Введение

Условия, при которых хаотическая система может быть реконструирована посредством наблюдений

В изучении динамических систем теорема о запаздывающем вложении дает условия, при которых хаотическая динамическая система может быть реконструирована из последовательности наблюдений состояния этой системы. Реконструкция сохраняет свойства динамической системы, которые не изменяются при гладких преобразованиях координат (т.е. диффеоморфизмах), но не сохраняет геометрическую форму структур в фазовом пространстве. Теорема Такенса – это теорема о запаздывающем вложении 1981 года, сформулированная Флорисом Такенсом. Она предоставляет условия, при которых гладкий аттрактор может быть реконструирован на основе наблюдений, выполненных с использованием общей функции. Последующие результаты заменили гладкий аттрактор на множество с произвольной размерностью счетного покрытия и класс общих функций на другие классы функций. Это наиболее часто используемый метод реконструкции аттрактора. Теоремы о запаздывающем вложении проще сформулировать для дискретных динамических систем. Пространство состояний динамической системы представляет собой ν-мерное многообразие M. Динамика задается гладким отображением

Предположим, что динамика f имеет странный аттрактор с размерностью счетного покрытия. Используя идеи из теоремы о вложении Уитни, A может быть вложено в k-мерное евклидово пространство, где

То есть, существует диффеоморфизм φ, отображающий A в , такой что производная φ имеет полный ранг. Теорема о запаздывающем вложении использует функцию наблюдения для построения функции вложения. Функция наблюдения должна быть дважды дифференцируемой и сопоставлять действительное число любой точке аттрактора A. Она также должна быть типичной, поэтому ее производная имеет полный ранг и не имеет специальных симметрий в своих компонентах. Теорема о запаздывающем вложении утверждает, что функция

является вложением странного аттрактора A в .

Выбор отсрочки

Теорема Такенса обычно используется для реконструкции странных аттракторов на основе экспериментальных данных, содержащих шум. В связи с этим, выбор времени задержки приобретает важное значение. Если для данных без шума любой выбор задержки допустим, то для зашумленных данных неправильно выбранная задержка может привести к разрушению аттрактора шумом. Оптимальное значение задержки обычно составляет от одной десятой до половины среднего орбитального периода вокруг аттрактора.