отвечавшей за все разработки в области атомной энергетики в стране. Он сыграл ключевую роль вместе с Бернардом Шривером и Тревором Гарднером в проектировании и разработке первых американских программ создания межконтинентальных баллистических ракет. В то время он считался ведущим экспертом в области ядерного оружия и главным военным ученым в Министерстве обороны США. Вклад и интеллектуальные способности фон Неймана получили высокую оценку коллег по физике, математике и другим областям. Он был удостоен множества наград, от Медали Свободы до кратера на Луне, названного в его честь.

John von Neumann (/v//ɒ//n// /'/n//ɔɪ//m//ən/ von NOYmən; Neumann János Lajos ; December 28, 1903 – February 8, 1957) was a Hungarian and American mathematician, physicist, computer scientist, engineer and polymath. He had perhaps the widest coverage of any mathematician of his time, integrating pure and applied sciences and making major contributions to many fields, including mathematics, physics, economics, computing, and statistics. He was a pioneer in building the mathematical framework of quantum physics, in the development of functional analysis, and in game theory, introducing or codifying concepts including cellular automata, the universal constructor and the digital computer. His analysis of the structure of self replication preceded the discovery of the structure of DNA. During World War II, von Neumann worked on the Manhattan Project. He developed the mathematical models behind the explosive lenses used in the implosion type nuclear weapon. Before and after the war, he consulted for many organizations including the Office of Scientific Research and Development, the Army's Ballistic Research Laboratory, the Armed Forces Special Weapons Project and the Oak Ridge National Laboratory. At the peak of his influence in the 1950s, he chaired a number of Defense Department committees including the Strategic Missile Evaluation Committee and the ICBM Scientific Advisory Committee. He was also a member of the influential Atomic Energy Commission in charge of all atomic energy development in the country. He played a key role alongside Bernard Schriever and Trevor Gardner in the design and development of the United States' first ICBM programs. At that time he was considered the nation's foremost expert on nuclear weaponry and the leading defense scientist at the U. S. Department of Defense. Von Neumann's contributions and intellectual ability drew praise from colleagues in physics, mathematics, and beyond. Accolades he received range from the Medal of Freedom to a crater on the Moon named in his honor.

Семейное происхождение

Фон Нейманн родился в Будапеште, Королевство Венгрия (тогда часть Австро-Венгерской империи), 28 декабря 1903 года, в богатой, нерелигиозной еврейской семье. Его имя при рождении было Нойманн Янош Лайош. В венгерском языке фамилия ставится на первое место, а его имена соответствуют английским именам Джон и Луис. Он был старшим из трех братьев; его два младших брата – Михайи (Майкл) и Миклош (Николас). Его отец, Нойманн Микса (Макс фон Нейманн), был банкиром и имел докторскую степень в области права. Он переехал в Будапешт из Печа в конце 1880-х годов. Отец и дед Миксы родились в Онде (ныне часть Серенца), в графстве Земплен, на севере Венгрии. Мать Джона была Канн Маргит (Маргарет Канн); ее родители – Якоб Канн и Каталин Мейзельс из семьи Мейзельс. Три поколения семьи Канн жили в просторных квартирах над офисами Канн-Хеллер в Будапеште; семья фон Нейманнов занимала 18-комнатную квартиру на верхнем этаже. 20 февраля 1913 года император Франц Иосиф возвел отца Джона в венгерское дворянство за службу Австро-Венгерской империи. Таким образом, семья Нойманнов получила наследственное прозвание Маргиттаи, означающее «из Маргитты» (ныне Маргита, Румыния). Семья не имела связи с этим городом; прозвание было выбрано в честь Маргарет, как и их выбранный герб, изображающий три маргаритки. Нойманн Янош стал маргиттай Нойманн Янош (Джон Нойманн де Маргитта), которое позже он изменил на немецкое Иоганн фон Нейманн.

Чудо-ребенок

Фон Нейман был вундеркиндом, который в шесть лет мог делить в уме два восьмизначных числа и бегло говорить на древнегреческом языке. Его, его братьев и кузенов обучали гувернантки. Отец фон Неймана считал знание языков, отличных от родного венгерского, необходимым, поэтому детей обучали английскому, французскому, немецкому и итальянскому языкам. К восьми годам фон Нейман был знаком с дифференциальным и интегральным исчислением, а к двенадцати годам прочитал труд Бореля «Теория функций». Он также интересовался историей, читая 46-томную всемирную историю Вильгельма Онкена «Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen» (Всеобщая история в монографиях). Одна из комнат в квартире была переоборудована в библиотеку и читальный зал. В 1914 году фон Нейман поступил в лютеранскую гимназию Fasori Evangélikus Gimnázium. Юджин Вигнер учился на год старше фон Неймана и вскоре стал его другом. Несмотря на то, что отец фон Неймана настаивал на том, чтобы он посещал школу в классе, соответствующем его возрасту, он согласился нанять частных репетиторов для углубленного обучения фон Неймана. В 15 лет он начал изучать высшее математическое исчисление под руководством аналитика Габора Сеге. К 19 годам фон Нейман опубликовал две важные математические работы, вторая из которых дала современное определение ординальных чисел, заменив определение Георга Кантора. По окончании гимназии он подал заявку и получил премию Эётвоша – национальную награду в области математики.

Университетские исследования

По словам его друга Теодора фон Кармана, отец фон Неймана хотел, чтобы Джон пошел по его стопам в промышленность и попросил фон Кармана убедить сына не заниматься математикой. Фон Нейман и его отец решили, что наиболее перспективным направлением карьеры будет химическая инженерия. Поскольку фон Нейман не имел в этой области особых знаний, ему предложили пройти двухлетний курс химии в Берлинском университете, после чего он сдал вступительный экзамен в ETH Zurich и успешно поступил туда в сентябре 1923 года. Одновременно фон Нейман поступил в Университет Пазманя Петера в Будапеште в качестве аспиранта по математике. В качестве диссертации он разработал аксиоматизацию теории множеств Кантора. Он окончил ETH Zurich в 1926 году, получив диплом химического инженера, и одновременно сдал выпускные экзамены summa cum laude для получения степени доктора философии по математике (со специализациями в экспериментальной физике и химии). Затем он отправился в Геттингенский университет по гранту Фонда Рокфеллера для изучения математики под руководством Давида Гильберта. Герман Вейль вспоминает, как зимой 1926–1927 годов фон Нейман, Эмми Нётер и он прогуливались по "холодным, мокрым, промокшим от дождя улицам Геттингена" после занятий, обсуждая гиперкомплексные системы чисел и их представления.

Карьера и личная жизнь

13 декабря 1927 года фон Нейман завершил процедуру получения абилитации и в 1928 году начал преподавать в качестве приват-доцента в Берлинском университете. Он был самым молодым приват-доцентом, когда-либо избранным в истории университета. Он начал публиковать почти одну крупную математическую работу в месяц. В 1929 году он ненадолго преподавал в качестве приват-доцента в Гамбургском университете, где были лучше перспективы получения должности профессора, а затем в октябре того же года переехал в Принстонский университет в качестве приглашенного лектора по математической физике. В 1930 году фон Нейман крестился в католической вере. Вскоре после этого он женился на Мариетте Кёвеши, которая изучала экономику в Будапештском университете. У фон Неймана и Мариетты родилась дочь Марина, появившаяся на свет в 1935 году; она стала профессором. Пара развелась 2 ноября 1937 года. 17 ноября 1938 года фон Нейман женился на Кларе Дан. В 1933 году фон Нейман принял предложение занять должность профессора в Институте перспективных исследований в Нью-Джерси, когда планы института по назначению Германа Вейля, по всей видимости, сорвались. Его мать, братья и родственники последовали за фон Нейманом в Соединенные Штаты в 1939 году. Фон Нейман американизировал свое имя, став Джоном, сохранив немецкую аристократическую фамилию фон Нейман. В 1937 году фон Нейман получил гражданство США и сразу же попытался поступить на службу лейтенантом в офицерский резерв армии США. Он прошел экзамены, но был отклонен из-за возраста. Клара и Джон фон Нейман активно участвовали в жизни местного академического сообщества. Их белый деревянный дом на Уэсткотт-роуд был одним из самых больших частных домов в Принстоне. Он всегда носил строгие костюмы. Он был известен тем, что всегда охотно предоставлял научные и математические консультации людям с любым уровнем подготовки. Вигнер писал, что он, возможно, руководил большим количеством работ (в широком смысле этого слова), чем любой другой современный математик. Его дочь писала, что он очень беспокоился о своем наследии в двух аспектах: о ее жизни и о долговечности его интеллектуального вклада в мир. Многие считали его отличным председателем комитетов, легко уступающим в личных или организационных вопросах, но настойчивым в технических. Герберт Йорк описал многочисленные «Комитеты фон Неймана», в которых он участвовал, как «замечательные как по стилю, так и по результатам». Способ работы комитетов под председательством фон Неймана, напрямую и тесно взаимодействующих с необходимыми военными или корпоративными структурами, стал основой для всех программ разработки ракет большой дальности ВВС. Многие, кто знал фон Неймана, были озадачены его отношениями с военными и властными структурами в целом. Станислав Улам подозревал, что он испытывал скрытое восхищение людьми или организациями, способными влиять на мысли и решения других. Он также сохранил знание языков, которые выучил в молодости. Он свободно владел венгерским, французским, немецким и английским языками, а также мог поддерживать разговор на итальянском, идише, латыни и древнегреческом языках. Его испанский был не столь совершенен. Он страстно увлекался древней историей и обладал энциклопедическими знаниями в этой области, ему нравилось читать древнегреческих историков на оригинальном греческом языке. Улам подозревал, что они могли сформировать его взгляды на то, как могут развиваться будущие события и как работает человеческая природа и общество в целом. Ближайшим другом фон Неймана в Соединенных Штатах был математик Станислав Улам. Фон Нейман считал, что большая часть его математического мышления происходит интуитивно; он часто ложился спать с нерешенной проблемой и знал ответ, проснувшись. Улам заметил, что мышление фон Неймана, возможно, не было визуальным, а скорее аудиальным. Улам вспоминал: «Совершенно независимо от его любви к абстрактному остроумию, он испытывал сильную признательность (можно сказать, почти голод) к более приземленному типу комедии и юмора».

Von Neumann's habilitation was completed on December 13, 1927, and he began to give lectures as a Privatdozent at the University of Berlin in 1928. He was the youngest person elected Privatdozent in the university's history. He began writing nearly one major mathematics paper per month. In 1929, he briefly became a Privatdozent at the University of Hamburg, where the prospects of becoming a tenured professor were better, then in October of that year moved to Princeton University as a visiting lecturer in mathematical physics. Von Neumann was baptized a Catholic in 1930. Shortly afterward, he married Marietta Kövesi, who had studied economics at Budapest University. Von Neumann and Marietta had a daughter, Marina, born in 1935; she would become a professor. The couple divorced on November 2, 1937. On November 17, 1938, von Neumann married Klara Dan. In 1933 Von Neumann accepted a tenured professorship at the Institute for Advanced Study in New Jersey, when that institution's plan to appoint Hermann Weyl appeared to have failed. His mother, brothers and in laws followed von Neumann to the United States in 1939. Von Neumann anglicized his name to John, keeping the German aristocratic surname von Neumann. Von Neumann became a naturalized U. S. citizen in 1937, and immediately tried to become a lieutenant in the U. S. Army's Officers Reserve Corps. He passed the exams but was rejected because of his age. Klara and John von Neumann were socially active within the local academic community. His white clapboard house on Westcott Road was one of Princeton's largest private residences. He always wore formal suits. He was known for always being happy to provide others of all ability levels with scientific and mathematical advice. Wigner wrote that he perhaps supervised more work (in a casual sense) than any other modern mathematician. His daughter wrote that he was very concerned with his legacy in two aspects: her life and the durability of his intellectual contributions to the world. Many considered him an excellent chairman of committees, deferring rather easily on personal or organizational matters but pressing on technical ones. Herbert York described the many "Von Neumann Committees" that he participated in as "remarkable in style as well as output". The way the committees von Neumann chaired worked directly and intimately with the necessary military or corporate entities became a blueprint for all Air Force long range missile programs. Many people who had known von Neumann were puzzled by his relationship to the military and to power structures in general. Stanisław Ulam suspected that he had a hidden admiration for people or organizations that could influence the thoughts and decision making of others. He also maintained his knowledge of languages learnt in his youth. He knew Hungarian, French, German and English fluently, and maintained a conversational level of Italian, Yiddish, Latin and Ancient Greek. His Spanish was less perfect. He had a passion for and encyclopedic knowledge of ancient history, and he enjoyed reading Ancient Greek historians in the original Greek. Ulam suspected they may have shaped his views on how future events could play out and how human nature and society worked in general. Von Neumann's closest friend in the United States was the mathematician Stanisław Ulam. Von Neumann believed that much of his mathematical thought occurred intuitively; he would often go to sleep with a problem unsolved and know the answer upon waking up. Ulam noted that von Neumann's way of thinking might not be visual, but more aural. Ulam recalled, "Quite independently of his liking for abstract wit, he had a strong appreciation (one might say almost a hunger) for the more earthy type of comedy and humor".

Болезнь и смерть

В 1955 году рядом с ключицей фон Неймана было обнаружено образование, которое оказалось раком, вероятно, возникшим в скелете, поджелудочной железе или предстательной железе. (Хотя существует общее согласие, что опухоль метастазировала, источники расходятся во мнениях относительно места первичного очага рака.) Злокачественное новообразование могло быть вызвано воздействием радиации в Лос-Аламосской национальной лаборатории. Отец Стриттматтер вспоминал, что даже после принятия последнего причастия фон Нейман не обрел душевного покоя или утешения, поскольку оставался в ужасе перед смертью и не мог смириться со своим положением. Говоря о своих религиозных взглядах, фон Нейман, по сообщениям, сказал: "Пока существует вероятность вечного проклятия для неверующих, логичнее быть верующим, особенно в конце", ссылаясь на пари Паскаля. Он поделился с матерью: "Вероятно, Бог существует. Многие вещи проще объяснить, если Он есть, чем если Его нет". Он умер 8 февраля 1957 года в армейском медицинском центре Уолтера Рида и был похоронен на Принстонском кладбище.

