Джон Милнор: биография выдающегося американского математика, лауреата Филдсовской, Вольфа и Абелевской премий. Топология, K-теория, динамические системы.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Джон Уиллард Милнор (родился 20 февраля 1931 года) — американский математик, известный своими работами в области дифференциальной топологии, алгебраической K-теории и низкоразмерных голоморфных динамических систем. Милнор — выдающийся профессор Университета Стоуни Брук и единственный математик, удостоенный медали Филдса, премии Вольфа, премии Абеля и всех трёх премий Стила.
American mathematician
those of a similar name
John Willard Milnor (born February 20, 1931) is an American mathematician known for his work in differential topology, algebraic K theory and low dimensional holomorphic dynamical systems. Milnor is a distinguished professor at Stony Brook University and the only mathematician to have won the Fields Medal, the Wolf Prize, the Abel Prize and all three Steele prizes.
Ранние годы и карьера
Милнор родился 20 февраля 1931 года в Оранже, штат Нью-Джерси. Его отцом был Дж. Уиллард Милнор, инженер, а матерью — Эмили Кокс Милнор. Будучи студентом Принстонского университета, он был удостоен премии Путнама в 1949 и 1950 годах и уже в 19 лет доказал теорему Фари — Милнора. В 1951 году Милнор окончил бакалавриат по математике, защитив выпускную работу под названием «Группы связей» под руководством Роберта Х. Фокса. Он остался в Принстоне для продолжения обучения в аспирантуре и в 1954 году получил степень доктора философии по математике, защитив диссертацию «Изотопия связей» также под руководством Фокса. Его диссертация была посвящена группам связей (обобщению классической группы узлов) и их связанной структуре, классифицируя брунниевы связи вплоть до гомотопии связей и вводя новые инварианты, названные инвариантами Милнора. После защиты докторской диссертации он продолжил работу в Принстоне. С 1970 по 1990 год он был профессором в Институте перспективных исследований. После 1962 года он в течение ряда лет был редактором «Анналов математики». Он является автором ряда книг, известных своей ясностью, изложением и вдохновляющих математиков на исследования в своих областях даже спустя десятилетия после их публикации. В период с 1976 по 1977 год он занимал должность вице-президента Американского математического общества. Среди его учеников — Тадатоси Акиба, Джон Фолкман, Джон Мэтер, Лоран Сибенман, Майкл Спивак и Джонатан Сондоу. Его жена, Дуса Макдафф, — профессор математики в Колледже Барнарда и известна своими работами в симплектической топологии.
Milnor was born on February 20, 1931, in Orange, New Jersey. His father was J. Willard Milnor, an engineer, and his mother was Emily Cox Milnor. As an undergraduate at Princeton University he was named a Putnam Fellow in 1949 and 1950 and also proved the Fáry–Milnor theorem when he was only 19 years old. Milnor graduated with an A. B. in mathematics in 1951 after completing a senior thesis, titled "Link groups", under the supervision of Robert H. Fox. He remained at Princeton to pursue graduate studies and received his Ph. D. in mathematics in 1954 after completing a doctoral dissertation, titled "Isotopy of links", also under the supervision of Fox. His dissertation concerned link groups (a generalization of the classical knot group) and their associated link structure, classifying Brunnian links up to link homotopy and introduced new invariants of it, called Milnor invariants. Upon completing his doctorate, he went on to work at Princeton. He was a professor at the Institute for Advanced Study from 1970 to 1990. He was an editor of the Annals of Mathematics for a number of years after 1962. He has written a number of books which are famous for their clarity, presentation, and an inspiration for the research by many mathematicians in their areas even after many decades since their publication. He served as Vice President of the AMS in 1976–77 period. His students have included Tadatoshi Akiba, Jon Folkman, John Mather, Laurent C. Siebenmann, Michael Spivak, and Jonathan Sondow. His wife, Dusa McDuff, is a professor of mathematics at Barnard College and is known for her work in symplectic topology.
