Геометродинамика: Геометрическое описание пространства-времени и гравитации.

Введение

Попытка описать пространство-время и связанные с ним явления в терминах геометрии

В теоретической физике геометрическая динамика – это попытка полностью описать пространство-время и связанные с ним явления, используя исключительно геометрические понятия. Технически, её целью является объединение фундаментальных сил и переформулировка общей теории относительности как конфигурационного пространства трех метрик с точностью до трехмерных диффеоморфизмов. Истоки этой идеи можно найти в трудах английского математика Уильяма Кингдона Клиффорда. Эта теория была с энтузиазмом поддержана Джоном Уилером в 1960-х годах, и исследования в этой области продолжаются в XXI веке.

Геодинамика Эйнштейна

Термин геометродинамика используется как синоним общей теории относительности. Более точно, некоторые авторы используют фразу "геометродинамика Эйнштейна" для обозначения исходной формулировки общей теории относительности, представленной Арновитом, Дезер и Миснером (формализм ADM) примерно в 1960 году. В этой переформулировке пространство-время разбивается на пространственные гиперповерхности достаточно произвольным образом, а вакуумные уравнения Эйнштейна переформулируются как уравнение эволюции, описывающее, как геометрия гиперповерхности изменяется во "времени", исходя из геометрии начальной гиперповерхности ("начальные данные"). Это требует задания уравнений ограничений, которым должна удовлетворять исходная гиперповерхность. Также это подразумевает некоторый "выбор калибровки", а именно – выбор того, как изменяется система координат, используемая для описания геометрии гиперповерхности.

Современные понятия геометродинамики

Совсем недавно Кристофер Ишем, Джереми Баттерфилд и их студенты продолжали развивать квантовую геометродинамику, чтобы учесть последние достижения в квантовой теории гравитации и дальнейшее развитие обширной математической теории формулировок начальных условий общей теории относительности. Некоторые из первоначальных целей Уилера остаются важными для этой работы, в частности, надежда на создание прочного фундамента для квантовой гравитации. Философская программа также продолжает мотивировать ряд ведущих исследователей. Топологические идеи в области гравитации восходят к Риману, Клиффорду и Вейлю и нашли более конкретное воплощение в червоточинах Уилера, характеризуемых инвариантом Эйлера — Понкаре. Они возникают при присоединении ручек к чёрным дырам. С точки зрения наблюдений, общая теория относительности Альберта Эйнштейна (ОТО) достаточно хорошо подтверждена для Солнечной системы и двойных пульсаров. Однако в ОТО метрика играет двойственную роль: она измеряет расстояния в пространстве-времени и служит гравитационным потенциалом для связи Кристоффеля. Эта дихотомия представляется одним из основных препятствий для квантования гравитации. Артур Стэнли Эддингтон уже в 1924 году в своей книге «Математическая теория относительности» (2-е издание) предложил рассматривать связь как фундаментальное поле, а метрику — лишь как производную концепцию. Следовательно, первоначальное действие в четырех измерениях должно быть построено из топологического действия, не зависящего от метрики, такого как инвариант Понтрягина соответствующего калибровочного соединения. Аналогично теории Янга — Миллса, квантование можно осуществить путем модификации определения кривизны и тождеств Бьянки с помощью топологических призраков. В таком градуированном формализме Картана нипотентность операторов-призраков сопоставима с леммой Пуанкаре для внешней производной. Используя BRST-антиполевой формализм с фиксацией двойственного калибра, достигается непротиворечивое квантование в пространствах двойной двойной кривизны. Условие накладывает решения типа инстантона на квадрат кривизны «теории Янга — Милке» гравитации, предложенной Вейлем в 1919 году в аффинной форме и Яном в 1974 году. Однако эти точные решения демонстрируют «вакуумную вырожденность». Необходимо модифицировать двойственность кривизны посредством членов нарушения масштаба, чтобы сохранить уравнения Эйнштейна с индуцированной космологической постоянной частично топологического происхождения в качестве уникального макроскопического «фона». Такие члены нарушения масштаба возникают более естественным образом в рамках формализма ограничений, так называемой схемы BF, в которой калибровочная кривизна обозначается буквой F. В случае гравитации она отклоняется от специальной линейной группы SL(5, R) в четырех измерениях, тем самым обобщая калибровочные теории гравитации (анти-)де Ситтера. После применения спонтанного нарушения симметрии к соответствующей топологической теории BF снова возникают пространства Эйнштейна с крошечной космологической постоянной, связанной с масштабом нарушения симметрии. Здесь «фоновая» метрика индуцируется посредством механизма, подобного механизму Хиггса. Конечность такой деформированной топологической схемы может перейти в асимптотическую безопасность после квантования спонтанно нарушенной модели. Ричард Петти полагает, что космологические модели с кручением, но без вращающихся частиц, основанные на теории Эйнштейна — Картана, иллюстрируют ситуацию «поля (нераспространяющегося) без поля».

More recently, Christopher Isham, Jeremy Butterfield, and their students have continued to develop quantum geometrodynamics to take account of recent work toward a quantum theory of gravity and further developments in the very extensive mathematical theory of initial value formulations of general relativity. Some of Wheeler's original goals remain important for this work, particularly the hope of laying a solid foundation for quantum gravity. The philosophical program also continues to motivate several prominent contributors. Topological ideas in the realm of gravity date back to Riemann, Clifford, and Weyl and found a more concrete realization in the wormholes of Wheeler characterized by the Euler Poincaré invariant. They result from attaching handles to black holes. Observationally, Albert Einstein's general relativity (GR) is rather well established for the solar system and double pulsars. However, in GR the metric plays a double role: Measuring distances in spacetime and serving as a gravitational potential for the Christoffel connection. This dichotomy seems to be one of the main obstacles for quantizing gravity. Arthur Stanley Eddington suggested already in 1924 in his book The Mathematical Theory of Relativity (2nd Edition) to regard the connection as the basic field and the metric merely as a derived concept. Consequently, the primordial action in four dimensions should be constructed from a metric free topological action such as the Pontryagin invariant of the corresponding gauge connection. Similarly as in the Yang–Mills theory, a quantization can be achieved by amending the definition of curvature and the Bianchi identities via topological ghosts. In such a graded Cartan formalism, the nilpotency of the ghost operators is on par with the Poincaré lemma for the exterior derivative. Using a BRST antifield formalism with a duality gauge fixing, a consistent quantization in spaces of double dual curvature is obtained. The constraint imposes instanton type solutions on the curvature squared 'Yang Mielke theory' of gravity, proposed in its affine form already by Weyl 1919 and by Yang in 1974. However, these exact solutions exhibit a 'vacuum degeneracy'. One needs to modify the double duality of the curvature via scale breaking terms, in order to retain Einstein's equations with an induced cosmological constant of partially topological origin as the unique macroscopic 'background'. Such scale breaking terms arise more naturally in a constraint formalism, the so called BF scheme, in which the gauge curvature is denoted by F. In the case of gravity, it departs from the special linear group SL(5, R) in four dimensions, thus generalizing (Anti )de Sitter gauge theories of gravity. After applying spontaneous symmetry breaking to the corresponding topological BF theory, again Einstein spaces emerge with a tiny cosmological constant related to the scale of symmetry breaking. Here the 'background' metric is induced via a Higgs like mechanism. The finiteness of such a deformed topological scheme may convert into asymptotic safeness after quantization of the spontaneously broken model. Richard J. Petti believes that cosmological models with torsion but no rotating particles based on Einstein–Cartan theory illustrate a situation of "a (nonpropagating) field without a field".