Кіріспе
Логика тарихы – дұрыс қорытынды (логика) ғылымының дамуын зерттеумен айналысады. Формалды логика ежелгі Үндістанда, Қытайда және Грецияда қалыптасты. Грек әдістері, әсіресе Аристотельдік логика (немесе термин логикасы), Органон еңбегінде көрсетілгендей, мыңжылдықтар бойы Батыс ғылымы мен математикасында кеңінен қолданылып, қабылданды. Стоиктер, әсіресе Хрисипп, предикаттық логиканы дамытуды бастады. Боэций (524 ж. қайтыс болған), Ибн Сина (Авиценна, 1037 ж. қайтыс болған), Томас Аквинский (1274 ж. қайтыс болған) және Уильям Окхэмский (1347 ж. қайтыс болған) сияқты христиан және ислам философтары Орта ғасырларда Аристотельдің логикасын одан әрі жетілдірді, ал 14-шы ғасырдың ортасында Жан Буриданмен бірге ең жоғары деңгейге жетті. 14-шы ғасыр мен 19-шы ғасырдың басы аралығындағы кезең көбінесе құлдырау мен ұмытылумен сипатталды, тіпті бір логика тарихшысы бұл кезді өнімсіз деп санайды. Эмпирикалық әдістер басым болды, бұл сэр Фрэнсис Бэконның 1620 жылғы «Жаңа органон» еңбегінде айқын көрінеді. Логика 19-шы ғасырдың ортасында қайта жанданды, революциялық кезеңнің басында пән қатаң және формалды дисциплинаға айналды, математикада қолданылатын дәлелдеудің нақты әдісін үлгі етті, грек дәстүріне оралып келді. Осы кезеңде Буль, Фреге, Рассел және Пеано сияқты ғалымдардың еңбегі арқасында қазіргі заманғы «символикалық» немесе «математикалық» логика дамыды, бұл логиканың екі мың жылдық тарихындағы ең маңызды оқиға және адамзаттың интеллектуалдық тарихындағы ең маңызды және ерекше құбылыстардың бірі саналады. 20-шы ғасырдың алғашқы онжылдықтарында математикалық логикадағы прогресс, әсіресе Гёдель мен Тарскидің жұмыстарының нәтижесінде, аналитикалық философия мен философиялық логикаға, әсіресе 1950 жылдардан бастап, модальдық логика, уақыт логикасы, деонтикалық логика және релевантность логикасы сияқты салаларға елеулі әсер етті.
The history of logic deals with the study of the development of the science of valid inference (logic). Formal logics developed in ancient times in India, China, and Greece. Greek methods, particularly Aristotelian logic (or term logic) as found in the Organon, found wide application and acceptance in Western science and mathematics for millennia. The Stoics, especially Chrysippus, began the development of predicate logic. Christian and Islamic philosophers such as Boethius (died 524), Ibn Sina (Avicenna, died 1037), Thomas Aquinas (died 1274) and William of Ockham (died 1347) further developed Aristotle's logic in the Middle Ages, reaching a high point in the mid fourteenth century, with Jean Buridan. The period between the fourteenth century and the beginning of the nineteenth century saw largely decline and neglect, and at least one historian of logic regards this time as barren. Empirical methods ruled the day, as evidenced by Sir Francis Bacon's Novum Organon of 1620. Logic revived in the mid nineteenth century, at the beginning of a revolutionary period when the subject developed into a rigorous and formal discipline which took as its exemplar the exact method of proof used in mathematics, a hearkening back to the Greek tradition. The development of the modern "symbolic" or "mathematical" logic during this period by the likes of Boole, Frege, Russell, and Peano is the most significant in the two thousand year history of logic, and is arguably one of the most important and remarkable events in human intellectual history. Progress in mathematical logic in the first few decades of the twentieth century, particularly arising from the work of Gödel and Tarski, had a significant impact on analytic philosophy and philosophical logic, particularly from the 1950s onwards, in subjects such as modal logic, temporal logic, deontic logic, and relevance logic.
Шығу тегі
Ригведаның Насадия Суктасында (RV 10.129) әртүрлі логикалық бөлімдер тұрғысынан онтологиялық пайымдаулар кездеседі, олар кейіннен төрт категориялы катускоти ретінде формалданып жазылған: "А", "А емес", "А және 'А емес'" және "А емес және 'А емес' емес". Логика ежелгі Үндістанда тәуелсіз түрде басталып, грек логикасының кез келген әсерісіз жаңа заманға дейін дамыды.
Гаутамадан бұрын
Рационалды зерттеудің бір түрі – қоғамдық пікірталастың (паришад) Үндістандағы бастауы нақты белгісіз болғанымен, ежелгі Үндістанда мұндай пікірталастар жиі кездесетіні мәлім, себебі олар түрлі Упанишадтарда және ерте буддалық әдебиеттерде жиі еске алынады. Ежелгі Үндістанда қоғамдық пікірталас ғана емес, басқа да қоғамдық кеңестер болған. Әртүрлі сарапшылардан құралған кеңестер (pariṣad немесе sabhā) әкімшілік, құқықтық және діни сияқты түрлі мәселелерді талқылау үшін үнемі шақырылып тұрған.
Даттатрея
Бхагавата пуранасында Даттатрея есімді философ Айарка, Прахлада және басқаларға Анвиксикиді үйреткені айтылады. Маркандея пуранасынан оның баяндаған Анвиксики білімі йога философиясына сәйкес жанкездік туралы ғылыми зерттеуден құралғаны көрінеді. Даттатрея Анвиксикидің логикалық емес, философиялық жағын түсіндірді.
Медхатти Гаутама
Жоғарыда аталған ұстаздар Анвиксикидің кейбір нақты тақырыптарымен айналысқанмен, Анвиксикині ерекше ғылым ретінде қалыптастыру еңбегі Медхатти Гаутамаға (б.з.д. 6 ғасыр) тиесілі. Гаутама Анвиксики логикалық мектебін құрды. Махабхарата (12.173.45), шамамен б.з.д. 5 ғасыр, Анвиксики және Тарка логикалық мектептеріне сілтеме жасайды.
Панини
Панини (б.з.д. 5 ғасыр) санскрит грамматикасын жасау үшін логиканың бір түрін (бульдік логикамен кейбір ортақтықтары бар) дамытты. Чанакья (б.з.д. 350–283 жж.) логиканы өздерінің "Арташастра" еңбегінде тәуелсіз зерттеу саласы ретінде сипаттайды.
Ньяя-вайшешика
Индияның алты философиялық мектебінің екеуі логикамен айналысады: Ньяя және Вайшешика. Ақсапада Гаутаманың (шамамен б.з. 2-ғасыры) «Ньяя сутралары» индуистік философияның алты дәстүрлі мектебінің бірі – Ньяя мектебінің негізгі мәтіндерін құрайды. Бұл реалистік мектеп бастапқы тезис, себеп, мысал, қолданыс және қорытындыны қамтитын қатаң бес бөлімді логикалық схеманы жасады. Идеалистік буддалық философия Наяйяикалардың басты қарсыласы болды.
