Введение

История логики занимается изучением развития науки об обоснованных выводах (логики). Формальные логики развивались в древности в Индии, Китае и Греции. Греческие методы, особенно аристотелевская логика (или логика терминов), представленная в «Органоне», получила широкое применение и признание в западной науке и математике на протяжении тысячелетий. Стоики, в особенности Хрисипп, начали разработку логики предикатов. Христианские и исламские философы, такие как Боэций (умер в 524 году), Ибн Сина (Авиценна, умер в 1037 году), Фома Аквинский (умер в 1274 году) и Уильям Оккамский (умер в 1347 году), продолжили развивать логику Аристотеля в Средние века, достигнув расцвета в середине XIV века благодаря Жану Буридану. Период между XIV и началом XIX века характеризовался в основном упадком и забвением, и по крайней мере один историк логики считает это время бесплодным. Эмпирические методы доминировали, что видно по «Новому Органону» Фрэнсиса Бэкона, опубликованному в 1620 году. Логика возродилась в середине XIX века, в начале революционного периода, когда она превратилась в строгую и формальную дисциплину, взяв за образец точный метод доказательства, используемый в математике, и вернувшись к греческой традиции. Развитие современной «символической» или «математической» логики в этот период благодаря работам Буля, Фреге, Рассела и Пеано является наиболее значительным событием за две тысячи лет истории логики и, возможно, одним из самых важных и выдающихся событий в интеллектуальной истории человечества. Прогресс в математической логике в первые десятилетия XX века, особенно благодаря работам Гёделя и Тарского, оказал значительное влияние на аналитическую философию и философскую логику, особенно начиная с 1950-х годов, в таких областях, как модальная логика, темпоральная логика, деонтическая логика и логика релевантности.

Происхождение

Насадийская сукта Ригведы (RV 10.129) содержит онтологические размышления, выраженные через различные логические деления, которые впоследствии были формализованы в виде четырех кругов чатушкоти: "А", "не-А", "А и 'не-А'", и "не-А и не-не-А". Логика зародилась независимо в Древней Индии и продолжала развиваться до начала Нового времени, не испытывая известного влияния греческой логики.

До Гаутамы

Хотя происхождение общественных дебатов (pariṣad), одной из форм рационального исследования, в Индии неясно, мы знаем, что публичные дебаты были распространены в доклассической Индии, о чем часто упоминается в различных Упанишадах и ранней буддийской литературе. Публичные дебаты – не единственная форма публичных обсуждений в доклассической Индии. Различные собрания (pariṣad или sabhā), состоявшие из компетентных специалистов, регулярно созывались для обсуждения широкого круга вопросов, включая административные, правовые и религиозные.

Даттатрея

В "Бхагавата пуране" говорится, что философ по имени Даттатрея учил Анвиксики Айарке, Прахладе и другим. Из "Маркандейя пураны" следует, что "Анвиксики-видья", изложенная им, состояла из рассуждения о душе в соответствии с философией йоги. Даттатрея изложил философскую сторону Анвиксики, а не ее логическую сторону.

Медхатити Гаутама

Хотя упомянутые ранее учителя рассматривали некоторые отдельные темы Анвиксики, заслуга основания Анвиксики как особой науки принадлежит Медхатити Гаутаме (ок. VI век до н.э.). Гаутама основал школу логики Анвиксики. «Махабхарата» (12.173.45), датируемая примерно V веком до н.э., упоминает школы логики Анвиксики и Тарка.

Панини

Панини (ок. 5 в. до н.э.) разработал форму логики (имеющую некоторое сходство с булевой логикой) для своей формулировки санскритской грамматики. Чанакья (ок. 350–283 до н.э.) описывает логику в своей «Артхашастре» как самостоятельную область познания.

Ньяя-вайшешика

Две из шести индийских школ мысли посвящены логике: Ньяя и Вайшешика. «Ньяя-сутры» Аксапада Гаутамы (ок. II века н.э.) составляют ядро школы Ньяя, одной из шести ортодоксальных школ индуистской философии. Эта реалистическая школа разработала строгую пятикомпонентную схему силлогизма, включающую исходное положение, основание, пример, применение и заключение. Идеалистическая буддийская философия стала основным оппонентом для представителей школы Ньяя (Найяиков).

Нагарджуна

Нагарджуна (ок. 150–250 гг. н.э.), основатель Мадхьямаки ("Средний путь"), разработал анализ, известный как чатушкоти (санскрит), – "четырехугольная" система аргументации, включающая в себя систематическое исследование и отвержение каждой из четырех возможностей утверждения P: P; то есть, утверждение истинно. не-P; то есть, утверждение ложно. P и не-P; то есть, утверждение истинно и ложно одновременно. не (P или не-P); то есть, утверждение не истинно и не ложно. В рамках пропозициональной логики законы Де Моргана подразумевают, что этот последний случай эквивалентен третьему (P и не-P) и, следовательно, избыточен, оставляя для рассмотрения только три реальных случая.

