Введение
Мысленные эксперименты
В экономике сравнительная статика – это сопоставление двух различных экономических исходов, до и после изменения некоторого базового экзогенного параметра. Являясь типом статического анализа, она сравнивает два различных равновесных состояния после процесса корректировки (если таковой имеется). Она не изучает движение к равновесию и не рассматривает сам процесс изменения. Сравнительная статика обычно используется для анализа изменений спроса и предложения на отдельном рынке, а также для изучения изменений в денежно-кредитной или фискальной политике при анализе экономики в целом. Сравнительная статика является инструментом анализа в микроэкономике (включая общий анализ равновесия) и макроэкономике. Сравнительная статика была формализована Джоном Р. Хиксом (1939) и Полом А. Сэмюэльсоном (1947) (Kehoe, 1987, с. 517), но графически представлялась уже, по крайней мере, с 1870-х годов. Для моделей стабильных равновесных темпов изменения, таких как неоклассическая модель экономического роста, сравнительная динамика является аналогом сравнительной статики (Eatwell, 1987).
Много уравнений и неизвестных
Все вышеперечисленные уравнения остаются верными и для системы уравнений с неизвестными. Иными словами, пусть обозначает систему уравнений, включающую вектор неизвестных и вектор заданных параметров. Если мы внесем достаточно малые изменения в параметры, то результирующие изменения в эндогенных переменных могут быть сколь угодно точно аппроксимированы выражением . В этом случае представляет собой матрицу размера ×, состоящую из частных производных функций по переменным , а представляет собой матрицу размера ×, состоящую из частных производных функций по параметрам (производные в и вычисляются при начальных значениях и ). Следует отметить, что если требуется определить лишь сравнительно-статический эффект одной экзогенной переменной на одну эндогенную переменную, то к полностью дифференцированной системе уравнений можно применить правило Крамера.
Стабильность
Предположение о том, что равновесие стабильно, важно по двум причинам. Во-первых, если бы равновесие было нестабильным, даже небольшое изменение параметров могло бы привести к резкому изменению значения , делая недействительным использование линейного приближения. Кроме того, принцип соответствия Пола А. Самуэльсона утверждает, что стабильность равновесия имеет качественные последствия для эффектов сравнительной статики. Иными словами, знание стабильности равновесия может помочь нам предсказать, будет ли каждый из коэффициентов в векторе положительным или отрицательным. В частности, одним из n необходимых и достаточных условий стабильности является то, что детерминант матрицы B размера n×n имеет определенный знак; поскольку этот детерминант фигурирует в знаменателе выражения для , знак детерминанта влияет на знаки всех элементов вектора эффектов сравнительной статики.
Применение для максимизации прибыли
Предположим, фирма производит n товаров в объемах. Прибыль фирмы является функцией p от этих объемов и от m экзогенных параметров, которые могут представлять, например, различные налоговые ставки. Если функция прибыли удовлетворяет требованиям гладкости и вогнутости, то описанный выше метод сравнительной статики позволяет определить изменения в прибыли фирмы, вызванные небольшими изменениями налоговых ставок.
С ограничениями
Обобщение описанного выше метода позволяет включить в задачу оптимизации набор ограничений. Это приводит к общей теореме об огибающей. К областям применения относится определение изменений маршалловского спроса в ответ на изменения цен или заработной платы.
Ограничения и расширения
Одним из ограничений сравнительной статики, использующей теорему о неявных функциях, является то, что результаты действительны только в (потенциально очень малой) окрестности оптимума – то есть, только для очень малых изменений в экзогенных переменных. Другим ограничением является потенциально излишне ограничивающий характер предположений, традиционно используемых для обоснования процедур сравнительной статики. Например, Джон Нахбар обнаружил в одном из своих кейс-стади, что применение сравнительной статики в анализе общего равновесия наиболее эффективно при работе с очень небольшими, индивидуальными данными, а не на агрегированном уровне. Пол Милгром и Крис Шеннон указали в 1994 году, что предположения, обычно используемые для обоснования применения сравнительной статики к задачам оптимизации, на самом деле не являются необходимыми – в частности, предположения о выпуклости множеств предпочтений или множеств ограничений, гладкости их границ, условиях первого и второго порядка, а также линейности бюджетных ограничений или целевых функций. Фактически, иногда задачу, удовлетворяющую этим условиям, можно монотонно преобразовать, получив задачу с идентичной сравнительной статикой, но нарушающую некоторые или все эти условия; следовательно, эти условия не являются необходимыми для обоснования сравнительной статики. На основе статьи Милгрома и Шеннона, а также результатов, полученных Вейнотом и Топкисом, было разработано важное направление операционных исследований, известное как монотонная сравнительная статика. В частности, эта теория фокусируется на анализе сравнительной статики, используя только условия, не зависящие от сохраняющих порядок преобразований. Метод использует теорию решёток и вводит понятия квазисупермодулярности и условия единственного пересечения. Широкое применение монотонной сравнительной статики в экономике охватывает теорию производства, теорию потребительского выбора, теорию игр с полной и неполной информацией, теорию аукционов и другие области.