Исследования
Одной из самых известных работ Милнора является его доказательство в 1956 году существования семимерных сфер с нестандартной дифференцируемой структурой, которое ознаменовало начало нового направления – дифференциальной топологии. Он ввёл термин «экзотическая сфера», относящийся к любой n-сфере с нестандартной дифференцируемой структурой. Керваир и Милнор инициировали систематическое изучение экзотических сфер, показав, в частности, что 7-сфера имеет 15 различных дифференцируемых структур (28, если учитывать ориентацию). Эгберт Брискорн нашёл простые алгебраические уравнения для 28 комплексных гиперповерхностей в комплексном 5-мерном пространстве, такие что их пересечение с малой 9-мерной сферой в окрестности сингулярной точки диффеоморфно этим экзотическим сферам. Впоследствии Милнор работал над топологией изолированных сингулярных точек комплексных гиперповерхностей в общем случае, развивая теорию фибрации Милнора, волокно которой имеет гомотопический тип букета из μ сфер, где μ известно как число Милнора. Книга Милнора 1968 года, «Сингулярные точки комплексных гиперповерхностей», послужила стимулом для развития огромной и плодотворной области исследований, которая продолжает развиваться и по сей день. В 1961 году Милнор опроверг гипотезу Хауптфермутунг (Hauptvermutung), продемонстрировав два симплициальных комплекса, которые гомеоморфны, но комбинаторно различны, используя понятие кручения Ридемейстера. Это привело к волне достижений в топологии, сделанных Милнором и многими другими математиками, которые навсегда изменили представление об этой области. В 1984 году Милнор ввёл определение аттрактора. Эти объекты обобщают стандартные аттракторы, включают так называемые неустойчивые аттракторы и теперь известны как аттракторы Милнора. В настоящее время Милнора интересует динамика, особенно голоморфная динамика. Его работы в области динамики обобщены Питером Макиенко в его обзоре «Топологические методы в современной математике»:
One of Milnor's best known works is his proof in 1956 of the existence of 7 dimensional spheres with nonstandard differentiable structure, which marked the beginning of a new field – differential topology. He coined the term exotic sphere, referring to any n sphere with nonstandard differential structure. Kervaire and Milnor initiated the systematic study of exotic spheres, showing in particular that the 7 sphere has 15 distinct differentiable structures (28 if one considers orientation). Egbert Brieskorn found simple algebraic equations for 28 complex hypersurfaces in complex 5 space such that their intersection with a small sphere of dimension 9 around a singular point is diffeomorphic to these exotic spheres. Subsequently, Milnor worked on the topology of isolated singular points of complex hypersurfaces in general, developing the theory of the Milnor fibration whose fiber has the homotopy type of a bouquet of μ spheres where μ is known as the Milnor number. Milnor's 1968 book on his theory, Singular Points of Complex Hypersurfaces, inspired the growth of a huge and rich research area that continues to mature to this day. In 1961 Milnor disproved the Hauptvermutung by illustrating two simplicial complexes that are homeomorphic but combinatorially distinct, using the concept of Reidemeister torsion. This led to a wave of advances in topology by Milnor and many other mathematicians which changed the perception of the field forever. In 1984 Milnor introduced a definition of attractor. The objects generalize standard attractors, include so called unstable attractors and are now known as Milnor attractors. Milnor's current interest is dynamics, especially holomorphic dynamics. His work in dynamics is summarized by Peter Makienko in his review of Topological Methods in Modern Mathematics:
Сейчас очевидно, что низкоразмерная динамика, во многом инициированная работами Милнора, является фундаментальной частью общей теории динамических систем. Милнор обратил своё внимание на теорию динамических систем в середине 1970-х годов. К тому времени программа Смейла в области динамики была завершена. Милнор решил начать с самого начала, рассматривая простейшие нетривиальные семейства отображений. Первым выбором стала одномерная динамика, которая стала темой его совместной работы с Тёрстоном. Даже случай одномодального отображения, то есть отображения с единственной критической точкой, оказывается чрезвычайно богатым. Эту работу можно сравнить с работами Пуанкаре по диффеоморфизмам окружности, которые за 100 лет до этого положили начало качественной теории динамических систем. Работы Милнора открыли несколько новых направлений в этой области и дали нам множество базовых концепций, сложных задач и важных теорем. Среди других его значительных вкладов – микрорасслоения, повлиявшие на использование алгебр Хопфа, теория квадратичных форм и смежная область симметричных билинейных форм, высшая алгебраическая K-теория, теория игр и трёхмерные группы Ли.