Дигнага

Однако Дигнага (ок. 480–540 гг. н.э.) иногда считается разработчиком формального силлогизма, и именно благодаря ему и его преемнику Дхармакирти буддийская логика достигла расцвета; остаётся спорным вопрос, представляет ли их анализ собой действительно формальную силлогистическую систему. В частности, их анализ был сосредоточен на определении отношения, обосновывающего умозаключение, – "вьяпти", также известного как неизменное сопряжение или всеобщность. Для этого была разработана доктрина, известная как "апоха" или дифференциация. Она включала в себя то, что можно назвать включением и исключением определяющих признаков. Знаменитое "колесо рассуждений" Дигнаги (Хетучакра) – это метод определения того, когда одно явление (например, дым) может считаться неизменным признаком другого (например, огня), однако умозаключение часто является индуктивным и основано на предыдущих наблюдениях. Матилал отмечает, что анализ Дигнаги во многом схож с методом согласия и различия Джона Стюарта Милля, который носит индуктивный характер.

Логика в Китае

В Китае современник Конфуция Мо-цзы, "Мастер Мо", считается основателем школы мохистов, каноны которой рассматривали вопросы, связанные с обоснованными умозаключениями и условиями верных выводов. В частности, некоторые ученые приписывают логикам – одной из школ, возникших из моизма – ранние исследования формальной логики. Вследствие сурового правления легизма в последовавшей династии Цинь, это направление исследований исчезло в Китае до появления индийской философии, принесенной буддистами.

Предистория логики

В течение всей истории человечества использовались обоснованные рассуждения. Однако логика изучает принципы обоснованных рассуждений, выводов и доказательств. Вероятно, идея доказательства заключения впервые возникла в связи с геометрией, которая изначально означала то же самое, что и «измерение земли». Древние египтяне открыли геометрию, включая формулу объема усеченной пирамиды. Древний Вавилон также преуспел в математике. Медицинский диагностический справочник Эсагила кин-апли, датируемый 11-м веком до нашей эры, основывался на логической системе аксиом и предположений, а вавилонские астрономы в 8-м и 7-м веках до нашей эры использовали внутреннюю логику в своих прогностических планетарных системах, что стало важным вкладом в философию науки.

Древняя Греция до Аристотеля

В то время как древние египтяне эмпирически открыли некоторые истины геометрии, величайшим достижением древних греков стала замена эмпирических методов доказательством посредством вывода. Как Талес, так и Пифагор из числа досократических философов, по-видимому, были знакомы с геометрическими методами. Фрагменты ранних доказательств сохранились в трудах Платона и Аристотеля, а идея дедуктивной системы, вероятно, была известна в пифагорейской школе и Платоновской академии. В случае классических греческих городов-государств интерес к аргументации также стимулировался деятельностью риторов и софистов, которые использовали аргументы для защиты или критики тезисов как в юридической, так и в политической сферах.

Талес

Говорят, что Фалес, общепризнанно считающийся первым философом в греческой традиции, измерял высоту пирамид по длине их теней в тот момент, когда длина его собственной тени равнялась его росту. Утверждают, что Фалес принес жертву в честь открытия теоремы Фалеса, подобно тому, как Пифагор отметил открытие теоремы Пифагора. Фалес – первый известный человек, применивший дедуктивные рассуждения к геометрии, выведя четыре следствия из своей теоремы, и первый, кому приписывают математическое открытие. Индийские и вавилонские математики знали эту теорему для частных случаев еще до того, как он её доказал. Предполагается, что Фалес узнал о том, что угол, вписанный в полукруг, является прямым, во время своих путешествий в Вавилон.

Пифагор

До 520 года до н.э., во время одного из своих визитов в Египет или Грецию, Пифагор мог встретиться с Фалесом, который был примерно на 54 года старше. Систематическое изучение доказательств, по-видимому, началось с пифагорейской школы (то есть с пифагорейцев) в конце VI века до нашей эры.

Гераклит и Парменид

Труды Гераклита (ок. 535 – ок. 475 до н.э.) стали первым местом в древнегреческой философии, где слову «логос» было уделено особое внимание. Гераклит полагал, что всё течёт и всё есть огонь, а также противоречивые противоположности, кажущиеся объединёнными лишь этим логосом. Он известен своими загадочными изречениями. Этот логос всегда присутствует, но люди оказываются неспособны постичь его, ни до того, как услышат его, ни после первого услышания. Ибо, хотя всё происходит в соответствии с этим логосом, люди подобны несведущим, когда сталкиваются с такими словами и деяниями, как я излагаю, различая каждое в соответствии с его природой и говоря о том, как оно есть. Но другие не замечают, что делают наяву, подобно тому, как забывают, что совершают во сне. Возможно, он был несогласным с пифагорейцами, отрицая, что Единое (число) порождает многое. Утверждение «Х не есть» всегда должно быть ложным или бессмысленным. Сущее ни в коем случае не может не существовать. Наши чувственные восприятия, фиксирующие рождение и уничтожение, глубоко ошибочны. Вместо чувственного восприятия Парменид выдвигал логос как путь к Истине. Его называют первооткрывателем логики, поскольку эта точка зрения, согласно которой То, Чего Нет, не может преобладать, является основополагающей. Необходимо отвлечь мысль от этого пути исследования и не позволять обычному опыту в его многообразии направлять вас по нему, (а именно, не позволять) глазу, лишенному зрения, уху, полному звука, и языку господствовать, но (следует) судить посредством Разума (Логоса) о спорном доказательстве, которое я излагаю. |B 7.1–8.2|

