Введение

Свойства некоторых математических функций
В математике субаддитивность — это свойство функции, заключающееся в том, что значение функции, вычисленное для суммы двух элементов из области определения, всегда меньше или равно сумме значений функции, вычисленных для каждого элемента по отдельности. Существует множество примеров субаддитивных функций в различных областях математики, в частности, норм и квадратных корней. Аддитивные отображения являются частными случаями субаддитивных функций.

Функции

Если f — субаддитивная функция и 0 принадлежит её области определения, то f(0) ≥ 0. Это следует из исходного неравенства. Следовательно, вогнутая функция с также является субаддитивной. Чтобы это увидеть, сначала заметим, что затем, рассмотрев сумму этой оценки для и , мы окончательно убедимся, что f является субаддитивной. Отрицание субаддитивной функции является супераддитивной.

Энтропия

Энтропия играет фундаментальную роль в теории информации, статистической физике и квантовой механике, в последней – в обобщенной формулировке, предложенной фон Нейманом. Во всех своих формулировках энтропия всегда выступает как субаддитивная величина, то есть энтропия суперсистемы или объединения множества случайных величин всегда меньше или равна сумме энтропий ее отдельных компонентов. Помимо этого, в физике энтропия подчиняется ряду более строгих неравенств, таких как сильная субаддитивность энтропии в классической статистической механике и ее квантовый аналог.

Экономика

Субъаддитивность – важное свойство некоторых функций издержек. Как правило, это необходимое и достаточное условие для существования естественной монополии. Она подразумевает, что производство одной фирмой обходится обществу дешевле (в пересчете на средние издержки), чем производство той же доли объема несколькими фирмами. Экономия от масштаба выражается субаддитивными функциями средних издержек. За исключением взаимодополняющих товаров, цена товара (как функция от количества) должна быть субаддитивной. В противном случае, если стоимость двух товаров в сумме ниже стоимости их набора, никто не будет покупать набор, что фактически приведет к тому, что цена набора станет равной сумме цен отдельных товаров. Это доказывает, что субаддитивность не является достаточным условием для естественной монополии, поскольку единица измерения стоимости может не соответствовать фактической стоимости товара. Эта ситуация хорошо знакома в политике, где меньшинство утверждает, что потеря определенной свободы на определенном уровне власти означает, что множество властей лучше, в то время как большинство считает, что существует другая правильная единица измерения стоимости.

Финансы

Субадитивность – одно из желаемых свойств когерентных мер риска в управлении рисками. Экономическая интуиция, лежащая в основе субадитивности меры риска, заключается в том, что риск портфеля в худшем случае должен быть не больше суммы рисков отдельных позиций, составляющих портфель. В противном случае эффекты диверсификации привели бы к тому, что риск портфеля был бы меньше суммы рисков отдельных позиций. Отсутствие субадитивности является одним из основных критических замечаний в отношении моделей VaR, которые не основаны на предположении о нормальности факторов риска. Гауссовский VaR обеспечивает субадитивность: например, гауссовский VaR портфеля из двух единичных длинных позиций на уровне доверия, при условии, что среднее изменение стоимости портфеля равно нулю и VaR определяется как отрицательная потеря, равен

где – обратная функция нормального кумулятивного распределения на уровне вероятности , – дисперсии доходностей отдельных позиций, а – линейная мера корреляции между доходностями двух отдельных позиций. Поскольку дисперсия всегда положительна,

следовательно, гауссовский VaR субаддитивен для любого значения , и, в частности, равен сумме рисков отдельных позиций, когда , что соответствует отсутствию эффекта диверсификации на риск портфеля.

Термодинамика

Субадитивность наблюдается в термодинамических свойствах неидеальных растворов и смесей, таких как избыточный молярный объем, теплота смешения или избыточная энтальпия.

Комбинаторика слов

Факториальный язык — это язык, в котором, если слово принадлежит языку , то все факторы этого слова также принадлежат языку . В комбинаторике слов распространенной задачей является определение количества слов длины в факториальном языке. Очевидно, что , следовательно, функция является субаддитивной, и, таким образом, можно использовать лемму Фекете для оценки роста . Для каждого , выберем две строки длины равномерно случайно из алфавита . Ожидаемая длина самой длинной общей подпоследовательности является супераддитивной функцией , и, следовательно, существует число , такое что ожидаемая длина растет как . Проверив случай с , мы легко получаем точное значение даже , однако, известно лишь то, что оно находится между 0,788 и 0,827.