Введение

Определение всех напряжений и токов в электрической сети

В электротехнике и электронике сеть представляет собой совокупность взаимосвязанных компонентов. Сетевой анализ – это процесс определения напряжений на и токов через все компоненты сети. Существует множество методов для вычисления этих значений, однако в большинстве случаев эти методы предполагают линейные компоненты. Если специально не указано иное, методы, описанные в данной статье, применимы только к анализу линейных сетей.

Определения

Компонент – устройство с двумя или более выводами, в которые или из которых может протекать ток. Узел – точка, в которой соединены выводы более чем двух компонентов. Проводник с практически нулевым сопротивлением считается узлом для целей анализа. Ветвь – компонент(ы), соединяющие два узла. Петля – группа ветвей в сети, соединенных таким образом, чтобы образовать замкнутый контур, внутри которого нет других контуров. Порт – два вывода, где ток, входящий в один, идентичен току, выходящему из другого. Схема – путь тока от одного вывода генератора через нагрузку и обратно к другому выводу. В этом смысле схема представляет собой однопортовую сеть и является тривиальным случаем для анализа. Если существует какое-либо соединение с другими схемами, то формируется нетривиальная сеть, и должно быть по крайней мере два порта. Часто термины "схема" и "сеть" используются как взаимозаменяемые, но многие аналитики резервируют термин "сеть" для обозначения идеализированной модели, состоящей из идеальных компонентов. Функция передачи – зависимость токов и/или напряжений между двумя портами. Чаще всего рассматриваются входной и выходной порты, а функция передачи описывается как коэффициент усиления или ослабления. Функция передачи компонента – для двухвыводного компонента (т.е. однопортового компонента) ток и напряжение принимаются за вход и выход соответственно, а функция передачи имеет размерность импеданса или проводимости (обычно выбор между напряжением и током в качестве входа является вопросом удобства). Компонент с тремя (или более) выводами фактически имеет два (или более) порта, и его функцию передачи нельзя выразить в виде одного импеданса. Обычно функцию передачи выражают в виде матрицы параметров. Эти параметры могут быть импедансами, но существует множество других подходов (см. двухпортовую сеть).

Эквивалентные схемы

Полезная процедура в сетевом анализе — упрощение сети путем сокращения количества компонентов. Это можно сделать, заменяя физические компоненты другими условными компонентами, оказывающими такое же воздействие. Определенная техника может напрямую уменьшить количество компонентов, например, путем объединения последовательно соединенных импедансов. С другой стороны, она может лишь изменить форму, приведя ее к виду, при котором компоненты можно будет упростить на последующем этапе. Например, можно преобразовать генератор напряжения в генератор тока, используя теорему Нортона, чтобы затем объединить внутреннее сопротивление генератора с параллельной импедансной нагрузкой. Резистивная цепь — это цепь, содержащая только резисторы, идеальные источники тока и идеальные источники напряжения. Если источники являются постоянными (DC), то получается цепь постоянного тока. Анализ цепи заключается в определении напряжений и токов, протекающих в цепи. Принципы решения, изложенные здесь, также применимы к фазорному анализу цепей переменного тока. Две цепи считаются эквивалентными относительно пары выводов, если напряжение на этих выводах и ток через них для одной сети имеют такое же соотношение, как напряжение и ток на выводах другой сети. Если влечет за собой для всех (действительных) значений , то относительно выводов ab и xy, цепь 1 и цепь 2 эквивалентны. Приведенное выше определение достаточно для сети с одним портом. Для сети с более чем одним портом необходимо определить, что токи и напряжения между всеми парами соответствующих портов должны иметь одинаковое соотношение. Например, цепи «звезда» и «треугольник» фактически являются трехпортовыми сетями и, следовательно, требуют трех одновременных уравнений для полного определения их эквивалентности.

Дельта-вие трансформация

Сеть с более чем двумя выводами не может быть сведена к эквивалентной схеме с одним импедансом. Сеть с n выводами в лучшем случае может быть сведена к n импедансам (в худшем случае). Для трехвыводной сети три импеданса могут быть представлены в виде трех-угловой (Δ) или четырех-угловой (Y) сети. Эти две сети эквивалентны, и преобразования между ними приведены ниже. Общую сеть с произвольным числом узлов нельзя свести к минимальному числу импедансов, используя только последовательное и параллельное соединение. В общем случае необходимо также использовать преобразования Y-Δ и Δ-Y. Для некоторых сетей может потребоваться расширение преобразования Y-Δ до преобразований в виде звездного многоугольника. Для обеспечения эквивалентности импедансы между любой парой выводов должны быть одинаковы для обеих сетей, что приводит к системе из трех одновременных уравнений. Приведенные ниже уравнения выражены через сопротивления, но в равной степени применимы и к общему случаю с импедансами.