Теория множеств

В начале 20-го века попытки основать математику на наивной теории множеств потерпели неудачу из-за парадокса Рассела (на множестве всех множеств, которые не принадлежат самим себе). Проблема адекватной аксиоматизации теории множеств была решена неявно примерно через двадцать лет Эрнстом Зермело и Авраамом Френкелем. Теория множеств Зермело — Френкеля предоставила ряд принципов, позволяющих построить множества, используемые в обычной математической практике, но не исключала явно возможность существования множества, принадлежащего самому себе. В своей докторской диссертации 1925 года фон Нейман продемонстрировал два способа исключения таких множеств — аксиому основания и понятие класса. Аксиома основания утверждает, что каждое множество может быть построено снизу вверх, упорядоченной последовательностью шагов, посредством принципов Зермело — Френкеля. Если одно множество принадлежит другому, то первое должно предшествовать второму в этой последовательности. Это исключает возможность принадлежности множества самому себе. Чтобы показать, что добавление этой новой аксиомы не приводит к противоречиям, фон Нейман ввёл метод внутренних моделей, который стал важным инструментом доказательства в теории множеств. Второй подход к проблеме множеств, принадлежащих самим себе, основывался на понятии класса и определяет множество как класс, принадлежащий другим классам, а собственный класс — как класс, не принадлежащий другим классам. В рамках подхода Зермело — Френкеля аксиомы препятствуют построению множества всех множеств, которые не принадлежат самим себе. В отличие от этого, в подходе фон Неймана класс всех множеств, которые не принадлежат самим себе, может быть построен, но он является собственным классом, а не множеством. В целом, главным достижением фон Неймана в теории множеств стала «аксиоматизация теории множеств и (связанная с этим) изящная теория ординальных и кардинальных чисел, а также первая строгая формулировка принципов определения с помощью трансфинитной индукции».

At the beginning of the 20th century, efforts to base mathematics on naive set theory suffered a setback due to Russell's paradox (on the set of all sets that do not belong to themselves). The problem of an adequate axiomatization of set theory was resolved implicitly about twenty years later by Ernst Zermelo and Abraham Fraenkel. Zermelo–Fraenkel set theory provided a series of principles that allowed for the construction of the sets used in the everyday practice of mathematics, but did not explicitly exclude the possibility of the existence of a set that belongs to itself. In his 1925 doctoral thesis, von Neumann demonstrated two techniques to exclude such sets—the axiom of foundation and the notion of class. The axiom of foundation proposed that every set can be constructed from the bottom up in an ordered succession of steps by way of the Zermelo–Fraenkel principles. If one set belongs to another, then the first must necessarily come before the second in the succession. This excludes the possibility of a set belonging to itself. To demonstrate that the addition of this new axiom to the others did not produce contradictions, von Neumann introduced the method of inner models, which became an essential demonstration instrument in set theory. The second approach to the problem of sets belonging to themselves took as its base the notion of class, and defines a set as a class that belongs to other classes, while a proper class is defined as a class that does not belong to other classes. On the Zermelo–Fraenkel approach, the axioms impede the construction of a set of all sets that do not belong to themselves. In contrast, on von Neumann's approach, the class of all sets that do not belong to themselves can be constructed, but it is a proper class, not a set. Overall, von Neumann's major achievement in set theory was an "axiomatization of set theory and (connected with that) elegant theory of the ordinal and cardinal numbers as well as the first strict formulation of principles of definitions by the transfinite induction".

Парадокс фон Ноймана

Основываясь на парадоксе Хаусдорфа, сформулированном Феликсом Хаусдорфом в 1914 году, Стефан Банах и Альфред Тарски в 1924 году показали, как разбить трехмерный шар на непересекающиеся множества, а затем переместить и повернуть эти множества, чтобы получить две идентичные копии исходного шара; это и есть парадокс Банаха — Тарского. Они также доказали, что двумерный диск не допускает подобного парадоксального разложения. Однако в 1929 году фон Нейман разбил диск на конечное число частей и перекомпоновал их в два диска, используя аффинные преобразования, сохраняющие площадь, вместо сдвигов и вращений. Полученный результат зависел от обнаружения свободных групп аффинных преобразований, важного метода, который фон Нейман впоследствии расширил в своих работах по теории меры.

Теория доказательства

Благодаря вкладу фон Неймана в теорию множеств, аксиоматическая система теории множеств избежала противоречий более ранних систем и стала пригодной для использования в качестве основания математики, несмотря на отсутствие доказательства её непротиворечивости. Следующим вопросом было то, предоставляет ли она окончательные ответы на все математические вопросы, которые можно в ней сформулировать, или её можно было бы улучшить, добавив более сильные аксиомы, позволяющие доказать более широкий класс теорем. К 1927 году фон Нейман принимал участие в дискуссиях в Геттингене о том, следует ли элементарная арифметика из аксиом Пеано. Опираясь на работы Аккермана, он начал пытаться доказать (с использованием финистических методов школы Гильберта) непротиворечивость арифметики первого порядка. Ему удалось доказать непротиворечивость фрагмента арифметики натуральных чисел (путем введения ограничений на индукцию). Он продолжал искать более общее доказательство непротиворечивости классической математики, используя методы теории доказательств. Категорический отрицательный ответ на вопрос об окончательности был получен в сентябре 1930 года на Второй конференции по эпистемологии точных наук, где Курт Гёдель объявил свою первую теорему о неполноте: обычные аксиоматические системы неполны в том смысле, что они не могут доказать все истинные утверждения, выразимые на их языке. Более того, любое непротиворечивое расширение этих систем неизбежно остаётся неполным. На конференции фон Нейман предложил Гёделю попытаться обобщить его результаты на неразрешимые утверждения об целых числах. Менее чем через месяц фон Нейман сообщил Гёделю интересное следствие его теоремы: обычные аксиоматические системы не способны доказать собственную непротиворечивость. Гёдель ответил, что уже обнаружил это следствие, известное теперь как его вторая теорема о неполноте, и что он пришлёт препринт статьи, содержащей оба результата, который так и не был опубликован. В следующем письме фон Нейман признал приоритет Гёделя. Однако метод доказательства фон Неймана отличался от метода Гёделя, и он также считал, что вторая теорема о неполноте нанесла гораздо более серьёзный удар по программе Гильберта, чем полагал Гёдель. С этим открытием, радикально изменившим его взгляды на математическую строгость, фон Нейман прекратил исследования в области основ математики и метаматематики и сосредоточился на задачах, связанных с приложениями.

With the contributions of von Neumann to sets, the axiomatic system of the theory of sets avoided the contradictions of earlier systems and became usable as a foundation for mathematics, despite the lack of a proof of its consistency. The next question was whether it provided definitive answers to all mathematical questions that could be posed in it, or whether it might be improved by adding stronger axioms that could be used to prove a broader class of theorems. By 1927, von Neumann was involving himself in discussions in Göttingen on whether elementary arithmetic followed from Peano axioms. Building on the work of Ackermann, he began attempting to prove (using the finistic methods of Hilbert's school) the consistency of first order arithmetic. He succeeded in proving the consistency of a fragment of arithmetic of natural numbers (through the use of restrictions on induction). He continued looking for a more general proof of the consistency of classical mathematics using methods from proof theory. A strongly negative answer to whether it was definitive arrived in September 1930 at the Second Conference on the Epistemology of the Exact Sciences, in which Kurt Gödel announced his first theorem of incompleteness: the usual axiomatic systems are incomplete, in the sense that they cannot prove every truth expressible in their language. Moreover, every consistent extension of these systems necessarily remains incomplete. At the conference, von Neumann suggested to Gödel that he should try to transform his results for undecidable propositions about integers. Less than a month later, von Neumann communicated to Gödel an interesting consequence of his theorem: the usual axiomatic systems are unable to demonstrate their own consistency. Gödel replied that he had already discovered this consequence, now known as his second incompleteness theorem, and that he would send a preprint of his article containing both results, which never appeared. Von Neumann acknowledged Gödel's priority in his next letter. However, von Neumann's method of proof differed from Gödel's, and he was also of the opinion that the second incompleteness theorem had dealt a much stronger blow to Hilbert's program than Gödel thought it did. With this discovery, which drastically changed his views on mathematical rigor, von Neumann ceased research in the foundations of mathematics and metamathematics and instead spent time on problems connected with applications.

Эргодическая теория

В серии статей, опубликованных в 1932 году, фон Нейман внес основополагающий вклад в эргодическую теорию – раздел математики, изучающий состояния динамических систем с инвариантной мерой. Пол Халмос писал о статьях фон Неймана 1932 года по эргодической теории, что даже "если бы фон Нейман не сделал больше ничего, они были бы достаточны, чтобы обеспечить ему математическое бессмертие". К тому времени фон Нейман уже опубликовал свои работы по теории операторов, и применение этих результатов оказалось решающим при доказательстве его средней эргодической теоремы. Теорема посвящена произвольным однопараметрическим унитарным группам и утверждает, что для любого вектора в гильбертовом пространстве существует предел в смысле метрики, определяемой гильбертовой нормой, являющийся вектором, для которого выполняется условие для всех t. Это было доказано в первой статье. Во второй статье фон Нейман утверждал, что полученных им результатов достаточно для физических приложений, связанных с эргодической гипотезой Больцмана. Он также отметил, что проблема эргодичности еще не решена и выделил ее для дальнейших исследований. Позднее в том же году он опубликовал еще одну влиятельную работу, положившую начало систематическому изучению эргодичности. В ней он сформулировал и доказал теорему о разложении, показывающую, что эргодические действия, сохраняющие меру на вещественной прямой, являются фундаментальными строительными блоками, из которых можно построить все действия, сохраняющие меру. Приведены и доказаны также несколько других ключевых теорем. Результаты, представленные в этой статье и в другой, написанной совместно с Полом Халмосом, имеют важное применение в других областях математики.

Теория измерения

В теории меры "проблема измерения" для n-мерного евклидова пространства 'R'^(n) может быть сформулирована следующим образом: "существует ли положительная, нормализованная, инвариантная и аддитивная функция множества на классе всех подмножеств 'R'^(n)?" Работы Феликса Хаусдорфа и Стефана Банаха показали, что проблема измерения имеет положительное решение, если n = 1 или n = 2, и отрицательное решение (вследствие парадокса Банаха — Тарского) во всех остальных случаях. В работах фон Неймана утверждалось, что "проблема по существу носит группотеоретический характер": существование меры можно определить, рассматривая свойства группы преобразований данного пространства. Положительное решение для пространств размерности не более двух и отрицательное решение для пространств большей размерности обусловлены тем фактом, что евклидова группа является разрешимой группой для размерности не более двух и не является разрешимой для большей размерности. "Таким образом, по мнению фон Неймана, именно изменение группы имеет значение, а не изменение пространства". Около 1942 года он рассказал Дороти Махарам, как доказать, что каждое полное σ-конечное пространство с мерой имеет мультипликативное поднятие; он не опубликовал это доказательство, и позже она нашла новое решение. Во многих работах фон Неймана методы рассуждений, которые он использовал, считаются даже более значимыми, чем сами результаты. В преддверии своих дальнейших исследований теории размерности в алгебрах операторов фон Нейман использовал результаты об эквивалентности посредством конечного разложения и переформулировал проблему измерения в терминах функций. Важным вкладом фон Неймана в теорию меры стал результат работы, написанной в ответ на вопрос Хаара о том, существует ли алгебра всех ограниченных функций на действительной прямой, такая что они образуют "полную систему представителей классов почти везде равных измеримых ограниченных функций". Он доказал это утвердительно, а в более поздних работах со Стоуном обсуждал различные обобщения и алгебраические аспекты этой проблемы. Он также новыми методами доказал существование разложений для различных общих типов мер. Фон Нейман также предложил новое доказательство единственности мер Гаара, используя средние значения функций, хотя этот метод работал только для компактных групп. Ему пришлось разработать совершенно новые методы, чтобы применить его к локально компактным группам. Он также дал новое, изящное доказательство теоремы Радона — Никодима. Его лекционные заметки по теории меры, прочитанные в Институте перспективных исследований, были важным источником знаний по этой теме в Америке того времени и впоследствии были опубликованы.

In measure theory, the "problem of measure" for an n dimensional Euclidean space 'R'^(n) may be stated as: "does there exist a positive, normalized, invariant, and additive set function on the class of all subsets of 'R'^(n)?" The work of Felix Hausdorff and Stefan Banach had implied that the problem of measure has a positive solution if 1=n = 1 or 1=n = 2 and a negative solution (because of the Banach–Tarski paradox) in all other cases. Von Neumann's work argued that the "problem is essentially group theoretic in character": the existence of a measure could be determined by looking at the properties of the transformation group of the given space. The positive solution for spaces of dimension at most two, and the negative solution for higher dimensions, comes from the fact that the Euclidean group is a solvable group for dimension at most two, and is not solvable for higher dimensions. "Thus, according to von Neumann, it is the change of group that makes a difference, not the change of space." Around 1942 he told Dorothy Maharam how to prove that every complete σ finite measure space has a multiplicative lifting; he did not publish this proof and she later came up with a new one. In a number of von Neumann's papers, the methods of argument he employed are considered even more significant than the results. In anticipation of his later study of dimension theory in algebras of operators, von Neumann used results on equivalence by finite decomposition, and reformulated the problem of measure in terms of functions. A major contribution von Neumann made to measure theory was the result of a paper written to answer a question of Haar regarding whether there existed an algebra of all bounded functions on the real number line such that they form "a complete system of representatives of the classes of almost everywhere equal measurable bounded functions". He proved this in the positive, and in later papers with Stone discussed various generalizations and algebraic aspects of this problem. He also proved by new methods the existence of disintegrations for various general types of measures. Von Neumann also gave a new proof on the uniqueness of Haar measures by using the mean values of functions, although this method only worked for compact groups. He had to create entirely new techniques to apply this to locally compact groups. He also gave a new, ingenious proof for the Radon–Nikodym theorem. His lecture notes on measure theory at the Institute for Advanced Study were an important source for knowledge on the topic in America at the time, and were later published.

Топологические группы

Используя свою предыдущую работу по теории меры, фон Нейман внес ряд важных вкладов в теорию топологических групп, начав со статьи о почти периодических функциях на группах, где он распространил теорию Бора о почти периодических функциях на произвольные группы. Он продолжил эту работу в совместной статье с Бохнером, которая расширила теорию почти периодичности, включив в нее функции, принимающие значения в линейных пространствах, а не только числа. В 1938 году он был удостоен Мемориальной премии Бошера за его работы по анализу, связанные с этими статьями. В статье 1933 года он применил недавно открытую меру Гаара для решения пятой проблемы Гильберта в случае компактных групп. Основная идея этого решения была сформулирована несколько лет ранее, когда фон Нейман опубликовал статью об аналитических свойствах групп линейных преобразований и показал, что замкнутые подгруппы общей линейной группы являются группами Ли. Позже Картан обобщил этот результат на произвольные группы Ли, сформулировав теорему о замкнутых подгруппах.

