Введение

В теории игр, оптимальным ответом (или оптимальными ответами) является стратегия, которая обеспечивает наиболее благоприятный исход для игрока, при условии, что стратегии других игроков заданы (; ). Понятие оптимального ответа является ключевым в наиболее известном вкладе Джона Нэша – равновесии Нэша, точке, в которой каждый игрок в игре выбрал оптимальный ответ (или один из оптимальных ответов) на стратегии других игроков.

Координационные игры

Игры, в которых игроки достигают наивысшего результата, когда оба выбирают одну и ту же стратегию, такие как «охота на оленя» и «битва полов», называются играми координации. Эти игры имеют кривые реакций той же формы, что и на рисунке 3, где существует одно равновесие Нэша в нижнем левом углу, другое – в правом верхнем углу, а смешанное равновесие Нэша – где-то на диагонали между ними.

Антикоординационные игры

Такие игры, как "игра в курицу" и "ястреб-голубь", в которых игроки достигают наивысшего результата, выбирая противоположные стратегии, то есть действуя нескоординированно, называются антикоординационными играми. Они имеют кривые реакции (рис. 4), пересекающиеся в направлении, противоположном координационным играм, с тремя равновесиями Нэша: по одному в верхнем левом и нижнем правом углах, где один игрок выбирает одну стратегию, а другой – противоположную. Третье равновесие Нэша – смешанная стратегия, лежащая на диагонали от нижнего левого к верхнему правому углу. Если игроки не знают, кто из них играет за какую сторону, то смешанное равновесие Нэша является эволюционно стабильной стратегией (ESS), поскольку игра ограничивается диагональю от нижнего левого к верхнему правому углу. В противном случае возникает некоррелированная асимметрия, и угловые равновесия Нэша являются ESS.

Игры с доминирующей стратегией

В играх с доминирующими стратегиями реакционные кривые пересекаются только в одной точке, которая в симметричных играх 2x2 будет находиться либо в нижнем левом, либо в правом верхнем углу. Например, в однократной дилемме заключенного стратегия "Сотрудничать" не является оптимальной при любой вероятности сотрудничества оппонента. На рисунке 5 показаны реакционные кривые для такой игры, где оси представляют собой "Вероятность выбора стратегии Сотрудничать", а равновесие Нэша находится в нижнем левом углу, где ни один из игроков не выбирает Сотрудничать. Если бы оси были определены как "Вероятность выбора стратегии Предать", то кривые наилучшего ответа обоих игроков были бы равны 1 при любой стратегии оппонента, и реакционные кривые пересеклись бы (и сформировали равновесие Нэша) в правом верхнем углу.

Другие (ассиметричные) игры

В играх 2x2 с асимметрией выплат возможен более широкий спектр форм соответствий реакций. Для каждого игрока существует пять возможных форм наилучшего ответа, показанных на рисунке 6. Слева направо: доминирующая стратегия (всегда выбирать 2), доминирующая стратегия (всегда выбирать 1), возрастающая (выбирать стратегию 2, если вероятность того, что другой игрок выберет 2, превышает порог), убывающая (выбирать стратегию 1, если вероятность того, что другой игрок выберет 2, превышает порог) и безразличная (обе стратегии одинаково эффективны при любых условиях). В то время как существует всего четыре возможных типа симметричных игр 2x2 (один из которых тривиален), пять различных кривых наилучшего ответа для каждого игрока позволяют получить большее количество типов игр с асимметричными выплатами. Многие из них на самом деле не отличаются друг от друга. Измерения могут быть переопределены (путем перестановки названий стратегий 1 и 2) для получения симметричных игр, которые логически эквивалентны.

Совпадающие копейки

Одна из известных игр с асимметрией выплат — это игра «подбрасывание монет» (или игра с несоответствующими копейками). В этой игре один игрок, игрок, выбирающий строку — представленный на графике по оси y — выигрывает, если игроки согласуют свои действия (оба выбирают орёл или оба выбирают решку), а другой игрок, игрок, выбирающий столбец — представленный на оси x — выигрывает, если игроки не согласуют свои действия. Функция наилучшего отклика игрока Y соответствует координационной игре, а функция наилучшего отклика игрока X — игре на рассогласование. Единственным равновесием Нэша является комбинация смешанных стратегий, при которой оба игрока независимо выбирают орёл и решку с вероятностью 0,5 каждый.

Сглаженный

Вместо соответствий наилучшего ответа некоторые модели используют сглаженные функции наилучшего ответа. Эти функции похожи на соответствие наилучшего ответа, за исключением того, что функция не "перескакивает" с одной чистой стратегии на другую. Разница проиллюстрирована на рисунке 8, где черный цвет представляет соответствие наилучшего ответа, а другие цвета – различные сглаженные функции наилучшего ответа. В стандартных соответствиях наилучшего ответа даже малейшее преимущество одного действия приводит к тому, что игрок выбирает это действие с вероятностью 1. В случае сглаженного наилучшего ответа, по мере уменьшения разницы между двумя действиями, вероятность выбора каждого из них приближается к 50:50. Существует множество функций, представляющих сглаженные функции наилучшего ответа. Функции, представленные здесь, являются различными вариациями следующей функции:

где обозначает ожидаемую выгоду от действия , а – параметр, определяющий степень отклонения функции от истинного наилучшего ответа (большее значение означает, что игрок с большей вероятностью допустит "ошибки"). Использование сглаженного наилучшего ответа имеет ряд преимуществ, как теоретических, так и эмпирических. Во-первых, это согласуется с результатами психологических экспериментов: когда люди примерно равнодушны между двумя действиями, они, как правило, выбирают их более или менее случайным образом. Во-вторых, поведение игроков однозначно определено во всех случаях, поскольку это соответствие, которое также является функцией. Наконец, использование сглаженного наилучшего ответа с некоторыми правилами обучения (например, в фиктивной игре) может привести к тому, что игроки научатся играть в смешанные стратегии, являющиеся равновесием Нэша.