В отличие от Гераклита, Парменид утверждал, что всё едино и ничто не меняется. Он мог быть отступником от пифагорейцев, не согласным с тем, что Единое (число) порождает многое. Утверждение, что То, Чего Нет, существует, никогда не может быть верным. Необходимо исключить эту мысль из сферы поиска и не позволять обычному опыту в его разнообразии силой вести вас по этому пути, (то есть, не позволять) слепому глазу, наполненному звуком уху и языку править, но (следует) судить посредством Разума (Логоса) о многократно оспариваемом доказательстве, которое я излагаю. Зенон Элейский, ученик Парменида, сформулировал стандартную схему аргументации, используемую в методе доказательства, известном как reductio ad absurdum. Это техника получения очевидно ложного (то есть «абсурдного») заключения из предположения, тем самым демонстрируя ложность этого предположения. Таким образом, Зенон и его учитель считаются первыми, кто применил искусство логики. В диалоге Платона «Парменид» Зенон заявляет, что написал книгу, защищающую монизм Парменида, показывая абсурдные последствия допущения множественности. Зенон знаменито использовал этот метод для разработки своих парадоксов в аргументах против движения. Подобное диалектическое рассуждение впоследствии стало популярным. Члены этой школы назывались «диалектиками» (от греческого слова, означающего «дискутировать»).

Аристотель

Логика Аристотеля, и особенно его теория силлогизма, оказала огромное влияние на западную мысль. Аристотель был первым логиком, который предпринял систематический анализ логического синтаксиса, имени (или термина) и глагола. Он был первым формальным логиком в том смысле, что продемонстрировал принципы рассуждения, используя переменные для выявления лежащей в основе аргумента логической формы. Он искал отношения зависимости, характеризующие необходимое следование, и разграничивал обоснованность этих отношений и истинность посылок. Он первым систематически рассмотрел принципы противоречия и исключённого третьего.

Логика на Ближнем Востоке

Работы Аль-Кинди, Аль-Фараби, Авиценны, Аль-Газали, Аверроэса и других мусульманских логиков были основаны на аристотелевской логике и сыграли важную роль в передаче идей античного мира средневековому Западу. Аль-Фараби (Альфараби) (873–950) был аристотелевским логиком, который рассматривал вопросы будущих случайностей, числа и взаимосвязи категорий, отношения между логикой и грамматикой, а также неаристотелевские формы умозаключений. Маймонид (1138–1204) написал «Трактат о логике» (араб. Maqala Fi Sinat Al Mantiq), именуя Аль-Фараби «вторым учителем», первым же был Аристотель. Ибн Сина (Авиценна) (980–1037) был основателем авиценновской логики, которая вытеснила аристотелевскую логику как доминирующую систему в исламском мире и оказала значительное влияние на западных средневековых авторов, таких как Альберт Великий. Авиценна писал о гипотетическом силлогизме. Он разработал оригинальную «темпоральную» силлогистическую теорию, включающую темпоральную и модальную логику. Он также использовал индуктивную логику, в частности методы сходства, различия и сопутствующих изменений, имеющие решающее значение для научного метода. Одна из идей Авиценны оказала особое влияние на западных логиков, таких как Уильям Оккам: слово Авиценны для обозначения значения или понятия (ма’на) было переведено схоластическими логиками как латинское *intentio*; в средневековой логике и эпистемологии это – знак в уме, естественным образом представляющий вещь. Это имело решающее значение для развития концептуализма Оккама: универсальный термин (например, «человек») не обозначает вещь, существующую в реальности, а скорее знак в уме (*intentio in intellectu*), представляющий множество вещей в реальности; Оккам ссылается на комментарий Авиценны к Метафизике V в подтверждение этой точки зрения. Фахр ад-Дин ар-Рази (р. 1149) критиковал «первую фигуру» Аристотеля и сформулировал раннюю систему индуктивной логики, предвосхитив систему индуктивной логики, разработанную Джоном Стюартом Миллем (1806–1873). Работы ар-Рази были восприняты последующими исламскими учеными как указание нового направления для исламской логики – пост-авиценновской логики. Это направление было далее развито его учеником Афдаладдином аль-Хунайджи (ум. 1249), который разработал форму логики, сосредоточенную на предмете понятий и убеждений. В ответ на эту традицию Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274) начал традицию нео-авиценновской логики, которая оставалась верной трудам Авиценны и существовала как альтернатива более доминирующей пост-авиценновской школе на протяжении последующих веков. Ибн аль-Нафис (1213–1288) написал книгу об авиценновской логике, которая являлась комментарием к «Аль-Ишарат» (Знамения) и «Аль-Хидая» (Наставления) Авиценны. Ибн Теймия (1263–1328) написал «Ар-Радд ‘ала аль-Мантикийн», где он выступал против полезности, хотя и не обоснованности, силлогизма и в пользу индуктивного рассуждения. Эта модель аналогии была использована в недавних работах Джона Ф. Совы. Однако между XIV и XIX веками были написаны «тысячи и тысячи страниц» по логике, хотя историки изучили лишь малую часть текстов, созданных в этот период, поэтому мало что известно об оригинальных работах по исламской логике, созданных в этот более поздний период.