Функциональный анализ

Фон Нейман был первым, кто аксиоматически определил абстрактное гильбертово пространство. Он определил его как комплексное векторное пространство с эрмитовым скалярным произведением, при этом соответствующая норма является одновременно сепарабельной и полной. В этих же работах он также доказал общую форму неравенства Коши — Буняковского — Шварца, которая ранее была известна лишь для конкретных примеров. Он продолжил разработку спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве в трех основополагающих работах между 1929 и 1932 годами. Эта работа нашла свое завершение в его «Математических основах квантовой механики», которая, наряду с двумя другими книгами Стоуна и Банаха, опубликованными в том же году, стала первой монографией по теории гильбертовых пространств. Предыдущие работы других исследователей показали, что теорию слабых топологий нельзя построить, используя только последовательности. Фон Нейман первым предложил программу преодоления этих трудностей, что привело к определению им впервые локально выпуклых и топологических векторных пространств. Кроме того, ряд других топологических свойств, которые он определил в то время (он был одним из первых математиков, применивших новые топологические идеи Гаусдорфа от евклидовых пространств к гильбертовым пространствам), такие как ограниченность и полная ограниченность, используются до сих пор. На протяжении двадцати лет фон Нейман считался «неоспоримым мастером» в этой области. Эти разработки были в первую очередь обусловлены потребностями квантовой механики, где фон Нейман осознал необходимость расширения спектральной теории эрмитовых операторов с ограниченного на неограниченный случай. Другие важные достижения в этих работах включают полное разъяснение спектральной теории для нормальных операторов, первое абстрактное представление следа положительного оператора, обобщение представления Рисса спектральных теорем Гильберта того времени и открытие эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве, отличных от самосопряженных операторов, что позволило ему дать описание всех эрмитовых операторов, расширяющих данный эрмитовый оператор. Он опубликовал статью, в которой подробно показал, что использование бесконечных матриц, распространенное в то время в спектральной теории, было недостаточно для представления эрмитовых операторов. Его работа по теории операторов привела к его самому глубокому изобретению в чистой математике — изучению алгебр фон Неймана и, в целом, алгебр операторов. Его более поздние работы по кольцам операторов привели к пересмотру его работы по спектральной теории и предоставлению нового подхода к осмыслению геометрического содержания с использованием прямых интегралов гильбертовых пространств. Как и в его работе по теории меры, он доказал несколько теорем, которые не успел опубликовать. Он рассказал Нахману Аронсзайну и К. Т. Смиту, что в начале 1930-х годов он доказал существование собственных инвариантных подпространств для вполне непрерывных операторов в гильбертовом пространстве, работая над проблемой инвариантного подпространства. Вместе с И. Дж. Шенбергом он написал несколько работ, посвященных исследованию трансляционно инвариантных гильбертовых метрик на прямой действительных чисел, что привело к их полной классификации. Их мотивацией послужили различные вопросы, связанные с вложением метрических пространств в гильбертовы пространства. Вместе с Паскуалем Иорданом он написал небольшую статью, в которой впервые представил вывод данной нормы из внутреннего произведения с помощью тождества параллелограмма. Его неравенство следов является ключевым результатом теории матриц, используемым в задачах аппроксимации матриц. Он также впервые выдвинул идею о том, что двойственное к преднорме является нормой в первой крупной работе, посвященной теории унитарно инвариантных норм и симметричных калибровочных функций (ныне известных как симметричные абсолютные нормы). Эта работа естественным образом приводит к изучению идеалов симметричных операторов и является отправной точкой для современных исследований пространств симметричных операторов. Позже, совместно с Робертом Шаттеном, он начал изучение ядерных операторов на гильбертовых пространствах, тензорных произведений пространств Банаха, ввел и исследовал операторы трассового класса, их идеалы и их двойственность с компактными операторами, а также преддвойственность с ограниченными операторами. Обобщение этой темы на изучение ядерных операторов на пространствах Банаха стало одним из первых достижений Александра Гротендика. Ранее, в 1937 году, фон Нейман опубликовал ряд результатов в этой области, например, представив однопараметрическую шкалу различных перекрестных норм и доказав несколько других результатов относительно того, что сейчас известно как идеалы Шаттена — фон Неймана.

Von Neumann was the first to axiomatically define an abstract Hilbert space. He defined it as a complex vector space with a Hermitian scalar product, with the corresponding norm being both separable and complete. In the same papers he also proved the general form of the Cauchy–Schwarz inequality that had previously been known only in specific examples. He continued with the development of the spectral theory of operators in Hilbert space in three seminal papers between 1929 and 1932. This work cumulated in his Mathematical Foundations of Quantum Mechanics which alongside two other books by Stone and Banach in the same year were the first monographs on Hilbert space theory. Previous work by others showed that a theory of weak topologies could not be obtained by using sequences. Von Neumann was the first to outline a program of how to overcome the difficulties, which resulted in him defining locally convex spaces and topological vector spaces for the first time. In addition several other topological properties he defined at the time (he was among the first mathematicians to apply new topological ideas from Hausdorff from Euclidean to Hilbert spaces) such as boundness and total boundness are still used today. For twenty years von Neumann was considered the 'undisputed master' of this area. These developments were primarily prompted by needs in quantum mechanics where von Neumann realized the need to extend the spectral theory of Hermitian operators from the bounded to the unbounded case. Other major achievements in these papers include a complete elucidation of spectral theory for normal operators, the first abstract presentation of the trace of a positive operator, a generalisation of Riesz's presentation of Hilbert's spectral theorems at the time, and the discovery of Hermitian operators in a Hilbert space, as distinct from self adjoint operators, which enabled him to give a description of all Hermitian operators which extend a given Hermitian operator. He wrote a paper detailing how the usage of infinite matrices, common at the time in spectral theory, was inadequate as a representation for Hermitian operators. His work on operator theory lead to his most profound invention in pure mathematics, the study of von Neumann algebras and in general of operator algebras. His later work on rings of operators lead to him revisiting his work on spectral theory and providing a new way of working through the geometric content by the use of direct integrals of Hilbert spaces. Like in his work on measure theory he proved several theorems that he did not find time to publish. He told Nachman Aronszajn and K. T. Smith that in the early 1930s he proved the existence of proper invariant subspaces for completely continuous operators in a Hilbert space while working on the invariant subspace problem. With I. J. Schoenberg he wrote several items investigating translation invariant Hilbertian metrics on the real number line which resulted in their complete classification. Their motivation lie in various questions related to embedding metric spaces into Hilbert spaces. With Pascual Jordan he wrote a short paper giving the first derivation of a given norm from an inner product by means of the parallelogram identity. His trace inequality is a key result of matrix theory used in matrix approximation problems. He also first presented the idea that the dual of a pre norm is a norm in the first major paper discussing the theory of unitarily invariant norms and symmetric gauge functions (now known as symmetric absolute norms). This paper leads naturally to the study of symmetric operator ideals and is the beginning point for modern studies of symmetric operator spaces. Later with Robert Schatten he initiated the study of nuclear operators on Hilbert spaces, tensor products of Banach spaces, introduced and studied trace class operators, their ideals, and their duality with compact operators, and preduality with bounded operators. The generalization of this topic to the study of nuclear operators on Banach spaces was among the first achievements of Alexander Grothendieck. Previously in 1937 von Neumann published several results in this area, for example giving 1 parameter scale of different cross norms on and proving several other results on what are now known as Schatten–von Neumann ideals.

Алгебры операторов

Фон Нейман заложил основы изучения колец операторов, через алгебры фон Неймана (первоначально называемые W*-алгебрами). Хотя его первоначальные идеи относительно колец операторов существовали уже в 1930 году, он не приступил к их глубокому изучению, пока несколько лет спустя не встретил Ф. Дж. Мюррея. Алгебра фон Неймана — это * -алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, замкнутая в слабой операторной топологии и содержащая единичный оператор. Теорема о бикоммутанте фон Неймана показывает, что аналитическое определение эквивалентно чисто алгебраическому, а именно равенству бикоммутанте. После прояснения исследования коммутативного случая, в 1936 году, при частичном соавторстве Мюррея, фон Нейман приступил к исследованию некоммутативного случая, к общему исследованию классификации факторов фон Неймана. Шесть основных работ, в которых он развил эту теорию между 1936 и 1940 годами, "относятся к шедеврам анализа двадцатого века"; они содержат множество основополагающих результатов и положили начало нескольким направлениям в теории операторных алгебр, над которыми математики работали десятилетиями. Примером является классификация факторов. Кроме того, в 1938 году он доказал, что каждая алгебра фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве является прямым интегралом факторов; он не смог опубликовать этот результат до 1949 года. Алгебры фон Неймана тесно связаны с теорией некомутативной интеграции, о которой фон Нейман упоминал в своих работах, но не сформулировал явно. Еще один важный результат о полярном разложении был опубликован в 1932 году.

Теория решетки

Между 1935 и 1937 годами фон Нейман работал над теорией решетки, теорией частично упорядоченных множеств, в которых любые два элемента имеют наибольшую нижнюю грань и наименьшую верхнюю грань. Как писал Гарретт Биркофф, "Блестящий ум Джона фон Неймана озарил теорию решетки подобно метеору". Фон Нейман объединил традиционную проективную геометрию с современной алгеброй (линейной алгеброй, теорией колец, теорией решетки). Многие ранее геометрические результаты можно было интерпретировать в случае общих модулей над кольцами. Его работа заложила основы для некоторых современных работ в проективной геометрии. Его крупнейшим вкладом стало основание области непрерывной геометрии, развитой на основе его новаторских работ по кольцам операторов. В математике непрерывная геометрия является заменой комплексной проективной геометрии, где вместо того, чтобы размерность подпространства принадлежала дискретному множеству, она может быть элементом единичного интервала. Ранее Менгер и Биркофф аксиоматизировали комплексную проективную геометрию в терминах свойств ее решетки линейных подпространств. Фон Нейман, опираясь на свою работу над кольцами операторов, ослабил эти аксиомы, чтобы описать более широкий класс решеток – непрерывные геометрии. В то время как размерности подпространств проективных геометрий являются дискретным множеством (неотрицательные целые числа), размерности элементов непрерывной геометрии могут непрерывно изменяться в пределах единичного интервала. Фон Неймана мотивировало его открытие алгебр фон Неймана с функцией размерности, принимающей непрерывный диапазон значений, и первым примером непрерывной геометрии, отличной от проективного пространства, стали проекции гиперконечного фактора типа II. В более чистой теоретической работе над решетками он решил сложную задачу характеризации класса (непрерывно размерной проективной геометрии над произвольным полем деления) на абстрактном языке теории решетки. Фон Нейман провел абстрактное исследование размерности в полных дополненных модульных топологических решетках (свойства, возникающие в решетках подпространств гильбертовых пространств): размерность определяется, с точностью до положительного линейного преобразования, следующими двумя свойствами: она сохраняется перспективными преобразованиями ("перспективами") и упорядочена включением. Наиболее глубокая часть доказательства касается эквивалентности перспективы с "проективностью посредством разложения", следствием которой является транзитивность перспективы. Для любого целого числа n любая n-мерная абстрактная проективная геометрия изоморфна решетке подпространств n-мерного векторного пространства над (единственным) соответствующим полем деления. Это известно как теорема Веблена — Янга. Фон Нейман распространил этот фундаментальный результат в проективной геометрии на непрерывно размерный случай. Эта теорема координатизации стимулировала значительную работу в абстрактной проективной геометрии и теории решетки, большая часть которой продолжала использовать методы фон Неймана. Биркофф описал эту теорему следующим образом: любая дополненная модульная решетка L, имеющая "базис" из n ≥ 4 попарно перспективных элементов, изоморфна решетке ℛ(R) всех главных правых идеалов подходящего регулярного кольца R. Этот вывод является кульминацией 140 страниц блестящей и проницательной алгебры, включающей совершенно новые аксиомы. Любой, кто хочет получить незабываемое впечатление об остроте ума фон Неймана, может просто попытаться самостоятельно проследить эту цепочку точных рассуждений, осознавая, что часто пять страниц из них были написаны до завтрака, сидя за письменным столом в гостиной в халате. Эта работа потребовала создания регулярных колец. Регулярное кольцо фон Неймана — это кольцо, в котором для каждого элемента a существует элемент x такой, что ax = a. Эти кольца возникли из и имеют связь с его работой над алгебрами фон Неймана, а также с алгебрами AW* и различными видами C*-алгебр. Многие небольшие технические результаты были доказаны в процессе создания и доказательства вышеуказанных теорем, особенно в отношении дистрибутивности (такой как бесконечная дистрибутивность), которые фон Нейман разрабатывал по мере необходимости. Он также разработал теорию оценок в решетках и участвовал в разработке общей теории метрических решеток. Биркофф отметил в своей посмертной статье о фон Неймане, что большинство этих результатов были разработаны в течение интенсивного двухлетнего периода работы, и что, хотя его интересы продолжали оставаться в теории решетки после 1937 года, они стали периферийными и в основном проявлялись в письмах другим математикам. Последним вкладом в 1940 году стал совместный семинар, который он проводил с Биркоффом в Институте перспективных исследований по теме, где он разработал теорию σ-полных решеточных упорядоченных колец. Он так и не опубликовал эту работу.

Between 1935 and 1937, von Neumann worked on lattice theory, the theory of partially ordered sets in which every two elements have a greatest lower bound and a least upper bound. As Garrett Birkhoff wrote, "John von Neumann's brilliant mind blazed over lattice theory like a meteor". Von Neumann combined traditional projective geometry with modern algebra (linear algebra, ring theory, lattice theory). Many previously geometric results could then be interpreted in the case of general modules over rings. His work laid the foundations for some of the modern work in projective geometry. His biggest contribution was founding the field of continuous geometry. It followed his path breaking work on rings of operators. In mathematics, continuous geometry is a substitute of complex projective geometry, where instead of the dimension of a subspace being in a discrete set it can be an element of the unit interval Earlier, Menger and Birkhoff had axiomatized complex projective geometry in terms of the properties of its lattice of linear subspaces. Von Neumann, following his work on rings of operators, weakened those axioms to describe a broader class of lattices, the continuous geometries. While the dimensions of the subspaces of projective geometries are a discrete set (the non negative integers), the dimensions of the elements of a continuous geometry can range continuously across the unit interval Von Neumann was motivated by his discovery of von Neumann algebras with a dimension function taking a continuous range of dimensions, and the first example of a continuous geometry other than projective space was the projections of the hyperfinite type II factor. In more pure lattice theoretical work, he solved the difficult problem of characterizing the class of (continuous dimensional projective geometry over an arbitrary division ring ) in abstract language of lattice theory. Von Neumann provided an abstract exploration of dimension in completed complemented modular topological lattices (properties that arise in the lattices of subspaces of inner product spaces): Dimension is determined, up to a positive linear transformation, by the following two properties. It is conserved by perspective mappings ("perspectivities") and ordered by inclusion. The deepest part of the proof concerns the equivalence of perspectivity with "projectivity by decomposition"—of which a corollary is the transitivity of perspectivity. For any integer every dimensional abstract projective geometry is isomorphic to the subspace lattice of an dimensional vector space over a (unique) corresponding division ring This is known as the Veblen–Young theorem. Von Neumann extended this fundamental result in projective geometry to the continuous dimensional case. This coordinatization theorem stimulated considerable work in abstract projective geometry and lattice theory, much of which continued using von Neumann's techniques. Birkhoff described this theorem as follows: Any complemented modular lattice L having a "basis" of n ≥ 4 pairwise perspective elements, is isomorphic with the lattice ℛ(R) of all principal right ideals of a suitable regular ring R. This conclusion is the culmination of 140 pages of brilliant and incisive algebra involving entirely novel axioms. Anyone wishing to get an unforgettable impression of the razor edge of von Neumann's mind, need merely try to pursue this chain of exact reasoning for himself—realizing that often five pages of it were written down before breakfast, seated at a living room writing table in a bathrobe. This work required the creation of regular rings. A von Neumann regular ring is a ring where for every , an element exists such that These rings came from and have connections to his work on von Neumann algebras, as well as AW* algebras and various kinds of C* algebras. Many smaller technical results were proven during the creation and proof of the above theorems, particularly regarding distributivity (such as infinite distributivity), von Neumann developing them as needed. He also developed a theory of valuations in lattices, and shared in developing the general theory of metric lattices. Birkhoff noted in his posthumous article on von Neumann that most of these results were developed in an intense two year period of work, and that while his interests continued in lattice theory after 1937, they became peripheral and mainly occurred in letters to other mathematicians. A final contribution in 1940 was for a joint seminar he conducted with Birkhoff at the Institute for Advanced Study on the subject where he developed a theory of σ complete lattice ordered rings. He never wrote up the work for publication.