Нагарджуна
Нагарджуна (шамамен 150-250 жж.), Мадхьямаканың ("Орта жол") негізін қалаушы, "катушкоти" (санскрит) деп аталатын талдауды жасады, бұл – бір ұсыныстың (П) төрт мүмкін жағдайын жүйелі түрде тексеру және оларды жоққа шығаруға негіделген "төрт бұрышты" аргументация жүйесі: П; яғни, болу. П емес; яғни, болмау. П және П емес; яғни, болу және болмау. (П немесе П емес) емес; яғни, болмай да, болмай да. Ұсыныстық логика бойынша Де Морган заңдары осы жағдайдың үшінші жағдаймен (П және П емес) бірдей екенін көрсетеді, демек ол артық болып табылады, сондықтан тек 3 нақты жағдайды қарастыру жеткілікті.
P; that is, being. not P; that is, not being. P and not P; that is, being and not being. not (P or not P); that is, neither being nor not being. Under propositional logic, De Morgan's laws would imply that this case is equivalent to the third case (P and not P), and would be therefore superfluous, with only 3 actual cases to consider.
Дигнага
Дегенмен, Дигнага (шамамен 480–540 ж.б.) кейде формалды силогизмді дамытқан деп есептеледі, және буддалық логика оның және оның ізбасары Дхармакирти арқылы өркендеген; олардың талдауының шын мәнінде формалды силогистік жүйе құрайтыны күмәнді. Олардың талдауы, ең алдымен, "вяпти" деп аталатын, сондай-ақ өзгермейтін байланыс немесе таралу деп танылатын, тұжырымдамалық негіздемелік қатынастың анықтамасына бағытталған. Осы мақсатта "апоха" немесе ерекшелеу доктринасы құрылды. Бұл анықтамалық қасиеттерді қосу және жою процесін қамтиды. Дигнаганың танымал "ақыл доңғалағы" (Хетучакра) – бір нәрсенің (мысалы, түтіннің) екінші нәрсенің (мысалы, оттың) өзгермейтін белгісі ретінде қабылдануын көрсететін әдіс, бірақ тұжырым көбінесе индуктивті және бұрынғы байқауларға негізделген. Матилал Дигнаганың талдауы Джон Стюарт Миллдің Келісім және айырмашылықтың біріктірілген әдісіне ұқсас екенін атап көрсетеді, ол индуктивті болып табылады.
Қытайдағы логика
Қытайда Конфуцийдің замандасы Мози, "Мастер Мо" атымен танымал, Мохист мектебін құрған деп есептеледі. Оның канондары дұрыс ой-қорту және дұрыс қорытындылардың шарттарына қатысты мәселелерді қарастырды. Әсіресе, Мохизмнен туындаған мектептердің бірі – логиктер, кейбір ғалымдардың пікірінше, формальды логиканы алғаш зерттеушілердің қатарында болды. Бірақ, кейінгі Цинь династиясындағы заңгерлік саясаттың қаталдығына байланысты, бұл бағыттағы зерттеулер Қытайда тоқтатылып, буддистер арқылы үнді философиясы енгізілгенге дейін қайта жанданбады.
Логиканың алғы тарихы
Адамзат тарихының барлық кезеңдерінде дұрыс ойлау қолданылған. Дегенмен, логика дұрыс ойлау, қорытынды шығару және дәлелдеу принциптерін зерттейді. Қорытындыны дәлелдеу идеясы геометриямен байланысты туған болуы мүмкін, ал геометрия бастапқыда "жер өлшеу" дегенді білдірген. Ежелгі египеттіктер геометрияны, соның ішінде қиық пирамиданың көлемін табу формуласын ашқан. Ежелгі Вавилон да математика саласында шебер болған. Эсагиль Кин Аплидің б.з.д. 11 ғасырындағы медициналық диагностикалық нұсқаулығы аксиомалар мен болжамдардың логикалық жиынтығына негізделген, ал б.з.д. 8 және 7 ғасырлардағы вавилондық астрономдар өздерінің болжамдық планеталық жүйелерінде ішкі логиканы қолданды, бұл ғылым философиясына маңызды үлес болды.
Аристотельге дейінгі ежелгі Грекия
Ежелгі мысырлықтар геометрияның кейбір шындықтарын тәжірибелік жолмен ашқанмен, ежелгі гректердің үлкен жетістігі эмпирикалық әдістерді нақты дәлелдермен алмастыру болды. Сократқа дейінгі философтар Талес пен Пифагордың екеуі де геометриялық әдістерді білетін секілді көрінеді. Платон мен Аристотельдің еңбектерінде ерте дәлелдердің үзінділері сақталған, ал дедуктивті жүйе туралы идея, әдетте, Пифагор мектебінде және Платон академиясында белгілі болған. Классикалық грек қала-мемлекеттерінде пікірталасқа деген қызығушылықты риториктер мен софистердің қызметі де арттырды, олар заңдық және саяси контексттерде тезистерді қорғау немесе сынау үшін аргументтерді пайдаланды.
Талес
Грек дәстүріндегі ең алғашқы философ деп есептелетін Талес пирамидалардың биіктігін олардың көлеңкелері арқылы өлшеген, оның өзінің көлеңкесі оның бойымен бірдей болған сәтте. Талес, Пифагордың Пифагор теоремасын ашқандығын тойлау үшін құрбан шалғандай, Талес теоремасын ашқандығын тойлау үшін де құрбан шалған деген әңгіме бар. Талес геометрияға қатысты дедуктивті ой-өріс қолданған алғашқы адам, ол өзінің теоремасына төрт қорытынды шығарған және математикалық жаңалық ашқан алғашқы адам ретінде танылған. Үнді және Вавилон математиктері оның теоремасын одан бұрын, оның дәлелдемесінен бұрын, ерекше жағдайларда білген. Талес жарты шеңберге ішкі жазылған бұрыштың тік бұрыш болатынын Вавилонға саяхат еткен кезде білген деген болжам бар.
Пифагор
Б.з.д. 520 жылға дейін Пифагор Мысырға немесе Грекияға барған сапарының бірінде шамамен 54 жыл үлкен Талеспен кездескен болуы мүмкін. Дәлелдеуді жүйелі түрде зерттеу, б.з.д. VI ғасырдың соңында Пифагор мектебінде (яғни пифагорлықтарда) басталыпты.
Гераклит пен Парменид
Гераклиттің жазулары (б.з.д. 535 – 475 ж.ш.) ежелгі грек философиясында «логос» сөзіне ерекше назар аударған алғашқы орын болды. Гераклит барлық нәрсе өзгеріп тұрады, ал бәрі оттан тұрады және қарама-қарсылықтардың қақтығысынан пайда болады деп санады, олардың бәрі тек осы Логос арқылы біріктірілгендей. Ол түсініксіз айтылымдарымен танымал. Бұл Логос әрқашан бар, бірақ адамдар оны естігенге дейін де, алғаш естігеннен кейін де түсіне алмайды. Өйткені барлық нәрсе осы Логосқа сәйкес келеді, бірақ адамдар менің айтқан сөздерім мен істерімді тәжірибесіздер сияқты қабылдап, олардың әрқайсысын табиғатына қарай ажыратады және олардың мәнін анықтауға тырысады. Алайда, басқа адамдар ояу кезде не істегендерін байқамайды, тіпті ұйықтағанда не істегендерін де ұмытып жатады. Ол Пифагордың «бір» (сан) көпті тудырды деген пікірімен келіспеген, қарсылас болуы мүмкін. «X жоқ» деген жайт әрқашан жалған немесе мағынасыз болуы керек. Бар нәрсе, ешқандай жағдайда жоқ бола алмайды. Сезімдеріміздің ұрпақ пен жойылуды қабылдауы қатыгез қателік. Сезімдік қабылдаудың орнына Парменид шындыққа жетудің құралы ретінде Логосты қолдауға шақырды. Ол логиканы ашқан адам деп есептеледі.