Логика в средневековой Европе

"Средневековая логика" (также известная как "Схоластическая логика") обычно относится к форме аристотелевской логики, разработанной в средневековой Европе в период примерно с 1200 по 1600 год. До XII века единственными доступными на Западе работами Аристотеля были "Категории", "Об истолковании" и перевод Боэция "Исагоги Порфирия" (комментарий к "Категориям"). Эти работы были известны как "Старая логика" (Logica Vetus или Ars Vetus). Важным трудом в этой традиции была Logica Ingredientibus Петра Абеляра (1079–1142). Его непосредственное влияние было невелико, но влияние через учеников, таких как Иоанн Солсберийский, было значительным, и его метод применения строгого логического анализа к теологии сформировал развитие теологической критики в последующий период. Доказательство принципа взрыва, также известного как принцип Псевдо-Скота, закона, согласно которому из противоречия (включая его отрицание) может быть доказано любое высказывание, впервые было дано французским логиком XII века Вильгельмом Суассонским. К началу XIII века остальные работы Аристотеля из "Органона", включая "Первую аналитику", "Вторую аналитику" и "Софистические опровержения" (вместе известные как "Новая логика" или Logica Nova), были вновь открыты на Западе. Логические работы до этого времени в основном представляли собой парафразы или комментарии к трудам Аристотеля. Период с середины XIII по середину XIV века был отмечен значительными достижениями в логике, особенно в трех областях, которые были оригинальными и имели мало оснований в предшествующей аристотелевской традиции. Это были:

Теория предпозиций. Теория предпозиций рассматривает то, как предикаты (например, "человек") охватывают область индивидов (например, всех людей). В предложении "каждый человек есть животное", охватывает ли термин "человек" только существующих в настоящем людей, или же его область включает людей прошлого и будущего? Может ли термин охватывать несуществующего индивида? Некоторые медиевисты утверждают, что эта идея является предшественником современной логики первого порядка. "Теория предпозиций, вместе с сопутствующими теориями копуляции (способности знака прилагательных терминов), амплиации (расширения референтной области) и дистрибуции, составляет одно из самых оригинальных достижений западной средневековой логики". Теория синкатегорем. Синкатегоремы – это термины, необходимые для логики, но, в отличие от категорических терминов, сами по себе не имеют значения, а "созначают" с другими словами. Примерами синкатегорем являются "и", "не", "каждый", "если" и так далее. Теория следствий. Следствие – это гипотетическое, условное высказывание: два высказывания, соединенные терминами "если… то". Например, "если человек бежит, то Бог существует" (Si homo currit, Deus est). Полностью разработанная теория следствий представлена в Книге III труда Уильяма Оккама Summa Logicae. Там Оккам различает "материальные" и "формальные" следствия, которые примерно соответствуют современным материальной и логической импликации соответственно. Схожие взгляды высказывают Жан Буридан и Альберт Саксонский. Последними крупными работами в этой традиции являются "Логика" Иоанна Пойнсо (1589–1644, известного как Иоанн Святого Фомы), "Метафизические диспуты" Франсиско Суареса (1548–1617) и Logica Demonstrativa Джованни Джироламо Саккери (1667–1733).