Математическая статистика

Фон Нойман внес фундаментальный вклад в математическую статистику. В 1941 году он вывел точное распределение отношения среднего квадрата последовательных разностей к выборочной дисперсии для независимых и одинаково нормально распределенных переменных. Это отношение применялось к остаткам от регрессионных моделей и обычно известно как статистика Дурбина-Уотсона для проверки нулевой гипотезы о независимости ошибок во времени против альтернативной гипотезы о том, что они подчиняются стационарной авторегрессии первого порядка.

Другая работа

В ранние годы своей карьеры фон Нейман опубликовал несколько статей, связанных с теоретико-множественным анализом и теорией чисел. В статье 1925 года он доказал, что для любой плотной последовательности точек в ℝ, существует перестановка этих точек, которая равномерно распределена. В 1926 году его единственная публикация была посвящена теории Прюфера об идеальных алгебраических числах, где он нашел новый способ их построения, тем самым распространив теорию Прюфера на область всех алгебраических чисел и уточнив их отношение к p-адическим числам. В 1928 году он опубликовал две дополнительные статьи, продолжающие эти темы. Первая работа была посвящена разбиению интервала на счетное множество конгруэнтных подмножеств. Она решила проблему Хьюго Штейнхауса о том, является ли интервал делимым. Фон Нейман доказал, что все интервалы – полуоткрытые, открытые или закрытые – делимы с помощью сдвигов (то есть эти интервалы могут быть разложены на подмножества, конгруэнтные друг другу с помощью сдвига). Его следующая работа была посвящена конструктивному доказательству без аксиомы выбора существования алгебраически независимых действительных чисел. Он доказал, что числа являются алгебраически независимыми. Следовательно, существует совершенное алгебраически независимое множество действительных чисел мощности континуума. Другие незначительные результаты его ранней карьеры включают доказательство принципа максимума для градиента минимизирующей функции в вариационном исчислении и небольшое упрощение теоремы Германна Минковского для линейных форм в геометрической теории чисел. Позже, совместно с Паскуалем Джорданом и Юджином Вигнером, он написал основополагающую статью, классифицирующую все конечномерные формально-реальные алгебры Джордана и открывшую алгебры Альберта, пытаясь найти лучший математический формализм для квантовой теории. В 1936 году он попытался продвинуть программу замены аксиом своей предыдущей программы по теории гильбертова пространства на аксиомы алгебр Джордана в статье, исследующей бесконечномерный случай; он планировал написать как минимум еще одну статью на эту тему, но так и не сделал этого. Тем не менее, эти аксиомы легли в основу дальнейших исследований алгебраической квантовой механики, начатых Ирвингом Сегалом.

In his early years, von Neumann published several papers related to set theoretical real analysis and number theory. In a paper from 1925, he proved that for any dense sequence of points in , there existed a rearrangement of those points that is uniformly distributed. In 1926 his sole publication was on Prüfer's theory of ideal algebraic numbers where he found a new way of constructing them, thus extending Prüfer's theory to the field of all algebraic numbers, and clarified their relation to p adic numbers. In 1928 he published two additional papers continuing with these themes. The first dealt with partitioning an interval into countably many congruent subsets. It solved a problem of Hugo Steinhaus asking whether an interval is divisible. Von Neumann proved that indeed that all intervals, half open, open, or closed are divisible by translations (i. e. that these intervals can be decomposed into subsets that are congruent by translation). His next paper dealt with giving a constructive proof without the axiom of choice that algebraically independent reals exist. He proved that are algebraically independent for Consequently, there exists a perfect algebraically independent set of reals the size of the continuum. Other minor results from his early career include a proof of a maximum principle for the gradient of a minimizing function in the field of calculus of variations, and a small simplification of Hermann Minkowski's theorem for linear forms in geometric number theory. Later in his career together with Pascual Jordan and Eugene Wigner he wrote a foundational paper classifying all finite dimensional formally real Jordan algebras and discovering the Albert algebras while attempting to look for a better mathematical formalism for quantum theory. In 1936 he attempted to further the program of replacing the axioms of his previous Hilbert space program with those of Jordan algebras in a paper investigating the infinite dimensional case; he planned to write at least one further paper on the topic but never did. Nevertheless, these axioms formed the basis for further investigations of algebraic quantum mechanics started by Irving Segal.

Квантовая механика

Фон Нейман был первым, кто установил строгую математическую основу для квантовой механики, известную как аксиомы Дирака — фон Неймана, в своей влиятельной работе 1932 года «Математические основы квантовой механики». После завершения аксиоматизации теории множеств он приступил к аксиоматизации квантовой механики. В 1926 году он осознал, что состояние квантовой системы можно представить точкой в (комплексном) гильбертовом пространстве, которое, как правило, может быть бесконечномерным даже для одной частицы. В этом формализме квантовой механики наблюдаемые величины, такие как положение или импульс, представляются как линейные операторы, действующие на гильбертово пространство, связанное с квантовой системой. Таким образом, физика квантовой механики была сведена к математике гильбертовых пространств и линейных операторов, действующих на них. Например, принцип неопределенности, согласно которому определение положения частицы исключает определение ее импульса и наоборот, выражается в некоммутативности двух соответствующих операторов. Эта новая математическая формулировка включала в себя формулировки как Гейзенберга, так и Шредингера в качестве частных случаев. Абстрактный подход фон Неймана позволил ему обратиться к фундаментальному вопросу о детерминизме и индетерминизме, и в книге он представил доказательство того, что статистические результаты квантовой механики не могут быть средними значениями базового набора предопределенных «скрытых переменных», как в классической статистической механике. В 1935 году Грете Герман опубликовала статью, в которой утверждала, что доказательство содержит концептуальную ошибку и, следовательно, недействительно. Работа Герман долгое время оставалась без внимания, пока Джон С. Белл по существу не выдвинул тот же аргумент в 1966 году. В 2010 году Джеффри Баб утверждал, что Белл неверно истолковал доказательство фон Неймана, и указал, что доказательство, хотя и неприменимо ко всем теориям скрытых переменных, исключает хорошо определенное и важное подмножество. Баб также предположил, что фон Нейман осознавал это ограничение и не утверждал, что его доказательство полностью исключает теории скрытых переменных. В свою очередь, обоснованность аргумента Баба оспаривается. Теорема Глисона 1957 года предоставила аргумент против скрытых переменных в духе доказательства фон Неймана, но основывалась на предположениях, которые считаются более обоснованными и физически значимыми. Доказательство фон Неймана положило начало линии исследований, которая в конечном итоге, через теорему Белла и эксперименты Алена Аспекта в 1982 году, привела к демонстрации того, что квантовая физика либо требует представления о реальности, существенно отличающегося от классической физики, либо должна включать нелокальность, что, по-видимому, нарушает специальную теорию относительности. В главе «Математические основы квантовой механики» фон Нейман глубоко проанализировал так называемую проблему измерения. Он пришел к выводу, что вся физическая Вселенная может быть подчинена универсальной волновой функции. Поскольку для коллапса волновой функции требовалось что-то «вне вычислений», фон Нейман заключил, что коллапс вызван сознанием экспериментатора. Он утверждал, что математика квантовой механики позволяет разместить коллапс волновой функции в любой точке причинной цепи, от измерительного прибора до «субъективного сознания» человеческого наблюдателя. Другими словами, хотя граница между наблюдателем и наблюдаемым может быть проведена в разных местах, теория имеет смысл только в том случае, если наблюдатель существует где-то. Хотя идея о том, что сознание вызывает коллапс, была принята Юджином Вигнером, интерпретация фон Неймана — Вигнера не получила признания среди большинства физиков. Хотя теории квантовой механики продолжают развиваться, основные рамки математического формализма задач в квантовой механике, лежащие в основе большинства подходов, можно проследить до математических формализмов и методов, впервые использованных фон Нейманом. Дискуссии об интерпретации теории и ее расширениях в настоящее время в основном ведутся на основе общих предположений о математических основах. Тем не менее, в последние годы своей жизни фон Нейман чувствовал, что потерпел неудачу в этом аспекте своей научной работы, поскольку, несмотря на всю разработанную им математику, он не нашел удовлетворительной математической основы для квантовой теории в целом.

Von Neumann was the first to establish a rigorous mathematical framework for quantum mechanics, known as the Dirac–von Neumann axioms, in his influential 1932 work Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. After having completed the axiomatization of set theory, he began to confront the axiomatization of quantum mechanics. He realized in 1926 that a state of a quantum system could be represented by a point in a (complex) Hilbert space that, in general, could be infinite dimensional even for a single particle. In this formalism of quantum mechanics, observable quantities such as position or momentum are represented as linear operators acting on the Hilbert space associated with the quantum system. The physics of quantum mechanics was thereby reduced to the mathematics of Hilbert spaces and linear operators acting on them. For example, the uncertainty principle, according to which the determination of the position of a particle prevents the determination of its momentum and vice versa, is translated into the non commutativity of the two corresponding operators. This new mathematical formulation included as special cases the formulations of both Heisenberg and Schrödinger. Von Neumann's abstract treatment permitted him to confront the foundational issue of determinism versus non determinism, and in the book he presented a proof that the statistical results of quantum mechanics could not possibly be averages of an underlying set of determined "hidden variables", as in classical statistical mechanics. In 1935, Grete Hermann published a paper arguing that the proof contained a conceptual error and was therefore invalid. Hermann's work was largely ignored until after John S. Bell made essentially the same argument in 1966. In 2010, Jeffrey Bub argued that Bell had misconstrued von Neumann's proof, and pointed out that the proof, though not valid for all hidden variable theories, does rule out a well defined and important subset. Bub also suggests that von Neumann was aware of this limitation and did not claim that his proof completely ruled out hidden variable theories. The validity of Bub's argument is, in turn, disputed. Gleason's theorem of 1957 provided an argument against hidden variables along the lines of von Neumann's, but founded on assumptions seen as better motivated and more physically meaningful. Von Neumann's proof inaugurated a line of research that ultimately led, through Bell's theorem and the experiments of Alain Aspect in 1982, to the demonstration that quantum physics either requires a notion of reality substantially different from that of classical physics, or must include nonlocality in apparent violation of special relativity. In a chapter of The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, von Neumann deeply analyzed the so called measurement problem. He concluded that the entire physical universe could be made subject to the universal wave function. Since something "outside the calculation" was needed to collapse the wave function, von Neumann concluded that the collapse was caused by the consciousness of the experimenter. He argued that the mathematics of quantum mechanics allows the collapse of the wave function to be placed at any position in the causal chain from the measurement device to the "subjective consciousness" of the human observer. In other words, while the line between observer and observed could be drawn in different places, the theory only makes sense if an observer exists somewhere. Although the idea of consciousness causing collapse was accepted by Eugene Wigner, the Von Neumann–Wigner interpretation never gained acceptance among the majority of physicists. Though theories of quantum mechanics continue to evolve, a basic framework for the mathematical formalism of problems in quantum mechanics underlying most approaches can be traced back to the mathematical formalisms and techniques first used by von Neumann. Discussions about interpretation of the theory, and extensions to it, are now mostly conducted on the basis of shared assumptions about the mathematical foundations. Nevertheless, von Neumann in his later years felt he had failed in this aspect of his scientific work as despite all the mathematics he developed, he did not find a satisfactory mathematical framework for quantum theory as a whole.

Энтропия фон Ноймана

Энтропия фон Неймана широко используется в различных формах (условная энтропия, относительная энтропия и т.д.) в рамках теории квантовой информации. Меры запутанности основаны на некоторой величине, непосредственно связанной с энтропией фон Неймана. Для статистического ансамбля квантовомеханических систем с матрицей плотности ρ она определяется как Многие из тех же мер энтропии, используемых в классической теории информации, также могут быть обобщены для квантового случая, такие как энтропия Холево и условная квантовая энтропия. Теория квантовой информации во многом посвящена интерпретации и применению энтропии фон Неймана, являющейся краеугольным камнем в её развитии; энтропия Шеннона применяется к классической теории информации.

Матрица плотности

Формализм операторов плотности и матриц был введен фон Нейманом в 1927 году и независимо, но менее систематически, Львом Ландау в 1927 году и Феликсом Блохом в 1946 году. Матрица плотности позволяет представлять вероятностные смеси квантовых состояний (смешанные состояния) в отличие от волновых функций, которые могут описывать только чистые состояния.

Схема измерений фон Неймана

Схема измерений фон Неймана, предок теории квантовой декогерентности, представляет измерения проективно, учитывая измерительный прибор, который также рассматривается как квантовый объект. Введенная фон Нейманом схема "проективного измерения" послужила основой для развития теорий квантовой декогерентности.

Квантовая логика

Впервые фон Нейман предложил квантовую логику в своем трактате 1932 года «Математические основы квантовой механики», где он отметил, что проекции на гильбертово пространство можно рассматривать как утверждения о физических величинах. Область квантовой логики была впоследствии основана в статье 1936 года фон Неймана и Гаррета Биркоффа, которые первыми представили квантовые логики, в которой фон Нейман и Биркофф впервые доказали, что квантовая механика требует исчисления высказываний, существенно отличающегося от всех классических логик, и строго выделили новую алгебраическую структуру для квантовых логик. Идея создания исчисления высказываний для квантовой логики была впервые намечена в коротком разделе работы фон Неймана 1932 года, но в 1936 году необходимость нового исчисления была продемонстрирована рядом доказательств. Например, фотоны не могут пройти через два последовательных фильтра, поляризованных перпендикулярно друг другу (например, горизонтально и вертикально), и, следовательно, тем более не могут пройти, если к этим двум фильтрам добавить третий, поляризованный по диагонали, либо перед ними, либо после них в последовательности. Однако, если третий фильтр поместить между двумя другими, фотоны действительно пройдут. Этот экспериментальный факт можно интерпретировать в логике как некоммутативность конъюнкции. Также было показано, что законы дистрибутивности классической логики, и , не применимы к квантовой теории. Вместо дистрибутивной решетки, утверждения о квантовой системе образуют ортомодульную решетку, изоморфную решетке подпространств гильбертова пространства, связанного с этой системой. Тем не менее, фон Нейман никогда не был полностью удовлетворен своей работой над квантовой логикой. Он задумывал ее как совместный синтез формальной логики и теории вероятностей, и когда он попытался подготовить статью для лекции имени Генри Джозефа, которую он прочитал в Вашингтонском философском обществе в 1945 году, он обнаружил, что не может этого сделать, особенно учитывая, что в то время он был занят военной работой. В своем выступлении на Международном конгрессе математиков в 1954 году он назвал этот вопрос одной из нерешенных проблем, над которой могли бы работать будущие математики.