In contrast to Heraclitus, Parmenides held that all is one and nothing changes. He may have been a dissident Pythagorean, disagreeing that One (a number) produced the many. "X is not" must always be false or meaningless. What exists can in no way not exist. Our sense perceptions with its noticing of generation and destruction are in grievous error. Instead of sense perception, Parmenides advocated logos as the means to Truth. He has been called the discoverer of logic,
For this view, that That Which Is Not exists, can never predominate. You must debar your thought from this way of search, nor let ordinary experience in its variety force you along this way, (namely, that of allowing) the eye, sightless as it is, and the ear, full of sound, and the tongue, to rule; but (you must) judge by means of the Reason (Logos) the much contested proof which is expounded by me.|B 7.1–8.2
Zeno of Elea, a pupil of Parmenides, had the idea of a standard argument pattern found in the method of proof known as reductio ad absurdum. This is the technique of drawing an obviously false (that is, "absurd") conclusion from an assumption, thus demonstrating that the assumption is false. Therefore, Zeno and his teacher are seen as the first to apply the art of logic. Plato's dialogue Parmenides portrays Zeno as claiming to have written a book defending the monism of Parmenides by demonstrating the absurd consequence of assuming that there is plurality. Zeno famously used this method to develop his paradoxes in his arguments against motion. Such dialectic reasoning later became popular. The members of this school were called "dialecticians" (from a Greek word meaning "to discuss").
Осы көзқарасқа сәйкес, «Бар емес нәрсе» ешқашан басым бола алмайды. Сіз ойларыңызды осы ізденіс жолынан аулақ ұстауыңыз керек, сондай-ақ әртүрлі тәжірибелер сізді осы жолмен (яғни, көзге, көру қабілеті жоқ болса да, құлаққа, дыбысқа толы болса да, тілге билік беруге рұқсат етуге) мәжбүрлемеуі керек, бірақ (сіз) Ақыл-ойыңызбен (Логос) мен баяндаған, көп дау тудырған дәлелді бағалауыңыз керек.
In contrast to Heraclitus, Parmenides held that all is one and nothing changes. He may have been a dissident Pythagorean, disagreeing that One (a number) produced the many. "X is not" must always be false or meaningless. What exists can in no way not exist. Our sense perceptions with its noticing of generation and destruction are in grievous error. Instead of sense perception, Parmenides advocated logos as the means to Truth. He has been called the discoverer of logic,
For this view, that That Which Is Not exists, can never predominate. You must debar your thought from this way of search, nor let ordinary experience in its variety force you along this way, (namely, that of allowing) the eye, sightless as it is, and the ear, full of sound, and the tongue, to rule; but (you must) judge by means of the Reason (Logos) the much contested proof which is expounded by me.|B 7.1–8.2
Zeno of Elea, a pupil of Parmenides, had the idea of a standard argument pattern found in the method of proof known as reductio ad absurdum. This is the technique of drawing an obviously false (that is, "absurd") conclusion from an assumption, thus demonstrating that the assumption is false. Therefore, Zeno and his teacher are seen as the first to apply the art of logic. Plato's dialogue Parmenides portrays Zeno as claiming to have written a book defending the monism of Parmenides by demonstrating the absurd consequence of assuming that there is plurality. Zeno famously used this method to develop his paradoxes in his arguments against motion. Such dialectic reasoning later became popular. The members of this school were called "dialecticians" (from a Greek word meaning "to discuss").
Элеялық Зенон, Парменидтің шәкірті, редукцио ад абсурдум деп аталатын дәлелдеу әдісінде қолданылатын стандартты аргумент үлгісін ойлап тапты. Бұл – қателікке әкеп соқтыратын (яғни, «абсурдты») қорытынды жасау арқылы, бастапқы болжамның жалған екенін көрсету әдісі. Сондықтан Зенон мен оның ұстазы логика өнерін алғаш қолданған деп саналады. Платонның «Парменид» диалогында Зенон көптіктің бар екенін қабылдаудың абсурдты салдарларын көрсету арқылы Парменидтің монизмін қорғап, кітап жазғанын айтады. Зенон осы әдісті қозғалысқа қарсы аргументтерінде парадокстарын дамыту үшін қолданды. Мұндай диалектикалық ойлау кейінірек танымал болды. Бұл мектептің мүшелері «диалектиктер» (грек тілінен аударғанда «талқылау») деп аталды.
In contrast to Heraclitus, Parmenides held that all is one and nothing changes. He may have been a dissident Pythagorean, disagreeing that One (a number) produced the many. "X is not" must always be false or meaningless. What exists can in no way not exist. Our sense perceptions with its noticing of generation and destruction are in grievous error. Instead of sense perception, Parmenides advocated logos as the means to Truth. He has been called the discoverer of logic,
For this view, that That Which Is Not exists, can never predominate. You must debar your thought from this way of search, nor let ordinary experience in its variety force you along this way, (namely, that of allowing) the eye, sightless as it is, and the ear, full of sound, and the tongue, to rule; but (you must) judge by means of the Reason (Logos) the much contested proof which is expounded by me.|B 7.1–8.2
Zeno of Elea, a pupil of Parmenides, had the idea of a standard argument pattern found in the method of proof known as reductio ad absurdum. This is the technique of drawing an obviously false (that is, "absurd") conclusion from an assumption, thus demonstrating that the assumption is false. Therefore, Zeno and his teacher are seen as the first to apply the art of logic. Plato's dialogue Parmenides portrays Zeno as claiming to have written a book defending the monism of Parmenides by demonstrating the absurd consequence of assuming that there is plurality. Zeno famously used this method to develop his paradoxes in his arguments against motion. Such dialectic reasoning later became popular. The members of this school were called "dialecticians" (from a Greek word meaning "to discuss").
Аристотель
Аристотельдің логикасы, әсіресе оның силогтық теориясы, Батыс ойлау жүйесіне зор әсер етті. Аристотель логикалық синтаксисті, атауды (немесе термин) және етістікті жүйелі түрде талдауға ұмтылған тұңғыш логик болды. Ол аргументтің жасырын логикалық түрін көрсету үшін айнымалыларды пайдалану арқылы ойлау принциптерін дәлелдеген алғашқы формалды логик болды. Ол қажетті логикалық қорытындыларды сипаттайтын тәуелділік қатынастарын іздеді және осы қатынастардың дұрыстығын, алғышарттардың шындығынан ажыратты. Ол қарама-қайшылық және ортақ емес принципін жүйелі түрде қарастырған алғашқы адам болды.