Простые сети

Некоторые очень простые сети можно проанализировать без необходимости использования более систематизированных методов.

Распределение напряжения между компонентами серии

Рассмотрим n импедансов, соединенных последовательно. Напряжение на любом импедансе равно

Нодальный анализ

В узеловом анализе используется понятие напряжения в узле, и напряжения в узлах считаются неизвестными переменными. Для всех узлов, кроме выбранного узла отсчета, напряжение в узле определяется как разность потенциалов между узлом и узлом отсчета. Следовательно, для цепи с N узлами существует N-1 узловых напряжений. По сути, узеловой анализ применяет закон Кирхгофа о токах (KCL) к N-1 узлам, чтобы получить N-1 независимых уравнений. Поскольку уравнения, полученные с помощью KCL, выражены через токи, входящие и выходящие из узлов, эти токи, если их значения неизвестны, необходимо представить через неизвестные переменные (узловые напряжения). Для некоторых элементов (например, резисторов и конденсаторов) выражение токов элементов через узловые напряжения является тривиальным. Для некоторых распространенных элементов, где это невозможно, разработаны специальные методы. Например, для цепей с независимыми источниками напряжения используется понятие "сверхузла". Промаркируйте все узлы в схеме. Произвольно выберите любой узел в качестве узла отсчета. Определите переменную напряжения для каждого оставшегося узла относительно узла отсчета. Эти переменные напряжения должны быть определены как увеличение напряжения относительно узла отсчета. Запишите уравнение KCL для каждого узла, кроме узла отсчета. Решите полученную систему уравнений.

Наложение

При этом методе рассчитывается влияние каждого генератора поочередно. Все генераторы, кроме рассматриваемого, исключаются и заменяются коротким замыканием в случае генераторов напряжения или разомкнутой цепью в случае генераторов тока. Затем общий ток в или общее напряжение на определенной ветви рассчитывается путем суммирования всех частных токов или напряжений. В основе этого метода лежит предположение о том, что общий ток или напряжение является линейной суперпозицией составляющих его частей. Следовательно, метод нельзя использовать при наличии нелинейных элементов. Суперпозицию мощностей нельзя применять для определения общей потребляемой мощности элементами даже в линейных цепях. Мощность изменяется пропорционально квадрату общего напряжения или тока, а квадрат суммы, как правило, не равен сумме квадратов. Общую мощность в элементе можно определить, применив суперпозицию к напряжениям и токам независимо, а затем вычислив мощность на основе общего напряжения и тока.

Выбор метода

Выбор метода в некоторой степени является вопросом предпочтений. Если сеть особенно проста или требуется только определенный ток или напряжение, то применение некоторых простых эквивалентных схем может дать ответ без использования более систематических методов. Узловой анализ: число узловых потенциалов, а следовательно, и количество решаемых систем уравнений, равно числу узлов минус один. Каждый источник напряжения, подключенный к общему проводу (узлу отсчета), уменьшает число неизвестных и уравнений на единицу. Контурный анализ: число контуров, а следовательно, и количество решаемых систем уравнений, равно числу контуров. Каждый источник тока в контуре уменьшает число неизвестных на единицу. Контурный анализ применим только к сетям, которые можно представить в виде планарной сети, то есть без пересекающихся элементов.

Функция передачи

Функция передачи выражает взаимосвязь между входом и выходом сети. Для резистивных сетей это всегда будет простое действительное число или выражение, которое приводится к действительному числу. Резистивные сети описываются системой совместных алгебраических уравнений. Однако в общем случае линейных сетей сеть описывается системой совместных линейных дифференциальных уравнений. При анализе сетей вместо непосредственного использования дифференциальных уравнений обычно сначала выполняют преобразование Лапласа, а затем выражают результат через параметр Лапласа s, который в общем случае является комплексным. Это называют работой в s-области (или s-домене). Работа с уравнениями напрямую называется работой во временной области (или t-области), поскольку результаты выражаются как величины, изменяющиеся во времени. Преобразование Лапласа – это математический метод перехода между s-областью и временной областью. Этот подход является стандартным в теории управления и полезен для определения стабильности системы, например, в усилителе с обратной связью.