Традиция учебника

Традиционная логика обычно понимается как учебниковая традиция, берущая начало в «Логике, или Искусстве мышления» Антуана Арнольда и Пьера Николя, более известной как «Логика Пор-Рояля». Опубликованная в 1662 году, она оставалась наиболее влиятельной работой по логике после Аристотеля вплоть до XIX века. Книга представляет собой вольную декартовскую доктрину (например, утверждение как сочетание идей, а не терминов) в рамках, в значительной степени заимствованных из аристотелевской и средневековой терминологической логики. С 1664 по 1700 год было издано восемь редакций, и впоследствии книга оказала значительное влияние. Дадли Феннер способствовал популяризации рамистской логики, которая была реакцией против аристотелевской. Другой влиятельной работой был «Novum Organum» Фрэнсиса Бэкона, опубликованный в 1620 году. Название переводится как «новый инструмент», что является отсылкой к работе Аристотеля, известной как «Органон». В этом труде Бэкон отвергает силогистический метод Аристотеля в пользу альтернативной процедуры, «которая посредством медленного и кропотливого труда собирает сведения о вещах и приводит их к пониманию». Этот метод известен как индуктивное рассуждение, начинающееся с эмпирических наблюдений и переходящее к частным аксиомам или положениям, из которых затем можно вывести более общие. Например, при поиске причины феномена, такого как тепло, следует составить три списка: Список присутствия: перечень всех ситуаций, в которых встречается тепло. Список отсутствия: перечень всех ситуаций, сходных хотя бы с одной из ситуаций в списке присутствия, за исключением отсутствия тепла. Список изменчивости: перечень всех ситуаций, в которых тепло может изменяться. Затем форма природы (или причина) тепла может быть определена как то, что общее для всех ситуаций в списке присутствия, отсутствует во всех ситуациях в списке отсутствия и изменяется по степени во всех ситуациях в списке изменчивости. К другим работам, относящимся к учебниковой традиции, относятся «Логика, или Правильное использование разума» Исаака Уоттса (1725), «Логика» Ричарда Уотли (1826) и «Система логики» Джона Стюарта Милля (1843). Хотя последняя работа стала одним из последних значительных трудов в этой традиции, взгляд Милля на то, что основания логики лежат в интроспекции, повлиял на представление о том, что логика лучше всего понимается как ветвь психологии – точка зрения, доминировавшая в течение следующих пятидесяти лет ее развития, особенно в Германии.

Логика и психология

Между трудами Милля и Фреге прошло полвека, в течение которого логика широко рассматривалась как описательная наука, эмпирическое исследование структуры рассуждений и, следовательно, по сути, как ветвь психологии. Немецкий психолог Вильгельм Вундт, например, рассуждал о том, как "выводить логическое из психологических законов мышления", подчеркивая, что "психологическое мышление всегда является более широкой формой мышления". Это мнение было распространено среди немецких философов того времени: Теодор Липпс описывал логику как "специфическую дисциплину психологии". Кристоф фон Зигварт понимал логическую необходимость как коренящуюся в принуждении индивида мыслить определенным образом. Бенно Эрдман утверждал, что "логические законы действуют лишь в пределах нашего мышления". Таким был доминирующий взгляд на логику в годы, последовавшие за работой Милля. Готлоб Фреге отверг этот психологический подход к логике. Он также подвергся продолжительной и разрушительной критике Эдмунда Гуссерля в первом томе его "Логических исследований" (1900) – нападению, которое назвали "подавляющим". Гуссерль убедительно доказывал, что обоснование логики на психологических наблюдениях подразумевает, что все логические истины остаются недоказанными, а скептицизм и релятивизм – неизбежные следствия. Эта критика не сразу искоренила так называемый "психологизм". Например, американский философ Джозиа Ройс, признавая силу критики Гуссерля, все же "не мог усомниться" в том, что прогресс в психологии будет сопровождаться прогрессом в логике, и наоборот.

Появление современной логики

Период между четырнадцатым веком и началом девятнадцатого века был в основном периодом упадка и пренебрежения, и историки логики обычно считают его бесплодным. Современная логика по существу является исчислением, правила операций которого определяются исключительно формой, а не значением используемых символов, как это происходит в математике. Многие логики были впечатлены "успехом" математики, заключающимся в отсутствии длительных споров относительно каких-либо подлинно математических результатов. К. С. Пирс отметил, что даже ошибка Лапласа при вычислении определенного интеграла, приведшая к ошибке в расчетах орбиты Луны, сохранявшейся почти 50 лет, была исправлена сразу после обнаружения без каких-либо серьезных разногласий. Пирс противопоставил это спорам и неопределенности, окружающим традиционную логику, и особенно рассуждения в метафизике. Он утверждал, что подлинно "точная" логика должна основываться на математическом, то есть "диаграмматическом" или "иконическом" мышлении. "Те, кто следует таким методам, избежат любой ошибки, кроме тех, которые будут быстро исправлены, как только возникнет подозрение". Современная логика также является "конструктивной", а не "абстрактивной"; то есть, вместо того чтобы абстрагировать и формализовать теоремы, выведенные из обыденного языка (или из психологических интуиций о валидности), она конструирует теоремы формальными методами, а затем ищет интерпретацию в обыденном языке. Она полностью символична, что означает, что даже логические константы (которые средневековые логики называли "синкатегорематами") и категорические термины выражаются символами.