Таяу Шығыстағы логика
Әл-Кинди, әл-Фараби, Авиценна, әл-Газали, Аверроес және басқа да мұсылман логиктерінің еңбектері Аристотельдік логикаға негізделген және ежелгі әлемнің ойларын ортағасырлық Батысқа жеткізуде маңызды рөл атқарды. Әл-Фараби (Әл-Фараби) (873–950) – болашақ мүмкіндіктер, санаттардың саны мен арақатынасы, логика мен грамматика арасындағы байланыс, сондай-ақ Аристотельдік емес пікірлер туралы талқылаған Аристотельдік логик. Маймонид (1138–1204) «Логика туралы трактат» (арабша: Maqala Fi Sinat Al Mantiq) жазды, онда Әл-Фарабиді «екінші ұстаз» деп атады, ал біріншісі – Аристотель. Ибн Сина (Авиценна) (980–1037) – Авиценналық логиканың негізін қалаушы, ол ислам әлемінде Аристотельдік логиканы басым жүйе ретінде ығыстырды және Альбертус Магнус сияқты батыс ортағасырлық авторларына маңызды әсер етті. Авиценна гипотетикалық силлогизм туралы жазды. Ол уақытша логика мен модальді логиканы қамтитын, "уақыт бойынша модальды" силлогизмдік теорияны дамытты. Ол сондай-ақ ғылыми әдіс үшін маңызды келісім, айырмашылық және бір мезгілдегі өзгеріс әдістері сияқты индуктивті логиканы қолданды. Авиценнаның бір идеясы Уильям Окхэм сияқты батыс логиктеріне ерекше әсер етті: Авиценнаның мағына немесе түсінік (ma'na) деген сөзі схоластикалық логиктермен латын тіліндегі intentio деп аударылды; ортағасырлық логика мен эпистемологияда бұл – затты табиғи түрде бейнелейтін санадағы белгі. Бұл Оккэмнің концептуализмін дамыту үшін маңызды болды: әмбебап термин (мысалы, «адам») шындықта бар нәрсені білдірмейді, керісінше шындықта көптеген нәрсені бейнелейтін санадағы белгіні (intentio in intellectu) білдіреді. Оккэм осы көзқарасты қолдау үшін Авиценнаның «Метафизика V» туралы түсіндірмесін келтіреді. Fakhr al Din al Razi (1149 ж.т.) Аристотельдің «бірінші фигурасын» сынға алып, Джон Стюарт Милл (1806–1873) дамытқан индуктивті логика жүйесін алдын ала білдірген индуктивті логиканың алғашқы жүйесін жасады. Әл-Разидің еңбегі кейінгі ислам ғалымдары Ислам логикасының жаңа бағытын белгілейтін, Авиценнадан кейінгі логикаға қарай бағытталған деп қарастырды. Бұл оның шәкірті Афдаладин әл Хунайжи (1249 ж.қ.) арқылы одан әрі дамытылды, ол түсініктер мен келісімдер тақырыбына арналған логиканың бір түрін жасады. Осы дәстүрге жауап ретінде Насир әл-Дин әл-Түси (1201–1274) Авиценнаның еңбектеріне адал болған және кейінгі ғасырларда басым болған Авиценнадан кейінгі мектепке балама ретінде болған нео-Авиценналық логика дәстүрін бастады. Ибн әл-Нафис (1213–1288) Авиценналық логика туралы кітап жазды, ол Авиценнаның «Әл-Ишарат» (Белгілер) және «Әл-Хидайя» (Нұсқау) еңбектеріне түсіндірме болды. Ибн Таймия (1263–1328) «Ар Радд 'ала әл Мантиқийин» атты еңбегін жазды, онда ол силлогизмнің пайдалылығына қарсы, бірақ жарамдылығына қарсы емес, индуктивті ойлауды жақтады. Бұл аналогияның моделі Джон Ф. Сованың соңғы жұмыстарында қолданылды. Алайда, 14-19 ғасырлар аралығында логикаға қатысты «мыңдаған беттер» жазылды, бірақ осы кезеңде жазылған мәтіндердің тек бір бөлігі тарихшылар зерттеген, сондықтан бұл кезеңде жасалған ислам логикасы туралы бастапқы жұмыстар туралы аз мәлімет бар.
Ортағасырлық Еуропадағы логика
"Ортағасырлық логика" (сонымен қатар "Схоластикалық логика" деп те аталады) – шамамен 1200–1600 жылдар аралығында ортағасырлық Еуропада дамыған Аристотельдік логиканың түрін білдіреді. Он екінші ғасырға дейін Батыста Аристотельдің қолжетімді еңбектері "Категориялар", "Түсіндіру туралы" және Боэцийдің Порфирийдің "Исагогасы" аудармасы (Категорияларға түсініктеме) ғана болатын. Бұл еңбектер "Ескі логика" (Logica Vetus немесе Ars Vetus) деп аталды. Бұл дәстүрдегі маңызды еңбек – Пётр Абелярдың (1079–1142) "Логика ингредиентібусы". Оның тікелей ықпалы шағын болды, бірақ Джон Солсбери сияқты шәкірттері арқылы ықпалы зор болды, ал теологияға қатаң логикалық талдауды қолдану әдісі теологиялық сынның кейінгі дамуына әсер етті. Кез келген ұйғарымның қарама-қайшылықтан (оның жоққа шығаруын қоса алғанда) дәлелденетін заң, сонымен қатар Псевдо-Скоттың принципі, алғаш рет 12 ғасырдың француз логигі Уильям Сойссондықпен берілді. Он үшінші ғасырдың басында Аристотельдің "Органон" еңбектерінің қалған бөлігі, соның ішінде "Алдыңғы талдаулар", "Соңғы талдаулар" және "Софистикалық дәлелдер" (жинақталып "Жаңа логика" немесе Logica Nova деп аталды) Батысқа қайта оралды. Оған дейін логикалық жұмыстар көбінесе Аристотельдің еңбектеріне парафраз немесе түсініктеме түрінде болды. 13-шы ғасырдың ортасынан 14-шы ғасырдың ортасына дейінгі кезең логиканың маңызды дамуына толы болды, әсіресе үш сала бойынша, бұл салалар түпнұсқалық болды және бұрынғы Аристотельдік дәстүрге негізделмеді. Олар:
Болжау теориясы. Болжау теориясы предикаттардың (мысалы, 'адам') жеке тұлғалардың (мысалы, барлық адамдар) жиынымен қалай байланысатынын қарастырады. "Барлық адам жануар" деген ұғымда 'адам' термині қазіргі кездегі адамдарды ғана білдіре ме, әлде өткен және болашақ адамдарды да қамти ма? Бір термин өмірде жоқ жеке тұлғаны білдіре ала ма? Кейбір ортағасырлық ғалымдар бұл идеяның қазіргі заманғы бірінші реттік логиканың алғы күші екенін айтады. "Копулацио (атрибутивтік терминдердің белгілеу қабілеті), амплиацио (анықтамалық доменнің кеңеюі) және дистрибуцио теориясы батыс ортағасырлық логиканың ең түпнұсқалық жетістіктерінің бірі болып табылады". Синкатегорематтар теориясы. Синкатегорематтар – логика үшін қажетті терминдер, бірақ категориялық терминдерден айырмашылығы, олар өздерінен жеке мағына бермейді, бірақ басқа сөздермен бірге "мағына береді". Синкатегорематтардың мысалдары: 'және', 'жоқ', 'әрқашан', 'егер' және т.б. Салдар теориясы. Салдар – екі ұйғарымды 'егер, онда' терминдерімен байланыстыратын гипотетикалық, шартты ұйғарым. Мысалы, 'Егер адам жүгірсе, онда Құдай бар' (Si homo currit, Deus est). Салдардың толыққанды теориясы Уильям Окхэмнің "Summa Logicae" еңбегінің III кітабында берілген. Онда Окхэм 'материалдық' және 'формалдық' салдарларды ажыратады, олар қазіргі заманғы материалдық және логикалық импликацияға шамамен тең. Жан Буридан және Саксониялық Альберт та осыған ұқсас мәліметтер келтіреді. Бұл дәстүрдегі соңғы маңызды еңбектер – Джон Понзоның (1589–1644, Иоанн Сент-Томас ретінде белгілі) Логикасы, Франсиско Суарестің (1548–1617) метафизикалық даулары және Джованни Джироламо Сакеридің (1667–1733) "Logica Demonstrativa" еңбегі.