It is evident now that low dimensional dynamics, to a large extent initiated by Milnor's work, is a fundamental part of general dynamical systems theory. Milnor cast his eye on dynamical systems theory in the mid 1970s. By that time the Smale program in dynamics had been completed. Milnor's approach was to start over from the very beginning, looking at the simplest nontrivial families of maps. The first choice, one dimensional dynamics, became the subject of his joint paper with Thurston. Even the case of a unimodal map, that is, one with a single critical point, turns out to be extremely rich. This work may be compared with Poincaré's work on circle diffeomorphisms, which 100 years before had inaugurated the qualitative theory of dynamical systems. Milnor's work has opened several new directions in this field, and has given us many basic concepts, challenging problems and nice theorems. His other significant contributions include microbundles, influencing the usage of Hopf algebras, theory of quadratic forms and the related area of symmetric bilinear forms, higher algebraic K theory, game theory, and three dimensional Lie groups.
Награды и почести
В 1961 году Милнор был избран членом Американской академии искусств и наук. В 1962 году Милнор был удостоен медали Филдса за его работы в области дифференциальной топологии. В 1963 году он был избран в Национальную академию наук США, а в 1965 году – в Американское философское общество. Позже он стал лауреатом Национальной медали науки (1967), премии Лестера Р. Форда в 1970 и 1984 годах, премии Лероя П. Стила за выдающийся вклад в исследования (1982), премии Вольфа по математике (1989), премии Лероя П. Стила за популяризацию математики (2004) и премии Лероя П. Стила за достижения в области математики за всю жизнь (2011). В 1991 году в Университете Стоуни-Брук был проведен симпозиум в честь его 60-летия. В 2011 году Милнор был удостоен премии Абеля за "пионерские открытия в топологии, геометрии и алгебре". Комментируя награду, Милнор сказал журналу New Scientist: "Это очень приятно", добавив, что "всегда удивляешься звонку в шесть утра". В 2013 году он стал членом Американского математического общества за "вклад в дифференциальную топологию, геометрическую топологию, алгебраическую топологию, алгебру и динамические системы". В 2020 году он получил Золотую медаль имени Ломоносова Российской академии наук.
Milnor was elected as a member of the American Academy of Arts and Sciences in 1961. In 1962 Milnor was awarded the Fields Medal for his work in differential topology. He was elected to the United States National Academy of Sciences in 1963 and the American Philosophical Society 1965. He later went on to win the National Medal of Science (1967), the Lester R. Ford Award in 1970 and again in 1984, the Leroy P. Steele Prize for "Seminal Contribution to Research" (1982), the Wolf Prize in Mathematics (1989), the Leroy P. Steele Prize for Mathematical Exposition (2004), and the Leroy P. Steele Prize for Lifetime Achievement (2011). In 1991 a symposium was held at Stony Brook University in celebration of his 60th birthday. Milnor was awarded the 2011 Abel Prize, for his "pioneering discoveries in topology, geometry and algebra." Reacting to the award, Milnor told the New Scientist "It feels very good," adding that "[o]ne is always surprised by a call at 6 o'clock in the morning." In 2013 he became a fellow of the American Mathematical Society, for "contributions to differential topology, geometric topology, algebraic topology, algebra, and dynamical systems". In 2020 he received the Lomonosov Gold Medal of the Russian Academy of Sciences.