Функция передачи сети двух портов

Функции передачи в теории управления обычно обозначаются символом H(s). В электронике функция передачи чаще всего определяется как отношение выходного напряжения к входному напряжению и обозначается символом A(s), или, что более распространено (поскольку анализ обычно выполняется с точки зрения синусоидальной характеристики), A(jω), таким образом;

A обозначает ослабление или усиление, в зависимости от контекста. В общем случае это будет комплексная функция jω, которую можно получить из анализа импедансов в схеме и их индивидуальных функций передачи. Иногда аналитику интересует только величина коэффициента усиления, а не фазовый сдвиг. В этом случае комплексные числа можно исключить из функции передачи, и она может быть записана как;

Распределенные компоненты

Если сеть состоит из дискретных компонентов, анализ с использованием двухполюсных сетей является вопросом выбора, а не необходимостью. Сеть всегда можно проанализировать, рассматривая передаточные функции отдельных компонентов. Однако, если сеть содержит распределенные компоненты, например, в случае линии передачи, анализ с точки зрения отдельных компонентов невозможен, поскольку таковых не существует. Наиболее распространенный подход в этом случае – моделирование линии как двухполюсной сети и ее характеристика с использованием двухполюсных параметров (или эквивалентных им). Другой пример применения этого метода – моделирование носителей заряда, пересекающих базовый регистр в высокочастотном транзисторе. Базовый регистр необходимо моделировать как распределенное сопротивление и емкость, а не как сосредоточенные элементы.

Анализ изображения

Линии передачи и некоторые типы фильтров используют метод образов для определения своих передаточных параметров. В этом методе рассматривается поведение бесконечно длинной последовательно соединенных цепочки идентичных цепей. Затем для этой бесконечно длинной цепочки вычисляются входные и выходные импедансы, а также прямая и обратная функции передачи. Хотя полученные таким образом теоретические значения никогда не могут быть точно реализованы на практике, во многих случаях они служат очень хорошим приближением для поведения конечной цепочки, пока она не слишком коротка.

Анализ сети на основе времени с использованием моделирования

Большинство методов анализа рассчитывают значения напряжения и тока для статических сетей, которые представляют собой схемы, состоящие только из компонентов без памяти, но испытывают трудности со сложными динамическими сетями. В общем случае, уравнения, описывающие поведение динамической цепи, имеют форму дифференциально-алгебраической системы уравнений (DAE). Решение DAE является сложной задачей, и методы для этого недостаточно изучены и разработаны (по состоянию на 2010 год). Кроме того, не существует общей теоремы, гарантирующей существование и единственность решений DAE. В частных случаях уравнения динамической цепи могут быть представлены в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые легче решать, поскольку численные методы решения ОДУ имеют богатую историю, восходящую к концу 1800-х годов. Один из способов адаптации методов решения ОДУ к DAE называется прямой дискретизацией и является предпочтительным методом в моделировании цепей. Методы, основанные на моделировании для анализа сети во временной области, решают схему, сформулированную как задача начального значения (IVP). То есть, значения компонентов с памятью (например, напряжения на конденсаторах и токи в индуктивностях) задаются в начальный момент времени t0, и анализ проводится для времени t > t0. Поскольку нахождение численных результатов для бесконечного числа моментов времени от t0 до tf невозможно, этот временной интервал дискретизируется на отдельные моменты времени, и численное решение находится для каждого момента. Интервал времени между этими моментами называется шагом по времени и может быть фиксированным на протяжении всего моделирования или адаптивным. В задаче начального значения, при нахождении решения для времени tn+1, решение для времени tn уже известно. Затем используется временная дискретизация для замены производных конечными разностями, например, для обратного метода Эйлера, где hn+1 – это шаг по времени. Если все компоненты цепи линейны или цепь была линеаризована предварительно, то система уравнений в данной точке является системой линейных уравнений и решается методами численной линейной алгебры. В противном случае это нелинейная алгебраическая система уравнений, которая решается нелинейными численными методами, такими как алгоритмы поиска корней.

Сравнение с другими методами

Методы моделирования гораздо более применимы, чем методы, основанные на преобразовании Лапласа, такие как передаточные функции, которые работают только с простыми динамическими цепями, содержащими конденсаторы и индуктивности. Кроме того, входные сигналы для таких цепей нельзя задавать произвольно при использовании методов, основанных на преобразовании Лапласа.

Существование, уникальность и стабильность

Важным соображением в нелинейном анализе является вопрос об уникальности. Для сети, состоящей из линейных компонентов, всегда существует одно и только одно уникальное решение для заданного набора граничных условий. Это не всегда верно для нелинейных схем. Например, линейный резистор с приложенным к нему фиксированным током имеет только одно решение для напряжения на нем. С другой стороны, нелинейный туннельный диод может иметь до трех решений для напряжения при заданном токе. То есть, конкретное решение для тока через диод не является единственным, могут существовать и другие, равнозначные решения. В некоторых случаях решение может отсутствовать вовсе: необходимо учитывать вопрос о существовании решений. Другим важным соображением является вопрос о стабильности. Решение может существовать, но быть нестабильным, быстро отклоняясь от этой точки даже при малейшем воздействии. Можно показать, что сеть, абсолютно стабильная при всех условиях, должна иметь одно и только одно решение для каждого набора условий.