Von Neumann first proposed a quantum logic in his 1932 treatise Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, where he noted that projections on a Hilbert space can be viewed as propositions about physical observables. The field of quantum logic was subsequently inaugurated in a 1936 paper by von Neumann and Garrett Birkhoff, the first to introduce quantum logics, wherein von Neumann and Birkhoff first proved that quantum mechanics requires a propositional calculus substantially different from all classical logics and rigorously isolated a new algebraic structure for quantum logics. The concept of creating a propositional calculus for quantum logic was first outlined in a short section in von Neumann's 1932 work, but in 1936, the need for the new propositional calculus was demonstrated through several proofs. For example, photons cannot pass through two successive filters that are polarized perpendicularly (e. g., horizontally and vertically), and therefore, a fortiori, it cannot pass if a third filter polarized diagonally is added to the other two, either before or after them in the succession, but if the third filter is added between the other two, the photons will indeed pass through. This experimental fact is translatable into logic as the non commutativity of conjunction It was also demonstrated that the laws of distribution of classical logic, and , are not valid for quantum theory. Instead of a distributive lattice, propositions about a quantum system form an orthomodular lattice isomorphic to the lattice of subspaces of the Hilbert space associated with that system. Nevertheless, he was never satisfied with his work on quantum logic. He intended it to be a joint synthesis of formal logic and probability theory and when he attempted to write up a paper for the Henry Joseph Lecture he gave at the Washington Philosophical Society in 1945 he found that he could not, especially given that he was busy with war work at the time. During his address at the 1954 International Congress of Mathematicians he gave this issue as one of the unsolved problems that future mathematicians could work on.

Динамика жидкостей

Фон Нейман внес фундаментальный вклад в область динамики жидкостей, включая классическое решение течения взрывных волн и совместное открытие (независимо от Якова Борисовича Зельдовича и Вернера Дёринга) ZND-модели детонации взрывчатых веществ. В 1930-х годах фон Нейман стал признанным авторитетом в математике кумулятивных зарядов. Позже, совместно с Робертом Д. Рихтмайером, фон Нейман разработал алгоритм для определения искусственной вязкости, что позволило улучшить понимание ударных волн. При решении гидродинамических или аэродинамических задач на компьютерах, слишком большое количество точек вычислительной сетки концентрировалось в областях резкого разрыва (ударных волн). Математический аппарат искусственной вязкости сглаживал переход через ударную волну, не нарушая при этом фундаментальные физические принципы. Вскоре фон Нейман начал применять компьютерное моделирование в этой области, разработав программное обеспечение для своих баллистических исследований. Во время Второй мировой войны он обратился к Р. Х. Кенту, директору Баллистической исследовательской лаборатории армии США, с компьютерной программой для расчета одномерной модели, состоящей из 100 молекул, для имитации ударной волны. Фон Нейман провёл семинар, на котором представил свою программу, среди слушателей был его друг Теодор фон Карман. После окончания доклада фон Карман заметил: "Вы, конечно, знаете, что Лагранж также использовал цифровые модели для симуляции механики сплошных сред". Фон Нейман ранее не был знаком с работой Лагранжа "Аналитическая механика".

Другая работа

Хотя он и не был столь же продуктивен в физике, как в математике, он тем не менее внес несколько других значительных вкладов. Его основополагающие работы совместно с Субрахманяном Чандрасехаром по статистике флуктуирующего гравитационного поля, создаваемого случайно распределёнными звёздами, считались выдающимся достижением. В этих работах они разработали теорию двухчастичной релаксации и использовали распределение Холтсмарка для моделирования динамики звёздных систем. Он написал несколько неопубликованных рукописей по вопросам строения звёзд, некоторые из которых были включены в другие труды Чандрасехара. В более ранних исследованиях под руководством Освальда Веблена фон Нейман способствовал разработке фундаментальных идей, связанных со спинорами, которые впоследствии привели к теории твисторов Роджера Пенроуза. Большая часть этих работ была выполнена на семинарах, проводившихся в Институте перспективных исследований (IAS) в 1930-х годах. На основе этих исследований он написал статью совместно с А. Х. Таубом и Вебленом, расширяющую уравнение Дирака до проективной теории относительности, с особым упором на сохранение инвариантности относительно координатных, спиновых и калибровочных преобразований, в рамках ранних исследований потенциальных теорий квантовой гравитации в 1930-х годах. В тот же период он предложил коллегам несколько подходов к решению проблем в недавно созданной квантовой теории поля и к квантованию пространства-времени; однако, ни он сам, ни его коллеги не сочли эти идеи перспективными и не стали их развивать. Тем не менее, он сохранил определённый интерес к этим вопросам, написав в 1940 году рукопись об уравнении Дирака в пространстве де Ситтера.

Теория игр

Фон Нейман заложил основы теории игр как математической дисциплины. Он доказал свою теорему минимакса в 1928 году. Она устанавливает, что в играх с нулевой суммой и полной информацией (то есть, в которых игроки на каждом шагу знают все предыдущие ходы), существует пара стратегий для каждого игрока, позволяющая ему минимизировать свои максимальные потери. Такие стратегии называются оптимальными. Фон Нейман показал, что их минимаксные значения равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Он обобщил и расширил теорему минимакса, включив в нее игры с неполной информацией и игры с более чем двумя игроками, и опубликовал эти результаты в своей книге 1944 года «Теория игр и экономическое поведение», написанной в соавторстве с Оскаром Моргенштерном. Эта работа вызвала такой широкий общественный интерес, что газета The New York Times опубликовала о ней статью на первой полосе. В этой книге Фон Нейман утверждал, что экономической теории необходимо использовать функциональный анализ, в особенности выпуклые множества и теорему о неподвижной точке, а не традиционное дифференциальное исчисление, поскольку оператор максимума не сохраняет дифференцируемые функции.

Математическая экономика

Фон Нейман поднял математический уровень экономики в нескольких влиятельных публикациях. Для своей модели расширяющейся экономики он доказал существование и единственность равновесия, используя обобщение теоремы о фиксированной точке Брауэра. Результаты фон Неймана рассматриваются как частный случай линейного программирования, где его модель использует только неотрицательные матрицы. Изучение его модели расширяющейся экономики продолжает интересовать математических экономистов. Эта работа многими авторами была названа величайшей статьей в математической экономике, поскольку в ней были введены теоремы о фиксированной точке, линейные неравенства, условие дополнительной слабой связности и двойственность седловой точки. На конференции, посвященной модели роста фон Неймана, Пол Сэмюэлсон отметил, что многие математики разработали методы, полезные для экономистов, но фон Нейман был уникален тем, что внес значительный вклад в саму экономическую теорию. Важность его работы в области общего равновесия и методологии теорем о фиксированной точке подчеркивается присуждением Нобелевских премий Кеннету Арроу в 1972 году, Жерару Дебреу в 1983 году и Джону Нэшу в 1994 году, который использовал теоремы о фиксированной точке для установления равновесия в некооперативных играх и задачах о переговорах в своей диссертации. Арроу и Дебреу также использовали линейное программирование, как и лауреаты Нобелевской премии Тьяллинг Купманс, Леонид Канторович, Василий Леонтьев, Пол Самуэльсон, Роберт Дорфман, Роберт Солоу и Леонид Хурвич. Интерес фон Неймана к этой теме возник, когда он читал лекции в Берлине в 1928 и 1929 годах. Он проводил летние месяцы в Будапеште, как и экономист Николас Кальдор, который рекомендовал фон Нейману прочитать книгу математического экономиста Леона Вальраса. Фон Нейман заметил, что теория общего равновесия Вальраса и закон Вальраса, приводящие к системам одновременных линейных уравнений, могут давать абсурдный результат, когда прибыль максимизируется за счет производства и продажи отрицательного количества товара. Он заменил уравнения неравенствами, ввел динамическое равновесие и, в конечном итоге, опубликовал свою работу.

Von Neumann raised the mathematical level of economics in several influential publications. For his model of an expanding economy, he proved the existence and uniqueness of an equilibrium using his generalization of the Brouwer fixed point theorem. Von Neumann's results have been viewed as a special case of linear programming, where his model uses only nonnegative matrices. The study of his model of an expanding economy continues to interest mathematical economists. This paper has been called the greatest paper in mathematical economics by several authors, who recognized its introduction of fixed point theorems, linear inequalities, complementary slackness, and saddlepoint duality. In the proceedings of a conference on von Neumann's growth model, Paul Samuelson said that many mathematicians had developed methods useful to economists, but that von Neumann was unique in having made significant contributions to economic theory itself. The lasting importance of the work on general equilibria and the methodology of fixed point theorems is underscored by the awarding of Nobel prizes in 1972 to Kenneth Arrow, in 1983 to Gérard Debreu, and in 1994 to John Nash who used fixed point theorems to establish equilibria for non cooperative games and for bargaining problems in his Ph. D. thesis. Arrow and Debreu also used linear programming, as did Nobel laureates Tjalling Koopmans, Leonid Kantorovich, Wassily Leontief, Paul Samuelson, Robert Dorfman, Robert Solow, and Leonid Hurwicz. Von Neumann's interest in the topic began while he was lecturing at Berlin in 1928 and 1929. He spent his summers in Budapest, as did the economist Nicholas Kaldor; Kaldor recommended that von Neumann read a book by the mathematical economist Léon Walras. Von Neumann noticed that Walras's General Equilibrium Theory and Walras's law, which led to systems of simultaneous linear equations, could produce the absurd result that profit could be maximized by producing and selling a negative quantity of a product. He replaced the equations by inequalities, introduced dynamic equilibria, among other things, and eventually produced his paper.

Линейное программирование

Основываясь на своих результатах в теории матричных игр и модели расширяющейся экономики, фон Нейман изобрел теорию двойственности в линейном программировании, когда Джордж Данциг вкратце описал свою работу, а нетерпеливый фон Нейман попросил его сразу перейти к сути. Данциг затем ошеломленно слушал, как фон Нейман на протяжении часа читал лекцию о выпуклых множествах, теории неподвижных точек и двойственности, выдвинув предположение об эквивалентности между матричными играми и линейным программированием. Позже фон Нейман предложил новый метод линейного программирования, основанный на гомогенной линейной системе Поля Гордана (1873), который впоследствии получил широкую известность благодаря алгоритму Кармаркара. Метод фон Неймана использовал алгоритм поворота между симплексами, при этом выбор точки поворота определялся задачей неотрицательных наименьших квадратов с ограничением выпуклости (проекцией нулевого вектора на выпуклую оболочку активного симплекса). Алгоритм фон Неймана стал первым методом линейного программирования, использующим подход внутренней точки.

Информатика

Фон Нейман был одним из основоположников вычислительной техники, внесший значительный вклад в разработку компьютерного оборудования, теоретическую информатику, научные вычисления и философию компьютерных наук.

Оборудование

Фон Нейман консультировал Армейскую баллистическую исследовательскую лабораторию, в частности, по проекту ENIAC, в качестве члена её Научного консультативного комитета. Хотя архитектура с единой памятью и хранимой программой обычно называется архитектурой фон Неймана, она была основана на работах Дж. Преспера Эккерта и Джона Мокли, изобретателей ENIAC и его преемника EDVAC. Работая консультантом над проектом EDVAC в Университете Пенсильвании, фон Нейман написал незавершённый первый вариант отчёта об EDVAC. В этой статье, преждевременное распространение которой лишило Эккерта и Мокли возможности запатентовать свои разработки, описывался компьютер, хранящий как данные, так и программу в одном адресном пространстве, в отличие от самых ранних компьютеров, которые хранили свои программы отдельно на перфолентах или коммутационных панелях. Эта архитектура стала основой для большинства современных компьютерных конструкций. Затем фон Нейман спроектировал машину IAS в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси. Он организовал её финансирование, а компоненты были спроектированы и изготовлены в расположенной поблизости исследовательской лаборатории RCA. Фон Нейман рекомендовал оснастить IBM 701, получившую прозвище «оборонный компьютер», магнитным барабаном. Эта машина была более быстрой версией IAS и послужила основой для коммерчески успешной IBM 704.

Алгоритмы

В 1945 году фон Нейман изобрел алгоритм сортировки слиянием, в котором первая и вторая половины массива рекурсивно сортируются, а затем объединяются. В рамках работы фон Неймана над водородной бомбой он и Станислав Улам разработали численные модели для гидродинамических расчетов. Он также внес вклад в разработку метода Монте-Карло, который использовал случайные числа для приближенного решения сложных задач. Алгоритм фон Неймана для моделирования честной монеты с помощью смещенной монеты используется на этапе "программного отбеливания" в некоторых аппаратных генераторах случайных чисел. Он также заметил, что при ошибке этот метод проявляет себя очевидно, в отличие от других методов, которые могут быть едва заметно неверными, но не могли быть реализованы до прогресса в области вычислений в 1960-х годах. Около 1950 года он одним из первых начал говорить о временной сложности вычислений, что впоследствии привело к формированию области теории вычислительной сложности.

Клеточные автоматы, ДНК и универсальный конструктор

Математический анализ структуры самовоспроизведения, выполненный фон Нейманом, предшествовал открытию структуры ДНК. Уламу и фон Нейману также обычно приписывают создание области клеточных автоматов, начиная с 1940-х годов, как упрощенной математической модели биологических систем. В лекциях 1948 и 1949 годов фон Нейман предложил кинематический автомат, способный к самовоспроизведению. К 1952 году он стал подходить к этой проблеме более абстрактно. Он разработал сложный двухмерный клеточный автомат, который автоматически создавал копию своей исходной конфигурации клеток. Универсальный конструктор фон Неймана, основанный на клеточном автомате фон Неймана, был детально описан в его посмертной «Теории самовоспроизводящихся автоматов». Соседство фон Неймана, в котором каждая ячейка в двухмерной сетке имеет четыре ортогонально соседних ячеек сетки, продолжает использоваться и в других клеточных автоматах.