Оқулық дәстүрі
Дәстүрлі логика көбінесе Антуан Арнольд пен Пьер Никольдің «Логика, яки Ойлау өнері» еңбегінен, немесе Порт-Роял логикасы деп белгілі болған оқулық дәстүрін білдіреді. 1662 жылы жарық көрген бұл еңбек Аристотельден кейін 19 ғасырға дейін логика саласындағы ең ықпалды жұмыс болды. Кітап Аристотельдік және орта ғасырлық терминдік логикадан алынған кең шеңберде еркін картезиандық доктринаны (мысалы, пікір – термин емес, идеялардың бірігуі) ұсынады. 1664-1700 жылдары аралығында сегіз басылым жарық көрді және содан кейін кітаптың әсері зор болды. Дадли Феннер Аристотельге қарсы бағытталған реакция ретінде рамистік логиканы танымал етуге көмектесті. 1620 жылы жарық көрген Фрэнсис Бэконның «Жаңа ұйымдастыру» (Novum Organum) атты еңбегі де зор ықпалға ие болды. Атауы «жаңа құрал» деп аударылады. Бұл Аристотельдің «Органон» деп аталатын еңбегіне сілтеме жасайды. Бұл жұмысында Бэкон Аристотельдің силлогизмдік әдісін қабылдамай, «аса ұқыпты және адал еңбекпен заттардан ақпарат жинап, оны түсінуге жеткізетін» баламалы тәсілді қолдайды. Бұл тәсіл индуктивті ойлау деп аталады, ол эмпирикалық бақылаудан басталып, төменгі аксиомаларға немесе пікірлерге жетеді; осы төменгі аксиомалардан неғұрлым жалпы аксиомалар туындайды. Мысалы, жылу сияқты бір құбылыстың себебін анықтау үшін 3 тізім жасалуы керек: Қатысу тізімі: жылудың кездесетін барлық жағдайлардың тізімі. Жоқ тізімі: жылудың жоқтығынан басқа, қатысу тізіміндегі жағдайлардың кем дегенде біреуіне ұқсас барлық жағдайлардың тізімі. Өзгергіштік тізімі: жылудың өзгеруі мүмкін барлық жағдайлардың тізімі. Содан кейін, жылудың мәні (немесе себебі) қатысу тізіміндегі барлық жағдайларға ортақ, жоқ тізіміндегі жағдайларда болмайтын және өзгергіштік тізіміндегі жағдайларда дәрежесі бойынша өзгеретін нәрсе ретінде анықталады. Оқулық дәстүріндегі басқа еңбектерге Исаак Уоттстың «Логика: немесе Ақыл-оқты дұрыс пайдалану» (1725), Ричард Уэтелидің «Логика» (1826) және Джон Стюарт Миллдің «Логика жүйесі» (1843) кіреді. Соңғысы осы дәстүрдегі соңғы маңызды еңбектердің бірі болғанымен, Миллдің логиканың негізі өзіне қарау (интроспекция) да екендігі туралы пікірі логиканың психологияның бір саласы ретінде жақсырақ түсінілетініне ықпал етті, бұл көзқарас оның дамуының келесі 50 жылында, әсіресе Германияда басым болды.
The presence list: a list of every situation where heat is found. The absence list: a list of every situation that is similar to at least one of those of the presence list, except for the lack of heat. The variability list: a list of every situation where heat can vary. Then, the form nature (or cause) of heat may be defined as that which is common to every situation of the presence list, and which is lacking from every situation of the absence list, and which varies by degree in every situation of the variability list. Other works in the textbook tradition include Isaac Watts's Logick: Or, the Right Use of Reason (1725), Richard Whately's Logic (1826), and John Stuart Mill's A System of Logic (1843). Although the latter was one of the last great works in the tradition, Mill's view that the foundations of logic lie in introspection influenced the view that logic is best understood as a branch of psychology, a view which dominated the next fifty years of its development, especially in Germany.
Логика және психология
Милл мен Фреге еңбектері арасында жарты ғасыр өткен кезде логика кеңінен сипаттамалық ғылым ретінде қарастырылды, ойлау құрылымын эмпирикалық тұрғыдан зерттеу, демек, психологияның бір саласы ретінде қарастырылды. Мысалы, неміс психологы Вильгельм Вундт «психологиялық ойлау заңдарынан логикалық принциптерді тудыруды» талқылап, «психологиялық ойлау – ойлаудың әрқашан толыққанды түрі» екенін атап көрсетті. Бұл көзқарас сол кезеңдегі неміс философтары арасында кең тараған: Теодор Липпс логиканы «психологияның нақты бір саласы» деп сипаттады. Кристоф фон Зигварт логикалық қажеттілікті жеке адамның белгілі бір тәсілмен ойлауға ұмтылуымен байланыстырды. Бенно Эрдман «логикалық заңдар тек біздің ойлау шегінде ғана қолданылады» деп сақтық танытты. Миллдің еңбегінен кейінгі жылдарда логикаға осылай қарастырылды. Готтлоб Фреге логикаға психологиялық көзқарасқа қарсы шықты. Бұл көзқарас Эдмунд Гуссерлдің «Логикалық зерттеулер» (1900) атты еңбегінің бірінші томында «күшті» деп сипатталған сынап тартуға түсті. Гуссерл психологиялық бақылауларға логиканы негіздеудің барлық логикалық шындықтарды дәлелсіз қалдыратынын, ал скептицизм мен релятивизмнің қажетті салдар екенін қатысты түрде дәлелдеді. Мұндай сын «психологизм» деп аталатын көзқарасты бірден жойған жоқ. Мысалы, американдық философ Джозиа Ройс Гуссерлдің сынының күшін мойындағанмен, психологиядағы прогресс логикадағы прогресске сүйеніп, керісінше болатынына «күмәнданбады».
Theodor Lipps described logic as "a specific discipline of psychology". Christoph von Sigwart understood logical necessity as grounded in the individual's compulsion to think in a certain way. Benno Erdmann argued that "logical laws only hold within the limits of our thinking". Such was the dominant view of logic in the years following Mill's work. This psychological approach to logic was rejected by Gottlob Frege. It was also subjected to an extended and destructive critique by Edmund Husserl in the first volume of his Logical Investigations (1900), an assault which has been described as "overwhelming". Husserl argued forcefully that grounding logic in psychological observations implied that all logical truths remained unproven, and that skepticism and relativism were unavoidable consequences. Such criticisms did not immediately extirpate what is called "psychologism". For example, the American philosopher Josiah Royce, while acknowledging the force of Husserl's critique, remained "unable to doubt" that progress in psychology would be accompanied by progress in logic, and vice versa.