Эмбриональный период

Идея о том, что выводы можно представить как чисто механический процесс, встречается уже в работах Раймонда Лулля, который предложил (в некоторой степени эксцентричный) метод получения заключений с помощью системы концентрических колец. Исследования логиков, таких как Оксфордские калькуляторы, привели к методу использования букв вместо словесного описания логических вычислений (calculationes), который, например, использовался в «Logica magna» Павла Венецианского. Спустя триста лет после Лулля английский философ и логик Томас Гоббс предположил, что вся логика и рассуждения могут быть сведены к математическим операциям сложения и вычитания. Та же идея встречается в трудах Лейбница, который читал как Лулля, так и Гоббса, и утверждал, что логику можно представить посредством комбинаторного процесса или исчисления. Однако, как и Лулль и Гоббс, он не смог разработать детальную или всеобъемлющую систему, и его работы на эту тему были опубликованы лишь спустя долгое время после его смерти. Лейбниц отмечает, что обыденные языки подвержены «бесчисленным двусмысленностям» и не пригодны для исчисления, задача которого – выявлять ошибки в выводах, возникающие из-за форм и структур слов. Поэтому он предложил определить алфавит человеческой мысли, состоящий из фундаментальных понятий, которые можно комбинировать для выражения сложных идей, и создать «calculus ratiocinator» – исчисление рассуждений, которое сделает все аргументы «такими же осязаемыми, как у математиков, чтобы мы могли сразу обнаружить ошибку, а в случае споров между людьми просто сказать: давайте вычислим». Жергонн (1816) утверждал, что рассуждения не обязательно должны касаться объектов, относительно которых у человека есть абсолютно ясные представления, поскольку алгебраические операции можно выполнять, не имея представления о значении вовлеченных символов. Болцано предвосхитил фундаментальную идею современной теории доказательств, определив логическое следствие или «выводимость» в терминах переменных: таким образом, я утверждаю, что предложения , , , выводятся из предложений , , , , относительно переменных частей , , , если каждый класс идей, подстановка которых вместо , , делает все из , , , истинными, также делает истинными все из , , . Иногда, в соответствии с принятой практикой, я буду говорить, что предложения , , , следуют, или могут быть выведены или получены из , , , . Предложения , , , я буду называть посылками, а , , , – заключениями. Это сейчас известно как семантическая валидность.

Алгебраический период

Современная логика начинается с того, что известно как "алгебраическая школа", возникшая у Буля и включающая Пирса, Джевонса, Шредера и Венна. Их целью было разработать исчисление для формализации рассуждений в области классов, пропозиций и вероятностей. Школа берет начало с основополагающей работы Буля "Математический анализ логики", опубликованной в 1847 году, хотя Де Морган (1847) является ее непосредственным предшественником. Фундаментальная идея системы Буля заключается в том, что алгебраические формулы могут быть использованы для выражения логических отношений. Эта идея пришла Булю в подростковом возрасте, когда он работал надзирателем в частной школе в Линкольне, Линкольншир. Например, пусть x и y обозначают классы, символ = означает, что классы имеют одинаковые элементы, xy обозначает класс, содержащий все и только элементы x и y, и так далее. Буль называет эти символы селективными, то есть символами, которые выделяют определенные объекты для рассмотрения. Выражение, в котором используются селективные символы, называется селективной функцией, а уравнение, члены которого являются селективными функциями, – селективным уравнением. Теория селективных функций и их "развитие" по сути является современной идеей функций истинности и их выражением в дизъюнктивной нормальной форме. Их легко различить в современной предикатной логике, где также можно показать, что первое следует из второго, но существенным недостатком является отсутствие возможности представить это в булевой системе. В своей работе "Символическая логика" (1881) Джон Венн использовал диаграммы перекрывающихся областей для выражения булевых отношений между классами или условий истинности пропозиций. В 1869 году Джевонс понял, что методы Буля можно механизировать, и построил "логическую машину", которую он продемонстрировал Королевскому обществу в следующем году. Шредер полезно использовал это, излагая теоремы в параллельных колонках в своих "Vorlesungen" (1890–1905). Пирс (1880) показал, что все булевы селективные функции могут быть выражены с помощью одной примитивной бинарной операции "ни то, ни другое" и, равнозначно, "не оба и", однако, как и многие инновации Пирса, это оставалось неизвестным или незамеченным до тех пор, пока Шеффер не открыл это вновь в 1913 году. В ранних работах Буля также отсутствует идея логической суммы, которая возникла у Пирса (1867), Шредера (1877) и Джевонса (1890), а также концепция включения, впервые предложенная Гергонном (1816) и четко сформулированная Пирсом (1870). Успех алгебраической системы Буля предполагал, что вся логика должна быть способна к алгебраическому представлению, и предпринимались попытки выразить логику отношений в такой форме, наиболее амбициозной из которых были монументальные "Vorlesungen über die Algebra der Logik" ("Лекции по алгебре логики", т. III 1895) Шредера, хотя первоначальная идея снова была предвосхищена Пирсом. Непоколебимое принятие Булем логики Аристотеля подчеркивается историком логики Джоном Коркораном в доступном введении к "Законам мысли". Коркоран также написал сопоставительный анализ "Первой аналитики" и "Законов мысли". По словам Коркорана, Буль полностью принял и одобрил логику Аристотеля. Цели Буля заключались в том, чтобы "пойти под, за и за пределы" логики Аристотеля, 1) предоставив ей математические основания, включающие уравнения, 2) расширив класс проблем, которые она могла решать – от оценки обоснованности до решения уравнений, и 3) расширив диапазон приложений, с которыми она могла справляться – например, от пропозиций, имеющих только два термина, до тех, которые имеют произвольно много. В частности, Буль соглашался с тем, что сказал Аристотель; "несогласия" Буля, если их можно так назвать, касаются того, что не сказал Аристотель. Во-первых, в области оснований Буль свел четыре пропозициональные формы аристотелевской логики к формулам в форме уравнений – само по себе революционная идея. Во-вторых, в области проблем логики, добавление Булем решения уравнений к логике – еще одна революционная идея – включало в себя доктрину Буля о том, что правила вывода Аристотеля ("совершенные силлогизмы") должны быть дополнены правилами решения уравнений. В-третьих, в области приложений система Буля могла обрабатывать многочленные пропозиции и аргументы, в то время как Аристотель мог обрабатывать только двухчленные субъект-предикатные пропозиции и аргументы. Например, система Аристотеля не могла вывести "Ни один четырехугольник, который является квадратом, не является прямоугольником, который является ромбом" из "Ни один квадрат, который является четырехугольником, не является ромбом, который является прямоугольником", или из "Ни один ромб, который является прямоугольником, не является квадратом, который является четырехугольником".