Булевой анализ коммутирующих сетей

Переключающее устройство – это устройство, в котором нелинейность используется для создания двух противоположных состояний. Например, CMOS-устройства в цифровых схемах имеют выход, подключенный либо к положительной, либо к отрицательной шине питания, и никогда не находятся в промежуточном состоянии, за исключением переходного процесса во время переключения. В этом случае нелинейность спроектирована как максимально выраженная, и аналитик может использовать этот факт. Такие сети можно анализировать с помощью булевой алгебры, присваивая два состояния ("включено"/"выключено", "положительное"/"отрицательное" или любые другие используемые состояния) булевым константам "0" и "1". Переходные процессы игнорируются в этом анализе, равно как и любые незначительные отклонения между состоянием устройства и номинальным состоянием, соответствующим булевому значению. Например, булевой "1" может соответствовать состояние +5В. Выход устройства может быть +4,5В, но аналитик все равно рассматривает это как булевой "1". Производители устройств обычно указывают в своих спецификациях диапазон значений, которые следует считать неопределенными (то есть результат будет непредсказуемым). Переходные процессы не лишены интереса для аналитика. Максимальная скорость переключения определяется скоростью перехода из одного состояния в другое. К счастью для аналитика, для многих устройств большая часть перехода происходит в линейном участке вольтамперной характеристики, и для получения хотя бы приблизительного решения можно применить линейный анализ. Математически возможно получить булевы алгебры, имеющие более двух состояний. Они не получили широкого распространения в электронике, хотя трехстабильные устройства встречаются довольно часто.

Разделение анализа смещения и анализа сигнала

Этот метод применяется в тех случаях, когда требуется обеспечить практически линейную работу схемы, несмотря на использование нелинейных элементов для ее реализации. Транзисторный усилитель является примером подобной схемы. Суть данного метода заключается в разделении анализа на два этапа. Сначала анализируются постоянные смещения, используя какой-либо нелинейный метод. Это определяет установившуюся рабочую точку схемы. Затем малые сигналы в схеме анализируются с применением методов линейного анализа цепей. Ниже приведены примеры методов, которые могут быть использованы на обоих этих этапах.

Графический метод анализа д.с.

В подавляющем большинстве схем постоянное смещение подается на нелинейный компонент через резистор (или, возможно, сеть резисторов). Поскольку резисторы являются линейными компонентами, особенно легко определить точку статического режима нелинейного устройства по графику его вольт-амперной характеристики. Метод заключается в следующем: с помощью линейного анализа цепей вычисляется выходная передаточная функция (то есть зависимость выходного напряжения от выходного тока) для сети резисторов и источника, питающего их. Это будет прямая линия (называемая линией нагрузки), которую можно легко наложить на график вольт-амперной характеристики нелинейного устройства. Точка пересечения этих линий и является точкой статического режима. Возможно, самый простой практический метод – рассчитать напряжение разомкнутой цепи (линейной) сети и ток короткого замыкания и отметить эти значения на вольт-амперной характеристике нелинейного устройства. Прямая линия, соединяющая эти две точки, представляет собой передаточную функцию сети. На практике разработчик схемы будет действовать в обратном порядке. Начиная с графика, предоставленного в техническом описании производителя для нелинейного устройства, разработчик выберет желаемую точку работы, а затем рассчитает необходимые значения линейных компонентов для ее достижения. Этот метод все еще применим, даже если смещение подается на устройство через другое устройство, которое само является нелинейным, например, диод. Однако в этом случае график передаточной функции сети на смещаемое устройство уже не будет прямой линией, что делает расчеты более трудоемкими.