Научные вычисления и численный анализ

Считается, что фон Нейман, возможно, "самый влиятельный исследователь в области научных вычислений за всю историю", внес значительный вклад в эту область как в техническом, так и в административном плане. Он разработал процедуру анализа устойчивости фон Неймана, которая до сих пор широко используется для предотвращения накопления ошибок в численных методах решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Его статья, написанная совместно с Германом Голдстайном в 1947 году, впервые описала анализ обратной ошибки, хотя и в неявной форме. Он также был одним из первых, кто писал о методе Якоби. В Лос-Аламосе он подготовил несколько секретных отчетов о численном решении задач газовой динамики. Однако он был разочарован отсутствием прогресса в аналитических методах для этих нелинейных задач. В результате он обратился к вычислительным методам. Под его влиянием Лос-Аламос стал лидером в области вычислительной науки в 1950-х и начале 1960-х годов. Благодаря этой работе фон Нейман осознал, что вычисления – это не просто инструмент для грубого численного решения задач, но и способ получения новых знаний для их аналитического решения, а также что существует огромное количество научных и инженерных задач, для решения которых могут быть полезны компьютеры, особенно нелинейные задачи. В июне 1945 года на Первом Канадском математическом конгрессе он выступил с первым докладом об общих принципах решения задач, в частности, о численном моделировании динамики жидкостей. Он также отметил, что аэродинамические трубы фактически являются аналоговыми компьютерами, и что цифровые компьютеры заменят их, открыв новую эру в динамике жидкостей. Гарретт Биркофф описал это выступление как "незабываемую презентацию". Он расширил этот доклад совместно с Голдстайном в рукопись "О принципах крупномасштабных вычислительных машин" и использовал ее для продвижения поддержки научных вычислений. В его работах также были разработаны концепции обращения матриц, случайных матриц и автоматизированных методов релаксации для решения задач с эллиптическими граничными условиями.

Погодные системы и глобальное потепление

В рамках своих исследований возможных применений компьютеров фон Нейман заинтересовался прогнозированием погоды, отметив сходство между проблемами в этой области и теми, над которыми он работал во время Манхэттенского проекта. В 1946 году фон Нейман основал "Метеорологический проект" в Институте передовых исследований, получив финансирование для своего проекта от Бюро погоды, ВВС США и военно-морских сил США. Вместе с Карлом Густавом Россби, считавшимся ведущим теоретическим метеорологом того времени, он собрал группу из двадцати метеорологов для работы над различными проблемами в этой области. Однако, учитывая его другую послевоенную работу, он не смог посвятить достаточно времени надлежащему руководству проектом, и мало что было достигнуто. Это изменилось, когда молодой Жюль Грегори Чарни взял на себя руководство проектом от Россби. К 1950 году фон Нейман и Чарни написали первое в мире программное обеспечение для моделирования климата и использовали его для выполнения первых в мире численных прогнозов погоды на компьютере ENIAC, который фон Нейман организовал для использования; вместе они сыграли ведущую роль в усилиях по интеграции морского воздушного обмена энергией и влагой в изучение климата. Хотя прогнозы ENIAC были примитивными, новость о них быстро распространилась по всему миру, и в других местах был инициирован ряд параллельных проектов. В 1955 году фон Нейман, Чарни и их сотрудники убедили своих спонсоров открыть Объединенный численный блок прогнозирования погоды (JNWPU) в Сютленде, штат Мэриленд, который начал регулярное прогнозирование погоды в реальном времени. Затем фон Нейман предложил исследовательскую программу для моделирования климата: подход заключается в том, чтобы сначала попробовать краткосрочные прогнозы, затем долгосрочные прогнозы тех свойств циркуляции, которые могут сохраняться в течение произвольно длительных периодов времени, и только наконец, попытаться прогнозировать на средние длительные периоды времени, которые слишком длинны для рассмотрения простой гидродинамической теорией и слишком коротки для рассмотрения общим принципом теории равновесия. Положительные результаты Нормана А. Филлипса в 1955 году вызвали немедленную реакцию, и фон Нейман организовал конференцию в Принстоне на тему "Применение методов численной интеграции к проблеме общей циркуляции". Он снова стратегически организовал программу как прогнозную, чтобы обеспечить постоянную поддержку со стороны Бюро погоды и военных, что привело к созданию Секции исследований общей циркуляции (ныне Лаборатория геофизической динамики жидкостей) рядом с JNWPU. Он продолжил работу как по техническим вопросам моделирования, так и по обеспечению постоянного финансирования этих проектов. В конце XIX века Сванте Аррений предположил, что человеческая деятельность может вызвать глобальное потепление, добавляя углекислый газ в атмосферу. В 1955 году фон Нейман заметил, что это, возможно, уже началось: "Диоксид углерода, выделяемый в атмосферу промышленным сжиганием угля и нефти – более половины его за последнее поколение – мог изменить состав атмосферы настолько, что вызвал общее потепление мира примерно на один градус по Фаренгейту". Его исследования по системам погоды и метеорологическому прогнозу привели его к предложению манипулировать окружающей средой путем рассеивания красителей на полярных ледяных шапках для повышения поглощения солнечного излучения (путем снижения альбедо). Однако он призвал к осторожности в любой программе модификации атмосферы: <blockquote>Что можно сделать, конечно, не является указанием на то, что следует делать. На самом деле, оценить конечные последствия общего охлаждения или общего нагрева было бы сложным делом. Изменения повлияли бы на уровень моря, а следовательно, на обитаемость континентальных прибрежных шельфов; испарение морей, а следовательно, общий уровень осадков и оледенения; и так далее. Но нет сомнений в том, что можно было бы провести необходимые анализы для прогнозирования результатов, вмешаться в любом желаемом масштабе и в конечном итоге достичь довольно фантастических результатов.</blockquote>, который, по словам Улама, обсуждал "все более ускоряющийся прогресс технологии и изменения в образе человеческой жизни, что создает видимость приближения к некой существенной сингулярности в истории расы, за которой человеческие дела, какими мы их знаем, не могли бы продолжаться". Эта концепция была позже развита в книге Элвина Тоффлера "Шок будущего".

As part of his research into possible applications of computers, von Neumann became interested in weather prediction, noting similarities between the problems in the field and those he had worked on during the Manhattan Project. In 1946 von Neumann founded the "Meteorological Project" at the Institute for Advanced Study, securing funding for his project from the Weather Bureau, the US Air Force and US Navy weather services. With Carl Gustaf Rossby, considered the leading theoretical meteorologist at the time, he gathered a group of twenty meteorologists to work on various problems in the field. However, given his other postwar work he was not able to devote enough time to proper leadership of the project and little was accomplished. This changed when a young Jule Gregory Charney took up co leadership of the project from Rossby. By 1950 von Neumann and Charney wrote the world's first climate modelling software, and used it to perform the world's first numerical weather forecasts on the ENIAC computer that von Neumann had arranged to be used; Together they played a leading role in efforts to integrate sea air exchanges of energy and moisture into the study of climate. Though primitive, news of the ENIAC forecasts quickly spread around the world and a number of parallel projects in other locations were initiated. In 1955 von Neumann, Charney and their collaborators convinced their funders to open the Joint Numerical Weather Prediction Unit (JNWPU) in Suitland, Maryland, which began routine real time weather forecasting. Next up, von Neumann proposed a research program for climate modeling: The approach is to first try short range forecasts, then long range forecasts of those properties of the circulation that can perpetuate themselves over arbitrarily long periods of time, and only finally to attempt forecast for medium long time periods which are too long to treat by simple hydrodynamic theory and too short to treat by the general principle of equilibrium theory. Positive results of Norman A. Phillips in 1955 prompted immediate reaction and von Neumann organized a conference at Princeton on "Application of Numerical Integration Techniques to the Problem of the General Circulation". Once again he strategically organized the program as a predictive one to ensure continued support from the Weather Bureau and the military, leading to the creation of the General Circulation Research Section (now the Geophysical Fluid Dynamics Laboratory) next to the JNWPU. He continued work both on technical issues of modelling and in ensuring continuing funding for these projects. During the late 19th century, Svante Arrhenius suggested that human activity could cause global warming by adding carbon dioxide to the atmosphere. In 1955, von Neumann observed that this may already have begun: "Carbon dioxide released into the atmosphere by industry's burning of coal and oil – more than half of it during the last generation – may have changed the atmosphere's composition sufficiently to account for a general warming of the world by about one degree Fahrenheit." His research into weather systems and meteorological prediction led him to propose manipulating the environment by spreading colorants on the polar ice caps to enhance absorption of solar radiation (by reducing the albedo). However, he urged caution in any program of atmosphere modification: <blockquote>What could be done, of course, is no index to what should be done In fact, to evaluate the ultimate consequences of either a general cooling or a general heating would be a complex matter. Changes would affect the level of the seas, and hence the habitability of the continental coastal shelves; the evaporation of the seas, and hence general precipitation and glaciation levels; and so on But there is little doubt that one could carry out the necessary analyses needed to predict the results, intervene on any desired scale, and ultimately achieve rather fantastic results. who according to Ulam discussed the "ever accelerating progress of technology and changes in the mode of human life, which gives the appearance of approaching some essential singularity in the history of the race beyond which human affairs, as we know them, could not continue." This concept was fleshed out later in the book Future Shock by Alvin Toffler.

Манхэттенский проект

Начиная с конца 1930-х годов, фон Нейман приобрел опыт в области взрывов — явлений, которые трудно математически моделировать. В этот период он был ведущим авторитетом в математике кумулятивных зарядов, что привело к многочисленным военным консультациям и, как следствие, к его участию в Манхэттенском проекте. Это участие включало частые поездки в секретные исследовательские объекты проекта в Лос-Аламосской лаборатории в Нью-Мексико. После серии неудачных попыток моделирования, этого удалось достичь Джорджу Кистиаковскому, и строительство бомбы «Троица» было завершено в июле 1945 года. Во время визита в Лос-Аламос в сентябре 1944 года фон Нейман показал, что увеличение давления от отражения ударной волны взрыва от твердых тел больше, чем считалось ранее, если угол падения ударной волны находился между 90° и некоторым предельным углом. В результате было установлено, что эффективность атомной бомбы будет выше при детонации на несколько километров над целью, а не на уровне земли. Фон Нейман вошел в состав комитета по выбору целей, отвечавшего за выбор японских городов Хиросимы и Нагасаки в качестве первых целей для атомной бомбы. Он контролировал вычисления, связанные с ожидаемым размером взрывов, предполагаемым числом жертв и высотой подрыва для оптимального распространения ударной волны. Культурная столица Киото была первым выбором фон Неймана, который поддержал руководитель Манхэттенского проекта генерал Лесли Гроувс. Однако этот вариант был отклонен военным министром Генри Л. Стимсоном. 16 июля 1945 года фон Нейман и многие другие участники Манхэттенского проекта стали свидетелями первого испытания атомной бомбы, получившего кодовое название «Троица». Мероприятие было проведено в качестве испытания устройства, использующего имплозивный метод, на полигоне Аламогордо в Нью-Мексико. Основываясь исключительно на своих наблюдениях, фон Нейман оценил мощность взрыва как эквивалентную, но Энрико Ферми дал более точную оценку в 10 килотонн, бросая обрывки бумаги во время прохождения ударной волны и наблюдая за дальностью их разброса. Фактическая мощность взрыва составила от 20 до 22 килотонн. В работах фон Неймана 1944 года впервые появилось выражение «килотонны». Фон Нейман продолжил свою работу и вместе с Эдвардом Теллером стал одним из сторонников проекта водородной бомбы. Он сотрудничал с Клаусом Фуксом в дальнейшей разработке бомбы, и в 1946 году они подали секретный патент, описывающий схему использования деления для сжатия термоядерного топлива и инициирования ядерного синтеза. Патент Фукса-фон Неймана использовал радиационную имплозию, но не в той форме, в которой она была реализована в окончательной конструкции водородной бомбы, конструкции Теллера-Улама. Однако их работа была включена в испытание «Джордж» в рамках операции «Гринхаус», которое помогло проверить концепции, использованные в окончательном дизайне. Работа Фукса и фон Неймана была передана Советскому Союзу Фуксом в рамках его ядерного шпионажа, но не была использована в собственной независимой разработке Советским Союзом конструкции Теллера-Улама. Историк Джереми Бернштейн отметил, что иронично, но «Джон фон Нейман и Клаус Фукс в 1946 году создали блестящее изобретение, которое могло изменить ход разработки водородной бомбы, но не было полностью понято до тех пор, пока бомба не была успешно создана». Он также стал советником Специального вооруженного проекта, отвечавшего за военные аспекты ядерного оружия. В течение следующих двух лет он был консультантом в различных ведомствах правительства США, включая Центральное разведывательное управление (ЦРУ), член влиятельного Генерального консультативного комитета Комиссии по атомной энергии, консультант недавно созданной Национальной лаборатории Лоуренса Ливермора и член Научной консультативной группы ВВС США. В это время он стал «суперзвездой» оборонной науки в Пентагоне. Его авторитет считался неоспоримым на высшем уровне правительства и армии США. На нескольких заседаниях консультативного совета ВВС США фон Нейман и Эдвард Теллер предсказали, что к 1960 году США смогут создать водородную бомбу, достаточно легкую, чтобы разместить ее на ракете. В 1953 году Бернард Шривер, присутствовавший на встрече, лично посетил фон Неймана в Принстоне, чтобы подтвердить эту возможность. Шривер привлек Тревора Гарднера, который несколько недель спустя посетил фон Неймана, чтобы полностью понять будущие перспективы, прежде чем начать кампанию за такое оружие в Вашингтоне. Занимая должность председателя или входя в состав нескольких советов, занимающихся стратегическими ракетами и ядерным оружием, фон Нейман смог внести несколько важных аргументов относительно потенциального прогресса Советского Союза в обеих этих областях, а также в области стратегической обороны против американских бомбардировщиков, в отчеты правительству, чтобы обосновать создание МБР. Гарднер несколько раз приводил фон Неймана на встречи с высокопоставленными чиновниками Министерства обороны США для обсуждения его отчетов. Несколько конструктивных решений в этих отчетах, таких как инерциальные системы наведения, легли в основу всех последующих МБР. К 1954 году фон Нейман также регулярно выступал перед различными подкомитетами Конгресса по военным вопросам, чтобы обеспечить продолжение поддержки программы МБР. Однако этого было недостаточно. Чтобы программа МБР работала на полную мощность, требовались прямые действия президента Соединенных Штатов. Они убедили президента Эйзенхауэра на прямой встрече в июле 1955 года, что привело к президентской директиве от 13 сентября 1955 года, в которой говорилось, что «разработка Советским Союзом МБР до США повлечет за собой самые серьезные последствия для национальной безопасности и единства свободного мира», и поэтому проект МБР был объявлен «программой исследований и разработок наивысшего приоритета выше всех остальных». Министру обороны было приказано начать проект «с максимальной срочностью». Позже выяснилось, что Советский Союз уже испытывал свои собственные баллистические ракеты средней дальности в то время. Фон Нейман продолжал встречаться с президентом, в том числе в его доме в Геттисберге, штат Пенсильвания, и с другими высокопоставленными правительственными чиновниками в качестве ключевого советника по МБР до своей смерти.