Мета-математический период

Имена Гёделя и Тарского доминируют в 1930-х годах, решающем периоде в развитии метаматематики – изучении математики с использованием математических методов для создания метатеорий, или математических теорий о других математических теориях. Ранние исследования в области метаматематики были обусловлены программой Гильберта. Работа по метаматематике достигла кульминации в работе Гёделя, который в 1929 году показал, что данное предложение первого порядка является выводимым тогда и только тогда, когда оно логически верно, то есть верно в каждой структуре для его языка. Это известно как теорема полноты Гёделя. Годом позже он доказал две важные теоремы, которые показали, что программа Гильберта недостижима в ее первоначальном виде. Первая заключается в том, что ни одна непротиворечивая система аксиом, теоремы которой могут быть перечислены эффективной процедурой, такой как алгоритм или компьютерная программа, не способна доказать все факты о натуральных числах. Для любой такой системы всегда будут утверждения о натуральных числах, которые верны, но которые недоказуемы в системе. Вторая заключается в том, что если такая система также способна доказать некоторые основные факты о натуральных числах, то система не может доказать непротиворечивость самой системы. Эти два результата известны как теоремы о неполноте Гёделя или просто теорема Гёделя. Позже в этом десятилетии Гёдель разработал концепцию теоретико-множественной конструктируемости как часть своего доказательства того, что аксиома выбора и гипотеза континуума согласуются с теорией множеств Цермело-Френкеля. В теории доказательств Герхард Гентцен разработал естественную дедукцию и исчисление секвенций. Первая из них пытается моделировать логическое рассуждение, как оно «естественным» образом возникает на практике, и наиболее легко применяется к интуиционистской логике, в то время как вторая была разработана для прояснения вывода логических доказательств в любой формальной системе. С момента работы Гентцена естественная дедукция и исчисления секвенций широко применяются в области теории доказательств, математической логики и информатики. Гентцен также доказал теоремы о нормализации и сокращении для интуиционистской и классической логики, которые можно использовать для приведения логических доказательств к нормальной форме. Альфред Тарски, ученик Лукашевича, наиболее известен своим определением истины и логического следования, а также семантической концепцией логического удовлетворения. В 1933 году он опубликовал (на польском языке) «Концепция истины в формализованных языках», в которой предложил свою семантическую теорию истины: предложение, такое как «снег белый», истинно тогда и только тогда, когда снег белый. Теория Тарски отделяла метаязык, который делает утверждение об истине, от языка объекта, который содержит предложение, истинность которого утверждается, и устанавливала соответствие (T-схему) между фразами в языке объекта и элементами интерпретации. Подход Тарски к сложной идее объяснения истины оказал устойчивое влияние на логику и философию, особенно в развитии теории моделей. Тарски также проделал важную работу по методологии дедуктивных систем и по фундаментальным принципам, таким как полнота, разрешимость, непротиворечивость и определимость. По словам Аниты Феферман, Тарски «изменил облик логики в двадцатом веке». Алонзо Черч и Алан Тьюринг предложили формальные модели вычислимости, предоставив независимые отрицательные решения проблеме решения Гильберта в 1936 и 1937 годах соответственно. Проблема решения Гильберта требовала процедуры, которая, учитывая любое формальное математическое утверждение, алгоритмически определяла бы, истинно ли это утверждение. Черч и Тьюринг доказали, что такой процедуры не существует; в статье Тьюринга была представлена проблема останова как ключевой пример математической проблемы, не имеющей алгоритмического решения. Система Черча для вычислений превратилась в современный λ-исчисление, в то время как машина Тьюринга стала стандартной моделью для вычислительного устройства общего назначения. Вскоре было показано, что многие другие предложенные модели вычислений были эквивалентны по мощности тем, которые были предложены Черчем и Тьюрингом. Эти результаты привели к тезису Черча-Тьюринга о том, что любой детерминированный алгоритм, который может быть выполнен человеком, может быть выполнен машиной Тьюринга. Черч доказал дополнительные результаты о неразрешимости, показав, что арифметика Пеано и логика первого порядка также неразрешимы. Более поздние работы Эмиля Поста и Стивена Коула Клини в 1940-х годах расширили область теории вычислимости и ввели понятие степеней неразрешимости. Результаты первых нескольких десятилетий двадцатого века также оказали влияние на аналитическую философию и философскую логику, особенно с 1950-х годов, в таких областях, как модальная логика, темпоральная логика, деонтическая логика и логика релевантности.