Қазіргі заманғы логиканың пайда болуы
Он төртінші ғасыр мен он тоғызыншы ғасырдың басы арасындағы кезең көбінесе құлдырау мен ескерусіздік кезеңі болды және логика тарихшылары оны жалпы алғанда өнімсіз деп санайды. Қазіргі заманғы логика – негізінен математикалық есептеу, оның жұмыс істеу қағидалары тек нысанымен анықталады, мағынасымен емес, дәл математикадағыдай. Көптеген логиктер математиканың "сәттілігіне" таң қалды, себебі нағыз математикалық нәтижеге қатысты ұзаққа созылған даулар болған емес. С.С. Пирс Лапластың нақты интегралды есептеудегі қателігінің Ай орбитасына қатысты шамамен 50 жылға созылған қателікке әкелгенін, бірақ қателік анықталғаннан кейін күрделі даусыз түзетілгенін атап өтті. Пирс мұны дәстүрлі логиканың айналасындағы дау-дамай мен белгісіздікке, әсіресе метафизикадағы ойлауға қарсы қойды. Ол нағыз "дәл" логика математикалық, яғни "сызбалық" немесе "бейнелік" ойлауға негізделеді деп мәлімдеді. "Осындай әдістерді қолданушылар қателіктерден құтылуы мүмкін, бірақ күдік туғаннан кейін оларды жылдам түзетуге болады". Қазіргі заманғы логика сондай-ақ "абстракциялық" емес, "құрастырушылық" болып табылады; яғни, қарапайым тілден (немесе жарамдылық туралы психологиялық сезімдерден) алынған теоремаларды абстракциялау мен формализациялаудың орнына, теоремаларды формалды әдістермен құрастырып, содан кейін қарапайым тілде түсіндіру іздейді. Ол толығымен символдық, яғни тіпті логикалық тұрақтылар (орта ғасырлық логиктер оларды "синкатегорематалар" деп атаған) және категориялық терминдер де символдармен беріледі.
Эмбриональды кезең
Шешімді таза механикалық процесспен көрсетуге болатын идея алғашқыда Реймонд Лулл еңбектерінде кездеседі, ол концентрлі сақиналар жүйесі арқылы қорытынды жасауға арналған (сәл эксцентрикалық) әдіс ұсынған. Оксфорд калькуляторлары сияқты логиктердің жұмысы логикалық есептеулерді (calculationes) сөздермен жазудың орнына әріптерді пайдалану әдісіне әкелді, мысалы, Пауль Венециялықтың Logica magna еңбегінде қолданылған. Луллдан үш жүз жыл өткен соң, ағылшын философы және логигі Томас Гоббс барлық логика мен ойлауды қосу және алудың математикалық амалдарына дейін тоғытуға болатынын айтты. Осы идея Лейбництің еңбектерінде де кездеседі, ол Лулл мен Гоббсты оқыған және логиканы комбинаторлық процесс немесе есептеу арқылы көрсетуге болатынын мәлімдеген. Бірақ Лулл мен Гоббс сияқты ол да толыққанды жүйе құра алмады, сондықтан оның осы тақырыптағы еңбегі оның өлімінен көп уақыт өткен соң ғана жарияланды. Лейбниц, қарапайым тілдер «сансыз түсініксіздіктерге» ұшырайды және есептеу үшін жарамсыз дейді, оның міндеті – сөздердің формалары мен құрылымынан туындайтын қорытындыдағы қателерді анықтау; сондықтан ол күрделі идеяларды білдіруге болатын негізгі ұғымдардан тұратын адам ойының әліпбиін анықтауды ұсынды, сондай-ақ барлық дәлелдерді «математиктердің дәлелдері сияқты айқын ететін рациоцинатор есептеуін жасауды ұсынды, осылайша біз қатемізді бірден таба аламыз, ал адамдар арасында дау туындағанда, біз жай ғана айта аламыз: есептейік». Гергон (1816) ойлаудың толыққанды түсінігі бар нысаналар туралы болуы міндетті емес екенін айтты, себебі алгебралық амалдарды символдардың мағынасын түсінбестен де орындауға болады. Болцано қазіргі дәлелдеме теориясының негізгі идеясын болжады, ол логикалық салдасты немесе «шығару мүмкіндігін» айнымалылар арқылы анықтады: Сондықтан мен , , , сөйлемдері , , , , айнымалы бөліктеріне қатысты , , , сөйлемдерінен шығарылады деймін, егер , , үшін қойылған идеялардың кез келген класы , , , , шындыққа айналдырса, сонымен қатар , , , да шындыққа айналады. Бұл семантикалық жарамдылық деп аталады.
Алгебралық кезең
Қазіргі заманғы логиканы "алгебралық мектеп" деп атайды, оның бастауы Бульден басталып, Пирс, Жевсон, Шрёдер және Венді қамтиды. Олардың мақсаты – сыныптар, ұйғарымдар және ықтималдықтар саласындағы ойлауды формалдау үшін есептеу құралын жасау болды. Бұл мектеп 1847 жылы жарық көрген Бульдің "Логиканың математикалық талдауы" атты маңызды еңбегімен басталады, бірақ Де Морган (1847) оның тікелей алғысы болып табылады. Буль жүйесінің негізгі идеясы – алгебралық формулаларды логикалық қатынастарды білдіру үшін пайдалануға болады. Бұл ой Бульге Линкольнширдегі Линкольн қаласындағы жеке мектепте күзетші болып жұмыс істеген кезінде келді. Мысалы, x және y кластарды білдірсін, = символы кластардың мүшелері бірдей екенін көрсетеді, ал xy – x және y кластарының барлық және жалғыз мүшелерін қамтитын класты білдіреді, және т.б. Буль осы символдарды таңдаулы символдар деп атайды, яғни нақты объектілерді таңдап алуға мүмкіндік беретін символдар. Таңдаулы символдар қолданылатын өрнек – таңдамалы функция, ал мүшелері таңдамалы функциялар болатын теңдеу – таңдамалы теңдеу. Таңдамалы функциялардың теориясы және олардың "дамуы" – қазіргі заманғы шындық функцияларының идеясы және оларды дизъюнктивті қалыпты түрде көрсету. Бұларды заманауи предикаттық логикада оңай ажыратуға болады, онда біріншісі екіншісінен туындайтынын көрсетуге де болады, бірақ Буль жүйесінде мұны бейнелеудің жолы жоқ. Джон Вен өзінің "Символикалық логика" (1881) еңбегінде кластар арасындағы Бульдік қатынастарды немесе ұйғарымдардың шындық жағдайларын көрсету үшін үстіне жапсырылған аудандардың диаграммаларын пайдаланды. 1869 жылы Жевсон Бульдің әдістерін механикаландыруға болатынын түсінді және келесі жылы Корольдік қоғамға көрсеткен "логикалық машинаны" жасады. Шрёдер бұл әдісті өзінің "Vorlesungen" (1890–1905) еңбегінде теоремаларды параллель бағандарда баяндағанда тиімді пайдаланды. Пирс (1880) барлық Бульдік таңдамалы функцияларды бір ғана бастапқы екілік операцияны қолдану арқылы қалай көрсетуге болатынын көрсетті, яғни "не...