Малая эквивалентная схема сигналов

Этот метод может использоваться, когда отклонение входных и выходных сигналов в сети остается в существенно линейной области функции передачи нелинейных устройств, или настолько мало, что кривую функции передачи можно считать линейной. При соблюдении этих конкретных условий нелинейное устройство можно представить эквивалентной линейной схемой. Важно помнить, что эта эквивалентная схема является чисто условной и справедлива только для малых отклонений сигнала. Она совершенно неприменима к режиму постоянного смещения устройства. Для простого двухполюсного устройства малая сигнальная эквивалентная схема может состоять не более чем из двух элементов: сопротивления, равного наклону вольт-амперной характеристики в рабочей точке (называемому динамическим сопротивлением), и касательной к этой кривой. Генератора, поскольку эта касательная, как правило, не проходит через начало координат. Для устройств с большим количеством выводов требуются более сложные эквивалентные схемы. Распространенным способом задания малосигнальной эквивалентной схемы среди производителей транзисторов является использование параметров двухполюсной сети, известных как параметры [h]. Это матрица из четырех параметров, как и параметры [z], но в случае параметров [h] они представляют собой гибридную смесь импедансов, проводимостей, коэффициентов усиления по току и коэффициентов усиления по напряжению. В этой модели трехвыводной транзистор рассматривается как двухполюсная сеть, один из выводов которой является общим для обоих портов. Параметры [h] существенно различаются в зависимости от того, какой вывод выбран в качестве общего. Наиболее важным параметром для транзисторов обычно является коэффициент усиления по току в схеме с общим эмиттером, h21, который на листах данных обозначается hfe. Малосигнальная эквивалентная схема, выраженная через параметры двухполюсной сети, приводит к понятию зависимых источников. То есть значение источника напряжения или тока линейно зависит от напряжения или тока в другом месте схемы. Например, модель параметров [z] приводит к зависимым источникам напряжения, как показано на этой диаграмме. В двухполюсной эквивалентной схеме всегда присутствуют зависимые источники. Это относится к параметрам [h], а также к параметрам [z] и любым другим. Эти зависимости необходимо сохранять при разработке уравнений для анализа более сложных линейных сетей.

Линейный метод по частям

При этом методе передаточная функция нелинейного устройства разбивается на области. Каждая из этих областей аппроксимируется прямой линией. Таким образом, передаточная функция будет линейной до определенной точки, где возникает разрыв. После этой точки передаточная функция снова будет линейной, но с другим углом наклона. Хорошо известным применением этого метода является аппроксимация передаточной функции pn-перехода диода. Передаточная функция идеального диода приведена в начале этого (нелинейного) раздела. Однако эта формула редко используется в анализе цепей, вместо этого применяется кусочно-линейная аппроксимация. Можно заметить, что при уменьшении напряжения ток диода быстро падает до значения Io. Для большинства практических целей этот ток настолько мал, что им можно пренебречь. С увеличением напряжения ток возрастает экспоненциально. Диод моделируется как разомкнутая цепь до колена экспоненциальной кривой, а затем, после этой точки, как резистор, равный объемному сопротивлению полупроводникового материала. Общепринятые значения переходного напряжения составляют 0,7 В для кремниевых приборов и 0,3 В для германиевых приборов. Еще более простая модель диода, иногда используемая в схемах переключения, представляет собой короткое замыкание для прямого напряжения и разомкнутую цепь для обратного напряжения. Модель прямо смещенного pn-перехода с приблизительно постоянным напряжением 0,7 В также широко используется в качестве приближения для напряжения перехода база-эмиттер транзистора при проектировании усилителей. Кусочно-линейный метод аналогичен методу малого сигнала в том, что методы линейного анализа цепей могут применяться только в том случае, если сигнал остается в определенных пределах. Если сигнал пересекает точку разрыва, модель перестает быть пригодной для линейного анализа. Однако модель имеет преимущество перед методом малого сигнала, поскольку она одинаково применима как к переменному сигналу, так и к постоянному смещению. Следовательно, оба сигнала можно анализировать одним и тем же способом, и их можно линейно складывать.

Временно изменяющиеся компоненты

В линейном анализе предполагается, что компоненты сети остаются неизменными, но в некоторых схемах это не так, например, в генераторах сметающей развертки, усилителях с управлением напряжением и переменных эквалайзерах. Во многих случаях изменение значения компонента является периодическим. Нелинейный компонент, возбуждаемый периодическим сигналом, например, может быть представлен как линейный компонент, периодически изменяющийся во времени. Сидни Дарлингтон представил метод анализа таких периодически изменяющихся во времени цепей. Он разработал канонические формы схем, аналогичные каноническим формам Рональда М. Фостера и Вильгельма Кауэра, используемым для анализа линейных цепей.

Теория векторных схем

Обобщение теории цепей, основанной на скалярных величинах, до векторных токов необходимо для новых типов цепей, таких как спиновые цепи. Обобщенные параметры цепи состоят из четырех компонентов: скалярного тока и векторного спинового тока в направлениях x, y и z. Напряжения и токи становятся векторными величинами, а проводимость описывается матрицей спиновой проводимости 4x4.