Логика после Второй мировой войны

После Второй мировой войны математическая логика разделилась на четыре взаимосвязанные, но отдельные области исследований: теория моделей, теория доказательств, теория вычислимости и теория множеств. В теории множеств метод принуждения произвел революцию в этой области, предоставив надежный метод для построения моделей и получения результатов независимости. Пол Коэн ввел этот метод в 1963 году, чтобы доказать независимость гипотезы континуума и аксиомы выбора от теории множеств Зермело — Фрэнкеля. Его метод, который был упрощен и расширен вскоре после введения, с тех пор применяется ко многим другим проблемам во всех областях математической логики. Теория вычислимости берет свои корни в работах Тьюринга, Черча, Клине и Поста в 1930-х и 40-х годах. Она развилась в изучение абстрактной вычислимости, которая стала известна как теория рекурсии. Метод приоритета, открытый независимо Альбертом Мучником и Ричардом Фридбергом в 1950-х годах, привел к значительному прогрессу в понимании степеней неразрешимости и связанных структур. Исследования теории вычислимости высшего порядка продемонстрировали ее связи с теорией множеств. Области конструктивного анализа и вычислительного анализа были разработаны для изучения эффективного содержания классических математических теорем; они, в свою очередь, вдохновили программу обратной математики. Отдельная ветвь теории вычислимости, теория вычислительной сложности, также была охарактеризована в логических терминах в результате исследований описательной сложности. Теория моделей применяет методы математической логики для изучения моделей конкретных математических теорий. Альфред Тарски опубликовал много новаторских работ в этой области, которая названа в честь серии статей, опубликованных им под названием «Вклад в теорию моделей». В 1960-х годах Абрахам Робинсон использовал методы теории моделей для разработки исчисления и анализа на основе бесконечно малых, проблему, впервые предложенную Лейбницем. В теории доказательств связь между классической и интуиционистской математикой была прояснена с помощью таких инструментов, как метод реализуемости, изобретенный Георгом Крейзелем, и диалектическая интерпретация Гёделя. Эта работа вдохновила современную область извлечения доказательств. Соответствие Карри — Ховарда возникло как глубокая аналогия между логикой и вычислениями, включая соответствие между системами естественной дедукции и типизированными лямбда-исчислениями, используемыми в информатике. В результате исследования этого класса формальных систем начали рассматривать как логические, так и вычислительные аспекты; эта область исследований стала известна как современная теория типов. Также были достигнуты успехи в ординальном анализе и изучении результатов независимости в арифметике, таких как теорема Париса — Харрингтона. Это был также период, особенно в 1950-х годах и позже, когда идеи математической логики начали влиять на философское мышление. Например, темпоральная логика — это формализованная система для представления и рассуждения о высказываниях, квалифицированных с точки зрения времени. Философ Артур Прайор сыграл значительную роль в ее развитии в 1960-х годах. Модальная логика расширяет сферу формальной логики, включая элементы модальности (например, возможность и необходимость). Идеи Саула Крипке, особенно о возможных мирах, и формальная система, теперь называемая семантикой Крипке, оказали глубокое влияние на аналитическую философию. Его наиболее известная и влиятельная работа — «Имена и необходимость» (1980). Деонтическая логика тесно связана с модальной логикой: она пытается уловить логические особенности обязательства, разрешения и связанных с ними концепций. Хотя некоторые основные новшества, синтезирующие математическую и философскую логику, были продемонстрированы Болцано в начале 1800-х годов, именно Эрнст Малли, ученик Алексия Майнонга, предложил первую формальную деонтическую систему в своем труде «Grundgesetze des Sollens», основанную на синтаксисе пропозиционального исчисления Уайтхеда и Рассела. Другой логической системой, основанной после Второй мировой войны, была нечеткая логика, разработанная азербайджанским математиком Лотфи Аскером Задехом в 1965 году.