не" және "екеуі де емес" операцияларын, бірақ Пирстің көптеген жаңалықтары сияқты, бұл 1913 жылы Шеффер оны қайта ашқанға дейін белгісіз немесе назардан тыс қалды. Бульдің ертедегі еңбектерінде Пирс (1867), Шрёдер (1877) және Жевсон (1890) бастаған логикалық қосынды идеясы және алғаш рет Гергон (1816) ұсынған және Пирс (1870) анық түсіндірген кіріктіру тұжырымдамасы жоқ. Бульдің алгебралық жүйесінің табысы барлық логика алгебралық түрде бейнеленуге қабілетті болуы керек дегенді білдірді, сондықтан қатынастардың логикасын осындай формада көрсетуге талпыныстар жасалды, олардың ең амбициялысы – Шрёдердің монументалды "Логика алгебрасы туралы дәрістер" ("Vorlesungen über die Algebra der Logik", III том, 1895) еңбегі, бірақ бастапқы идеяны Пирс бұрыннан болжаған. Логика тарихшысы Джон Коркоран Бульдің Аристотельдің логикасын толық қабылдағанын "Ойлау заңдары" кітабына жазған кіріспесінде баса айтқан. Коркоран сонымен қатар "Алғы аналитика" мен "Ойлау заңдары" арасындағы нақты салыстыруды жасады. Коркоранның сөзіне қарағанда, Буль Аристотельдің логикасын толық қабылдап, қолдаған. Бульдің мақсаты Аристотельдің логикасын 1) теңдеулерді қамтитын математикалық негіздермен қамтамасыз ету, 2) оның шеше алатын мәселелер класын кеңейту – жарамдылықты бағалаудан бастап теңдеулерді шешуге дейін, және 3) қолдану ауқымын кеңейту – мысалы, тек екі терминге ие ұйғарымдардан кез келген саны бар ұйғарымдарға дейін – арқылы "төменге, үстіне және одан да асып кету" болды. Атап айтқанда, Буль Аристотельдің айтқандарымен келісті; Бульдің "келіспеушіліктері", егер оларды осылай атауға болады болса, Аристотельдің айтпағандарына қатысты. Біріншіден, негіздер саласында Буль Аристотельдік логиканың төрт ұйғарымдық түрін теңдеулер түріндегі формулаларға дейін қысқартты. Екіншіден, логика мәселелері саласында Бульдің логикаға теңдеулерді шешуді қосуы – тағы бір революциялық идея – Бульдің Аристотельдің тұжырымдар ережесін ("жетілген силогизмдер") теңдеулерді шешу ережесімен толықтыру керек деген доктринасын қамтыды. Үшіншіден, қолдану саласында Буль жүйесі көп терминге ие ұйғарымдар мен аргументтерді шеше алды, ал Аристотель тек екі терминге ие субъект-предикаттық ұйғарымдар мен аргументтерді ғана қарастыра алды. Мысалы, Аристотельдің жүйесі "Егер төртбұрыш квадрат болса, онда ромб болатын тіктөртбұрыш болмайды" деген қорытындыны "Егер квадрат төртбұрыш болса, онда ромб болатын тіктөртбұрыш болмайды" немесе "Егер ромб тіктөртбұрыш болса, онда квадрат болатын төртбұрыш болмайды" дегеннен шығара алмады.
Метамат. кезең
1930 жылдары Гёдель мен Тарскидің есімдері басым болды, бұл метаматематиканың дамуындағы маңызды кезең – математиканы математикалық әдістерді қолдану арқылы зерттеу, метатеорияларды немесе басқа математикалық теориялар туралы математикалық теорияларды жасау. Метаматематиканың алғашқы зерттеулерін Гилберт бағдарламасы жүргізді. Метаматематика бойынша жұмыс 1929 жылы Гёдельдің жұмысында аяқталды, ол берілген бірінші реттік сөйлем логикалық түрде дұрыс болса және тек қана егер ол логикалық түрде дұрыс болса ғана шығарылатындығын көрсетті. Бұл Гёдельдің толықтығы туралы теоремасы деп аталады. Бір жылдан кейін ол екі маңызды теореманы дәлелдеді, бұл Гильберт бағдарламасының бастапқы түрінде қол жеткізбейтінін көрсетті. Біріншісі – теоремалары алгоритм немесе компьютерлік бағдарлама сияқты тиімді процедура арқылы тізімделетін аксиомалардың ешбір жүйесі табиғи сандар туралы барлық фактілерді дәлелдеуге қабілетті емес. Кез келген осындай жүйеде әрқашан табиғи сандар туралы дұрыс, бірақ жүйеде дәлелденбейтін мәлімдемелер болады. Екіншісі, егер мұндай жүйе табиғи сандар туралы белгілі бір негізгі фактілерді дәлелдеуге қабілетті болса, онда жүйе жүйенің өзінің тұрақтылығын дәлелдей алмайды. Бұл екі нәтиже Гёдельдің толық емес теоремалары немесе жай ғана Гёдель теоремасы деп аталады. Онжылдықтың соңында Гёдель таңдау аксиомасы мен континуум гипотезасының Зермело-Франкель жинақ теориясына сәйкес келетінін дәлелдеудің бір бөлігі ретінде жинақ теориялық құрастырылуы туралы түсінікті дамытты. Дәлел теориясында Герхард Гентцен табиғи дедукцияны және содан кейінгі калькульді жасады. Біріншісі логикалық ойлауды практикада «табиғи» кездесетін және интуиционисттік логикаға ең оңай қолданылатын модельдеуге тырысады, ал екіншісі кез-келген формальды жүйеде логикалық дәлелдемелерді шығаруды түсіндіру үшін жасалды. Гентценнің еңбегінен бастап табиғи дедукция және соңынан келетін калькульдер дәлел теориясы, математикалық логика және компьютерлік ғылым саласында кеңінен қолданылды. Гентцен логикалық дәлелдемелерді қалыпты формаға дейін азайту үшін қолданылатын интуиционисттік және классикалық логиканың нормализация және кесуді жою теоремаларын да дәлелдеді. Альфред Тарски, Лукасевичтің шәкірті, шындық пен логикалық салдары туралы түсінігі және логикалық қанағаттандырудың семантикалық тұжырымдамасымен танымал. 