Beginning in the late 1930s, von Neumann developed an expertise in explosions—phenomena that are difficult to model mathematically. During this period, he was the leading authority of the mathematics of shaped charges, leading him to a large number of military consultancies and consequently his involvement in the Manhattan Project. The involvement included frequent trips to the project's secret research facilities at the Los Alamos Laboratory in New Mexico. After a series of failed attempts with models, this was achieved by George Kistiakowsky, and the construction of the Trinity bomb was completed in July 1945. In a visit to Los Alamos in September 1944, von Neumann showed that the pressure increase from explosion shock wave reflection from solid objects was greater than previously believed if the angle of incidence of the shock wave was between 90° and some limiting angle. As a result, it was determined that the effectiveness of an atomic bomb would be enhanced with detonation some kilometers above the target, rather than at ground level. Von Neumann was included in the target selection committee that was responsible for choosing the Japanese cities of Hiroshima and Nagasaki as the first targets of the atomic bomb. Von Neumann oversaw computations related to the expected size of the bomb blasts, estimated death tolls, and the distance above the ground at which the bombs should be detonated for optimum shock wave propagation. The cultural capital Kyoto was von Neumann's first choice, a selection seconded by Manhattan Project leader General Leslie Groves. However, this target was dismissed by Secretary of War Henry L. Stimson. On July 16, 1945, von Neumann and numerous other Manhattan Project personnel were eyewitnesses to the first test of an atomic bomb detonation, which was code named Trinity. The event was conducted as a test of the implosion method device, at the Alamogordo Bombing Range in New Mexico. Based on his observation alone, von Neumann estimated the test had resulted in a blast equivalent to but Enrico Fermi produced a more accurate estimate of 10 kilotons by dropping scraps of torn up paper as the shock wave passed his location and watching how far they scattered. The actual power of the explosion had been between 20 and 22 kilotons. It was in von Neumann's 1944 papers that the expression "kilotons" appeared for the first time. Von Neumann continued unperturbed in his work and became, along with Edward Teller, one of those who sustained the hydrogen bomb project. He collaborated with Klaus Fuchs on further development of the bomb, and in 1946 the two filed a secret patent outlining a scheme for using a fission bomb to compress fusion fuel to initiate nuclear fusion. The Fuchs–von Neumann patent used radiation implosion, but not in the same way as is used in what became the final hydrogen bomb design, the Teller–Ulam design. Their work was, however, incorporated into the "George" shot of Operation Greenhouse, which was instructive in testing out concepts that went into the final design. The Fuchs–von Neumann work was passed on to the Soviet Union by Fuchs as part of his nuclear espionage, but it was not used in the Soviets' own, independent development of the Teller–Ulam design. The historian Jeremy Bernstein has pointed out that ironically, "John von Neumann and Klaus Fuchs, produced a brilliant invention in 1946 that could have changed the whole course of the development of the hydrogen bomb, but was not fully understood until after the bomb had been successfully made." He also became an adviser to the Armed Forces Special Weapons Project, which was responsible for the military aspects on nuclear weapons. Over the following two years, he became a consultant across the US government. This included the Central Intelligence Agency (CIA), a member of the influential General Advisory Committee of the Atomic Energy Commission, a consultant to the newly established Lawrence Livermore National Laboratory, and a member of the Scientific Advisory Group of the United States Air Force During this time he became a "superstar" defense scientist at the Pentagon. His authority was considered infallible at the highest levels of the US government and military. During several meetings of the advisory board of the US Air Force, von Neumann and Edward Teller predicted that by 1960 the US would be able to build a hydrogen bomb light enough to fit on top of a rocket. In 1953 Bernard Schriever, who was present at the meeting, paid a personal visit to von Neumann at Princeton to confirm this possibility. Schriever enlisted Trevor Gardner, who in turn visited von Neumann several weeks later to fully understand the future possibilities before beginning his campaign for such a weapon in Washington. Now either chairing or serving on several boards dealing with strategic missiles and nuclear weaponry, von Neumann was able to inject several crucial arguments regarding potential Soviet advancements in both these areas and in strategic defenses against American bombers into government reports to argue for the creation of ICBMs. Gardner on several occasions brought von Neumann to meetings with the US Department of Defense to discuss with various senior officials his reports. Several design decisions in these reports such as inertial guidance mechanisms would form the basis for all ICBMs thereafter. By 1954, von Neumann was also regularly testifying to various Congressional military subcommittees to ensure continued support for the ICBM program. However, this was not enough. To have the ICBM program run at full throttle they needed direct action by the President of the United States. They convinced President Eisenhower in a direct meeting in July 1955, which resulted in a presidential directive on September 13, 1955. It stated that "there would be the gravest repercussions on the national security and on the cohesion of the free world" if the Soviet Union developed the ICBM before the US and therefore designated the ICBM project "a research and development program of the highest priority above all others." The Secretary of Defense was ordered to commence the project with "maximum urgency". Evidence would later show that the Soviets indeed were already testing their own intermediate range ballistic missiles at the time. Von Neumann would continue to meet the President, including at his home in Gettysburg, Pennsylvania, and other high level government officials as a key advisor on ICBMs until his death.

Комиссия по атомной энергии

В 1955 году фон Нейман стал комиссаром Комиссии по атомной энергии (AEC), которая в то время была высшей должностью, доступной ученым в правительстве. (Хотя его назначение формально требовало расторжения всех остальных консультационных контрактов, фон Нейману было сделано исключение, позволившее ему продолжать работу с несколькими критически важными военными комитетами после того, как ВВС и ряд ключевых сенаторов выразили обеспокоенность.) Он использовал эту должность для продвижения производства компактных водородных бомб, пригодных для доставки межконтинентальными баллистическими ракетами (МБР). Он принимал участие в решении острой нехватки трития и лития-6, необходимых для этих вооружений, и выступал против согласия на ракеты средней дальности, которые хотела армия. Он был убежден, что водородные бомбы, доставляемые вглубь территории противника МБР, станут самым эффективным оружием, и что относительная неточность ракеты не будет проблемой при использовании водородной бомбы. Он предвидел, что советские специалисты, вероятно, будут разрабатывать аналогичную систему вооружений, что впоследствии подтвердилось. Пока Льюис Штраус отсутствовал во второй половине 1955 года, фон Нейман исполнял обязанности председателя комиссии. В последние годы жизни, перед смертью от рака, фон Нейман возглавлял сверхсекретный комитет правительства США по МБР, заседания которого иногда проходили в его доме. Целью комитета было определение возможности создания МБР, достаточно большой для несения термоядерного заряда. Фон Нейман давно утверждал, что, хотя технические препятствия значительны, их можно преодолеть. SM-65 Atlas успешно прошла первое полноценное испытание в 1959 году, через два года после его смерти. Более совершенные ракеты "Титан" были развернуты в 1962 году. Обе ракеты были предложены в комитетах по МБР, которые возглавлял фон Нейман. Возможность создания МБР была обусловлена не только усовершенствованными, уменьшенными боеголовками, не требовавшими систем наведения или теплозащиты, но и достижениями в ракетной технике, а его понимание первых сделало его советы бесценными. Фон Нейман поступил на государственную службу прежде всего потому, что считал, что выживание свободы и цивилизации возможно лишь в случае победы Соединенных Штатов над тоталитаризмом в лице нацизма, фашизма и советского коммунизма. На слушаниях в комитете Сената он охарактеризовал свою политическую идеологию как "крайне антикоммунистическую и гораздо более милитаристскую, чем принято".

In 1955, von Neumann became a commissioner of the Atomic Energy Commission (AEC), which at the time was the highest official position available to scientists in the government. (While his appointment formally required that he sever all his other consulting contracts, an exemption was made for von Neumann to continue working with several critical military committees after the Air Force and several key senators raised concerns.) He used this position to further the production of compact hydrogen bombs suitable for intercontinental ballistic missile (ICBM) delivery. He involved himself in correcting the severe shortage of tritium and lithium 6 needed for these weapons, and he argued against settling for the intermediate range missiles that the Army wanted. He was adamant that H bombs delivered deep into enemy territory by an ICBM would be the most effective weapon possible, and that the relative inaccuracy of the missile would not be a problem with an H bomb. He said the Russians would probably be building a similar weapon system, which turned out to be the case. While Lewis Strauss was away in the second half of 1955 von Neumann took over as acting chairman of the commission. In his final years before his death from cancer, von Neumann headed the United States government's top secret ICBM committee, which would sometimes meet in his home. Its purpose was to decide on the feasibility of building an ICBM large enough to carry a thermonuclear weapon. Von Neumann had long argued that while the technical obstacles were sizable, they could be overcome. The SM 65 Atlas passed its first fully functional test in 1959, two years after his death. The more advanced Titan rockets were deployed in 1962. Both had been proposed in the ICBM committees von Neumann chaired. The feasibility of the ICBMs owed as much to improved, smaller warheads that did not have guidance or heat resistance issues as it did to developments in rocketry, and his understanding of the former made his advice invaluable. Von Neumann entered government service primarily because he felt that, if freedom and civilization were to survive, it would have to be because the United States would triumph over totalitarianism from Nazism, Fascism and Soviet Communism. During a Senate committee hearing he described his political ideology as "violently anti communist, and much more militaristic than the norm".

Привычки работы

Герман Голдстайн отмечал способность фон Неймана интуитивно находить скрытые ошибки и безупречно помнить старые сведения. Когда у него возникали трудности, он не упорствовал, а шел домой, обдумывал их на ночь и возвращался позже с решением. Этот подход, "выбирая путь наименьшего сопротивления", порой приводил к отвлечению на посторонние темы. Также это означало, что если проблема была сложной с самого начала, он просто переключался на другую, не пытаясь найти уязвимые места для прорыва. Иногда он был недостаточно знаком со стандартной математической литературой, предпочитая самостоятельно выводить необходимую информацию, а не искать ссылки. После начала Второй мировой войны он стал чрезвычайно занят академическими и военными делами. Его привычка не оформлять доклады и не публиковать результаты только усугубилась. Ему было непросто формально излагать тему в письменной форме, если она еще не полностью сформировалась в его голове; в противном случае, по его словам, он "проявлял бы худшие черты педантизма и неэффективности".

Математический диапазон

Математик Жан Диодонне сказал, что фон Нейман "может быть последним представителем некогда процветающей и многочисленной группы, великих математиков, одинаково успешно работавших как в чистой, так и в прикладной математике, и на протяжении всей карьеры стабильно плодотворно занимавшихся обоими направлениями". По словам Диодонне, его особый гений проявлялся в анализе и "комбинаторике", причем под комбинаторикой понималась в очень широком смысле его способность организовывать и аксиоматизировать сложные работы, которые ранее казались мало связанными с математикой. Его подход к анализу был близок к немецкой школе, основанной на принципах линейной алгебры и общей топологии. Несмотря на энциклопедические знания фон Неймана, его диапазон в чистой математике был не столь широк, как у Пуанкаре, Гильберта или даже Вейля: он никогда не занимался значимыми исследованиями в теории чисел, алгебраической топологии, алгебраической геометрии или дифференциальной геометрии. Однако в прикладной математике его работы были сопоставимы с достижениями Гаусса, Коши или Пуанкаре. По словам Вигнера, "Никто не знает всей науки, даже фон Нейман. Но в математике он внес вклад практически во все ее области, за исключением теории чисел и топологии. Думаю, это уникально". Халмос отметил, что, несмотря на обширные математические знания фон Неймана, наиболее заметные пробелы были в алгебраической топологии и теории чисел; он вспомнил случай, когда фон Нейман не смог распознать топологическое определение тора. Фон Нейман признался Герману Голдстину, что у него совершенно нет склонности к топологии и он никогда не чувствовал себя в ней комфортно, а Голдстин позже упомянул об этом, сравнивая его с Германом Вейлем, которого он считал более глубоким и широким специалистом. В своей биографии фон Неймана Соломон Бохнер писал, что значительная часть его работ в чистой математике была связана с конечномерными и бесконечномерными векторными пространствами, которые в то время охватывали большую часть математической области. Однако он отметил, что это все же не покрывало важную часть математического ландшафта, в частности, все, что связано с геометрией "в глобальном смысле", такие темы, как топология, дифференциальная геометрия и гармонические интегралы, алгебраическая геометрия и другие подобные области. Фон Нейман редко работал в этих областях и, по мнению Бохнера, не испытывал к ним особого интереса. В одной из своих последних статей фон Нейман выразил сожаление, что современные математики больше не могут достичь глубоких знаний даже в небольшой части этой области. В начале 1940-х годов Улам подготовил для него экзамен в стиле докторской диссертации, чтобы выявить слабые места в его знаниях; фон Нейман не смог удовлетворительно ответить на вопросы по дифференциальной геометрии, теории чисел и алгебре. Они пришли к выводу, что докторские экзамены могут иметь "небольшое постоянное значение". Однако, когда Вейль отказался от предложения написать историю математики XX века, утверждая, что ни один человек не сможет с этим справиться, Улам подумал, что фон Нейман мог бы претендовать на эту роль.

The mathematician Jean Dieudonné said that von Neumann "may have been the last representative of a once flourishing and numerous group, the great mathematicians who were equally at home in pure and applied mathematics and who throughout their careers maintained a steady production in both directions". According to Dieudonné, his specific genius was in analysis and "combinatorics", with combinatorics being understood in a very wide sense that described his ability to organize and axiomize complex works that previously seemed to have little connection with mathematics. His style in analysis followed the German school, based on foundations in linear algebra and general topology. While von Neumann had an encyclopedic background, his range in pure mathematics was not as wide as Poincaré, Hilbert or even Weyl: von Neumann never did significant work in number theory, algebraic topology, algebraic geometry or differential geometry. However, in applied mathematics his work equalled that of Gauss, Cauchy or Poincaré. According to Wigner, "Nobody knows all science, not even von Neumann did. But as for mathematics, he contributed to every part of it except number theory and topology. That is, I think, something unique." Halmos noted that while von Neumann knew lots of mathematics, the most notable gaps were in algebraic topology and number theory; he recalled an incident where von Neumann failed to recognize the topological definition of a torus. Von Neumann admitted to Herman Goldstine that he had no facility at all in topology and he was never comfortable with it, with Goldstine later bringing this up when comparing him to Hermann Weyl, who he thought was deeper and broader. In his biography of von Neumann, Salomon Bochner wrote that much of von Neumann's works in pure mathematics involved finite and infinite dimensional vector spaces, which at the time, covered much of the total area of mathematics. However he pointed out this still did not cover an important part of the mathematical landscape, in particular, anything that involved geometry "in the global sense", topics such as topology, differential geometry and harmonic integrals, algebraic geometry and other such fields. Von Neumann rarely worked in these fields and, as Bochner saw it, had little affinity for them. In one of von Neumann's last articles, he lamented that pure mathematicians could no longer attain deep knowledge of even a fraction of the field. In the early 1940s, Ulam had concocted for him a doctoral style examination to find weaknesses in his knowledge; von Neumann was unable to answer satisfactorily a question each in differential geometry, number theory, and algebra. They concluded that doctoral exams might have "little permanent meaning". However, when Weyl turned down an offer to write a history of mathematics of the 20th century, arguing that no one person could do it, Ulam thought von Neumann could have aspired to do so.

Стиль лекции

Голдстайн сравнил свои лекции с гладким стеклом, прозрачным и ясным. По его мнению, научные статьи он писал гораздо более резко и с меньшим проникновением. Халмос описывал свои лекции как "ослепительные", его речь была чёткой, быстрой, точной и всеобъемлющей. Как и Голдстайн, он отмечал, что во время лекций всё казалось "таким лёгким и естественным", но при последующем обдумывании вызывало недоумение. Он говорил очень быстро: Банеш Хоффману было крайне сложно делать записи, даже стенографические, а Альберт Такер говорил, что людям часто приходилось задавать фон Нейману вопросы, чтобы замедлить его темп и успеть осмыслить представленные идеи. Фон Нейман знал об этом и был благодарен слушателям за то, что они сообщали ему, когда он говорил слишком быстро. Хотя он и готовился к лекциям, редко использовал записи, предпочитая лишь набрасывать основные тезисы и примерное время, отведённое на их обсуждение.

Эидетическая память

Фон Нейман также был известен своей эйдетической памятью, особенно в отношении символической информации. Герман Голдстайн пишет:

Сообщалось, что фон Нейман мог запоминать страницы телефонных справочников. Он развлекал друзей, прося их случайным образом называть номера страниц, после чего воспроизводил имена, адреса и номера телефонов, указанные на этих страницах. По словам Станислава Улама, память фон Неймана была скорее слуховой, чем зрительной.

Математическая быстрота

Математическая беглость, скорость вычислений и общая способность решать задачи фон Неймана были широко известны среди его коллег. Пол Халмос назвал его скорость «поразительной». Лотар Вольфганг Нордхейм описал его как «самый быстрый ум, с которым я когда-либо встречался». Энрико Ферми сказал физику Герберту Л. Андерсону: «Знаешь, Герб, Джонни может выполнять вычисления в уме в десять раз быстрее, чем я! А я могу делать их в десять раз быстрее, чем ты, Герб, так что ты можешь представить, насколько Джонни впечатляет!» Эдвард Теллер признался, что «никогда не мог за ним угнаться», а Израиль Халперин описал попытку угнаться за ним как езду на «трехколесном велосипеде, преследующем гоночную машину». Он обладал необычайной способностью быстро решать новые задачи. Джордж Пойя, лекции которого в ETH Zurich фон Нейман посещал будучи студентом, говорил: «Джонни был единственным студентом, которого я когда-либо боялся. Если в ходе лекции я формулировал нерешенную проблему, то, скорее всего, он приходил ко мне в конце лекции с полным решением, нацарапанным на клочке бумаги». Когда Джордж Данциг принес фон Нейману нерешенную задачу линейного программирования «как обычному смертному», по которой не было опубликованных работ, он был поражен, когда фон Нейман сказал: «А, это!», а затем, совершенно непринужденно, прочитал более чем часовую лекцию, объясняя, как решить задачу, используя доселе не разработанную теорию двойственности. История о встрече фон Неймана с известной головоломкой о мухе вошла в математический фольклор. В этой головоломке два велосипеда начинают движение на расстоянии 20 миль друг от друга, и каждый едет навстречу другому со скоростью 10 миль в час, пока они не столкнутся; тем временем муха непрерывно летает туда и обратно между велосипедами со скоростью 15 миль в час, пока не будет раздавлена при столкновении. Спрашивающий спрашивает, какое расстояние пролетела муха в общей сложности; «хитрость» для быстрого ответа заключается в том, чтобы понять, что отдельные перелеты мухи не имеют значения, важно лишь то, что она летела со скоростью 15 миль в час в течение одного часа. Как рассказывает Юджин Вигнер, Макс Борн предложил эту загадку фон Нейману. Другие ученые, которым он ее задавал, кропотливо вычисляли расстояние, поэтому, когда фон Нейман сразу же был готов с правильным ответом – 15 миль, Борн заметил, что он, должно быть, догадался о трюке. «Какой трюк?» – ответил фон Нейман. «Я просто просуммировал геометрическую прогрессию».

Von Neumann's mathematical fluency, calculation speed, and general problem solving ability were widely noted by his peers. Paul Halmos called his speed "awe inspiring." Lothar Wolfgang Nordheim described him as the "fastest mind I ever met". Enrico Fermi told physicist Herbert L. Anderson: "You know, Herb, Johnny can do calculations in his head ten times as fast as I can! And I can do them ten times as fast as you can, Herb, so you can see how impressive Johnny is!" Edward Teller admitted that he "never could keep up with him", and Israel Halperin described trying to keep up as like riding a "tricycle chasing a racing car." He had an unusual ability to solve novel problems quickly. George Pólya, whose lectures at ETH Zürich von Neumann attended as a student, said, "Johnny was the only student I was ever afraid of. If in the course of a lecture I stated an unsolved problem, the chances were he'd come to me at the end of the lecture with the complete solution scribbled on a slip of paper." When George Dantzig brought von Neumann an unsolved problem in linear programming "as I would to an ordinary mortal", on which there had been no published literature, he was astonished when von Neumann said "Oh, that! ", before offhandedly giving a lecture of over an hour, explaining how to solve the problem using the hitherto unconceived theory of duality. A story about von Neumann's encounter with the famous fly puzzle has entered mathematical folklore. In this puzzle, two bicycles begin 20 miles apart, and each travels toward the other at 10 miles per hour until they collide; meanwhile, a fly travels continuously back and forth between the bicycles at 15 miles per hour until it is squashed in the collision. The questioner asks how far the fly traveled in total; the "trick" for a quick answer is to realize that the fly's individual transits do not matter, only that it has been traveling at 15 miles per hour for one hour. As Eugene Wigner tells it, Max Born posed the riddle to von Neumann. The other scientists to whom he had posed it had laboriously computed the distance, so when von Neumann was immediately ready with the correct answer of 15 miles, Born observed that he must have guessed the trick. "What trick?" von Neumann replied. "All I did was sum the geometric series."

Сомнения в себе

Рота писал, что у фон Неймана были "глубоко укоренившиеся и периодически возникающие сомнения в себе". Джон Л. Келли вспоминал в 1989 году, что "Джонни фон Нейман говорил, что его забудут, а Курта Гёделя будут помнить наряду с Пифагором, однако мы все смотрели на Джонни с восхищением". Улам полагает, что некоторые из его сомнений относительно собственного творчества могли быть связаны с тем, что он не открыл ряд важных идей, которые были открыты другими, хотя он был вполне способен это сделать, приводя в пример теоремы о неполноте и точечную эргодическую теорему Бирхоффа. Фон Нейман обладал виртуозным умением прослеживать сложные рассуждения и глубочайшей проницательностью, но, возможно, ему не хватало дара к, казалось бы, иррациональным доказательствам и теоремам или интуитивным озарениям. Улам описывает, как во время одного из его визитов в Принстон, когда фон Нейман работал над кольцами операторов, непрерывными геометриями и квантовой логикой, он почувствовал, что фон Нейман не был уверен в значимости своей работы и испытывал удовлетворение только при нахождении какого-нибудь остроумного технического приема или нового подхода. Однако, по словам Роты, фон Нейман по-прежнему обладал "несравненно более сильной техникой", чем его друг, несмотря на то, что Улама описывали как более творческого математика.

Награды

Лауреат Нобелевской премии Ханс Бете сказал: "Я иногда задавался вопросом, не указывает ли мозг, подобный мозгу фон Неймана, на превосходство над человеческим видом". Эдвард Теллер заметил: "фон Нейман вел беседу с моим трехлетним сыном, и они разговаривали как равные, и я порой задумывался, использовал ли он тот же подход в общении с остальными из нас". Питер Лакс писал: "фон Нейман был страстно увлечен мышлением, особенно математическим". Юджин Вигнер сказал: "Он понимал математические задачи не только в их первоначальном виде, но и во всей их сложности". Клод Шеннон назвал его "самым умным человеком, которого я когда-либо встречал" – распространенное мнение. Джейкоб Броновски писал: "Он был самым выдающимся человеком, которого я когда-либо знал, без исключения. Он был гением". "Пожалуй, справедливо сказать, что если влияние ученого рассматривать в широком смысле, включая воздействие на области, выходящие за рамки науки как таковой, то Джон фон Нейман, вероятно, был самым влиятельным математиком, когда-либо жившим", – написал Миклош Редей. Питер Лакс отметил, что фон Нейман мог бы получить Нобелевскую премию по экономике, если бы дожил дольше, и что "если бы существовали Нобелевские премии по информатике и математике, он также был бы удостоен этих наград". Рота пишет, что "он первым увидел безграничные возможности вычислительной техники и проявил решимость привлечь значительные интеллектуальные и инженерные ресурсы, которые привели к созданию первого крупного компьютера", и, следовательно, что "Ни один другой математик в этом веке не оказал столь глубокого и продолжительного влияния на ход цивилизации". Он общепризнан одним из величайших и наиболее влиятельных математиков и ученых XX века. Нейрофизиолог Леон Хармон описал его схожим образом, назвав единственным "истинным гением", которого он когда-либо встречал: "Ум фон Неймана был всеобъемлющим. Он мог решать задачи в любой области. И его разум всегда был активен, всегда беспокоен". Работая над проектами, не связанными с академической сферой, сочетание выдающихся научных способностей и практичности фон Неймана обеспечило ему высокий авторитет среди военных, инженеров и промышленников, которому не мог сравниться ни один другой ученый. В области ядерного ракетостроения он считался "бесспорно доминирующей консультативной фигурой", по словам Герберта Йорка. Экономист Николас Кальдор сказал, что он был "несомненно самым близким к гению человеком, которого я когда-либо встречал". Пол Сэмюэлсон также писал: "Мы, экономисты, благодарны гению фон Неймана. Нам не дано судить, был ли он Гауссом, Пуанкаре или Гильбертом. Он был несравненным Джонни фон Нейманом. Он мимолетно заглянул в нашу область, и с тех пор она уже никогда не была прежней".

Nobel Laureate Hans Bethe said "I have sometimes wondered whether a brain like von Neumann's does not indicate a species superior to that of man". Edward Teller observed "von Neumann would carry on a conversation with my 3 year old son, and the two of them would talk as equals, and I sometimes wondered if he used the same principle when he talked to the rest of us." Peter Lax wrote "Von Neumann was addicted to thinking, and in particular to thinking about mathematics". Eugene Wigner said, "He understood mathematical problems not only in their initial aspect, but in their full complexity." Claude Shannon called him "the smartest person I've ever met", a common opinion. Jacob Bronowski wrote "He was the cleverest man I ever knew, without exception. He was a genius." "It seems fair to say that if the influence of a scientist is interpreted broadly enough to include impact on fields beyond science proper, then John von Neumann was probably the most influential mathematician who ever lived," wrote Miklós Rédei. Peter Lax commented that von Neumann would have won a Nobel Prize in Economics had he lived longer, and that "if there were Nobel Prizes in computer science and mathematics, he would have been honored by these, too." Rota writes that "he was the first to have a vision of the boundless possibilities of computing, and he had the resolve to gather the considerable intellectual and engineering resources that led to the construction of the first large computer" and consequently that "No other mathematician in this century has had as deep and lasting an influence on the course of civilization." He is widely regarded as one of the greatest and most influential mathematicians and scientists of the 20th century. Neurophysiologist Leon Harmon described him in a similar manner, calling him the only "true genius" he had ever met: "von Neumann's mind was all encompassing. He could solve problems in any domain. And his mind was always working, always restless." While consulting for non academic projects von Neumann's combination of outstanding scientific ability and practicality gave him a high credibility with military officers, engineers, and industrialists that no other scientist could match. In nuclear missilery he was considered "the clearly dominant advisory figure" according to Herbert York. Economist Nicholas Kaldor said he was "unquestionably the nearest thing to a genius I have ever encountered." Likewise, Paul Samuelson wrote, "We economists are grateful for von Neumann's genius. It is not for us to calculate whether he was a Gauss, or a Poincaré, or a Hilbert. He was the incomparable Johnny von Neumann. He darted briefly into our domain and it has never been the same since."

Почести и награды

Мероприятия и награды, названные в честь фон Неймана, включают ежегодную теоретическую премию Джона фон Неймана Института исследования операций и управления, медаль IEEE имени Джона фон Неймана и премию Джона фон Неймана Общества промышленной и прикладной математики. В его честь назван кратер фон Неймана на Луне и астероид 22824 фон Нейман. Фон Нейман был удостоен таких наград, как Медаль за заслуги в 1947 году, Медаль Свободы в 1956 году и премия Энрико Ферми также в 1956 году. Он был избран членом ряда почетных обществ, включая Американскую академию искусств и наук и Национальную академию наук, и получил восемь почетных докторских степеней. 4 мая 2005 года Почтовая служба США выпустила серию памятных почтовых марок «Американские ученые», разработанную художником Виктором Стабином. На марках были изображены фон Нейман, Барбара Макклинток, Джозия Виллард Гиббс и Ричард Фейнман. Университет имени Яноша Неймана (Neumann János Egyetem) был основан в Кечкемете, Венгрия, в 2016 году как преемник Кечкеметского колледжа.

Избранные произведения

Первая опубликованная работа фон Неймана была «О положении нулей некоторых минимальных полиномов», написанная совместно с Майклом Фекете и опубликованная, когда фон Нейману было 18 лет. В 19 лет была опубликована его самостоятельная работа «О введении трансфинитных чисел». Он расширил свою вторую самостоятельную работу, «Аксиоматизация теории множеств», чтобы создать свою докторскую диссертацию. Его первая книга, «Математические основы квантовой механики», была опубликована в 1932 году. После этого фон Нейман перешел от публикаций на немецком языке к публикациям на английском языке, и его публикации стали более избирательными и вышли за рамки чистой математики. Его «Теория детонационных волн» 1942 года внесла вклад в военные исследования, его работа в области вычислительной техники началась с неопубликованной работы 1946 года «О принципах создания крупномасштабных вычислительных машин», а его публикации по прогнозированию погоды начались с «Численного интегрирования уравнения баротропной вихревой циркуляции» 1950 года. Наряду с его более поздними работами были неофициальные эссе, предназначенные для коллег и широкой публики, такие как его «Математик» 1947 года, описанный как «прощание с чистой математикой», и его «Сможем ли мы выжить в эпоху технологий?» 1955 года, в котором рассматривалось мрачное будущее, включающее ядерную войну и преднамеренное изменение климата. Его полные труды были собраны в шеститомном издании.