1933 жылы ол (поляк тілінде) «Ақиқаттың ресми тілдердегі тұжырымдамасы» атты еңбегін жариялады, онда ол шындықтың семантикалық теориясын ұсынды: «қар ақ» сияқты сөйлем ақ болса ғана дұрыс болады. Тарскидің теориясы шындық туралы мәлімдеме жасайтын метатілді, шындықты мәлімдейтін сөйлемді қамтитын объектілік тілден бөліп, объектілік тілдегі сөз тіркестері мен түсіндірменің элементтері арасындағы сәйкестікті (T схемасы) берді. Тарскидің шындықты түсіндірудің қиын идеясына деген көзқарасы логика мен философияға, әсіресе модель теориясының дамуына тұрақты әсер етті. Тарски дедуктивті жүйелердің әдіснамасы және толықтығы, шешілуі, дәйектілігі және анықталуы сияқты негізгі қағидалар бойынша маңызды жұмыстар жасады. Анита Феферманның айтуынша, Тарски «жиырмасыншы ғасырда логиканың бет-бейнесін өзгертті». Алонзо Черч пен Алан Тьюринг 1936 және 1937 жылдары сәйкесінше Гилберттің Entscheidungsproblem проблемасына тәуелсіз теріс шешімдер берген есептеудің ресми модельдерін ұсынды. Entscheidungsproblem кез келген формальды математикалық мәлімдеме берілген жағдайда, мәлімдеменің дұрыс екенін алгоритмдік түрде анықтайтын процедураны сұрады. Черч пен Тьюринг мұндай процедураның жоқ екенін дәлелдеді; Тьюрингтің қағазында алгоритмдік шешімсіз математикалық мәселенің негізгі мысалы ретінде тоқтату мәселесі енгізілді. Черчтің есептеу жүйесі қазіргі λ-саны болып қалыптасты, ал Тьюринг машинасы жалпы мақсаттағы есептеу құрылғысының стандартты моделіне айналды. Көп ұзамай көптеген басқа да ұсынылған есептеу модельдерінің Черч және Тьюринг ұсынғандарға құн жағынан тең екендігі көрсетілді. Бұл нәтижелер Черч-Тьюринг тезисіне әкелді, яғни адам орындай алатын кез келген детерминистік алгоритмді Тьюринг машинасы орындай алады. Черч қосымша шешілмеушілік нәтижелерін дәлелдеді, бұл Пеано арифметикалық және бірінші реттік логиканың да шешілмейтінін көрсетеді. 1940 жылдары Эмиль Пост пен Стивен Коул Клиннің кейінгі еңбектері есептеу теориясының аясын кеңейтіп, шешілмеу дәрежесі туралы түсінікті енгізді. Жиырмасыншы ғасырдың алғашқы онжылдықтарының нәтижелері аналитикалық философия мен философиялық логикаға да әсер етті, әсіресе 1950 жылдардан бастап модальдық логика, уақыттық логика, деонтикалық логика және маңыздылық логикасы сияқты пәндерде.
Екінші дүниежүзілік соғыстан кейінгі логика
Екінші дүниежүзілік соғыстан кейін математикалық логика өзара байланысты, бірақ жеке зерттеу салаларына бөлінді: модельдер теориясы, дәлелдеу теориясы, есептеу теориясы және жиынтықтар теориясы. Жиынтықтар теориясында мәжбүрлеу әдісі модельдерді құру және тәуелсіздік нәтижелерін алу үшін берік әдіс ұсыну арқылы осы салада революция жасады. Пауль Коэн бұл әдісті 1963 жылы континуум гипотезасының және таңдау аксиомасының Зермело-Фрэнкель жиынтықтар теориясынан тәуелсіздігін дәлелдеу үшін енгізді. Оның техникасы, енгізілгеннен кейін көп ұзамай жеңілдетіліп және кеңейтілді, содан бері математикалық логиканың барлық салаларындағы көптеген басқа да мәселелерге қолданылды. Есептеу теориясының тамыры 1930-40 жылдардағы Тьюринг, Черч, Клини және Посттың еңбектерінде жатыр. Ол абстрактілі есептеуді зерттеуге айналды, ол рекурсия теориясы деп аталды. Алғашқы әдісті Альберт Мучник пен Ричард Фридберг 1950 жылдары тәуелсіз түрде ашты, бұл шешілмейтін мәселелердің дәрежесін және оған байланысты құрылымдарды түсінуде маңызды жетістіктерге әкелді. Жоғары дәрежелі есептеу теориясын зерттеу жиынтықтар теориясымен байланысын көрсетті. Конструктивті талдау және есептеулі талдау классикалық математикалық теоремалардың тиімді мазмұнын зерттеу үшін жасалды, бұл кері математика бағдарламасын дамытуға әкелді. Есептеу теориясының жеке саласы – есептеу күрделілігі теориясы, сипаттамалық күрделілік зерттеулерінің нәтижесінде логикалық тұрғыда сипатталды. Модельдер теориясы математикалық логиканың әдістерін нақты математикалық теориялардың модельдерін зерттеуге қолданады. Альфред Тарски осы салада көптеген маңызды жұмыстар жариялады, ол модельдер теориясына үлес қосу туралы мақалалар сериясынан кейін аталды. 1960 жылдары Абрахам Робинсон модельдік теориялық әдістерді қолданып, шексіз кішкентай сандарға негізделген есептеу және талдауды жасады, бұл мәселені алғаш рет Лейбниц қойған болатын. Дәлелдеу теориясында классикалық математика мен интуиционистік математика арасындағы қатынас Георг Крейзель және Гёдельдің диалектикалық интерпретациясы ойлап тапқан іске асыру әдісі сияқты құралдар арқылы нақтыланды. Бұл жұмыс қазіргі заманғы дәлелдерді табу саласын дамытуға ықпал етті. Curry-Howard сәйкестігі логика мен есептеудің арасындағы терең аналогия ретінде пайда болды, соның ішінде компьютерлік ғылымда қолданылатын табиғи дедукция жүйелері мен типтелген лямбда-есептеулер арасындағы сәйкестік. Нәтижесінде, осы формальды жүйелер класына қатысты зерттеулер логикалық және есептеулік аспектілерді қарастыра бастады, бұл зерттеу саласы қазіргі заманғы типтер теориясы ретінде белгілі болды. Ординалдық талдау және арифметикадағы тәуелсіздік нәтижелерін зерттеу, мысалы, Paris-Harrington теоремасы саласында да жетістіктерге қол жеткізілді. Бұл кезең, әсіресе 1950 жылдары және одан кейін, математикалық логиканың идеялары философиялық ойлауға әсер ете бастаған кез болды. Мысалы, уақыт логикасы – уақытқа қатысты белгіленген ұсыныстарды бейнелеу және олар туралы ойлау үшін формальданған жүйе. Философ Артур Приор оның дамуында маңызды рөл атқарды. Модальдық логика формальды логиканың ауқымын модальдық элементтерді (мысалы, мүмкіндік және қажеттілік) қамту үшін кеңейтеді. Саул Крипке идеялары, әсіресе мүмкін әлемдер туралы, және қазір Крипке семантикасы деп аталатын формальды жүйе аналитикалық философияға терең әсер етті. Оның ең танымал және ықпалды жұмысы – «Атау және қажеттілік» (1980). Деонтикалық логика модальдық логикамен тығыз байланысты: олар міндеттілік, рұқсат және байланысты ұғымдардың логикалық ерекшеліктерін ұстауға тырысады. Математикалық және философиялық логиканы біріктіретін кейбір негізгі жаңалықтарды Болцано 1800 жылдардың басында көрсеткенімен, Алексиус Майнонгтың шәкірті Эрнст Малли өзінің «Грунггезе дес Соллен» еңбегінде алғашқы формальды деонтикалық жүйені ұсынды. Екінші дүниежүзілік соғыстан кейін құрылған тағы бір логикалық жүйе – 1965 жылы әзербайжандық математик Лотфи Аскер Задехтің жасаған бұлыңғыр логикасы.