Введение

Свойство времени ожидания некоторых распределений вероятности, использование термина в материаловедении.

В теории вероятностей и статистике, отсутствие памяти – это свойство определенных распределений вероятностей. Оно описывает ситуации, когда время, которое уже было затрачено на ожидание события, не влияет на то, сколько времени еще потребуется ждать. Для точного моделирования ситуаций, не зависящих от прошлого, необходимо игнорировать предыдущее состояние системы – вероятности остаются неизменными вне зависимости от истории процесса. Лишь два типа распределений обладают свойством отсутствия памяти: геометрическое распределение для неотрицательных целых чисел и экспоненциальное распределение для неотрицательных вещественных чисел. В контексте марковских процессов, отсутствие памяти относится к марковскому свойству, которое является еще более сильным предположением и подразумевает, что свойства случайных величин, связанных с будущим, зависят только от информации о текущем моменте времени, а не от информации о более ранних событиях. В данной статье рассматривается применение этого свойства вне контекста марковских процессов.

С памятью

Большинство явлений не являются беспамятными, что означает, что наблюдатели будут получать информацию о них с течением времени. Например, предположим, что X – это случайная величина, представляющая собой срок службы автомобильного двигателя, выраженный в количестве миль, пройденных до поломки. Интуитивно понятно, что двигатель, который уже проехал 300 000 миль, будет иметь гораздо меньшее значение X, чем второй (эквивалентный) двигатель, который проехал всего 1 000 миль. Следовательно, эта случайная величина не обладает свойством беспамятности.

Без памяти

В отличие от этого, давайте рассмотрим ситуацию, демонстрирующую отсутствие памяти. Представьте себе длинный коридор, вдоль одной стены которого расположены тысячи сейфов. Каждый сейф имеет дисковый замок с 500 позициями, и каждой из них случайным образом присвоена позиция открытия. Представьте, что эксцентричный человек идет по коридору, останавливаясь у каждого сейфа лишь однажды, чтобы сделать единственную случайную попытку его открыть. В этом случае мы можем определить случайную величину X как время поиска, выраженное в терминах "количества попыток, которые человеку необходимо сделать, чтобы успешно открыть сейф". В этом случае E[X] всегда будет равно 500, независимо от того, сколько попыток уже было предпринято. Каждая новая попытка имеет вероятность успеха 1/500, поэтому человек, скорее всего, откроет ровно один сейф в течение следующих 500 попыток, но с каждой неудачей он не делает никакого "прогресса" к конечному успеху. Даже если сейфолом уже потерпел 499 неудач подряд (или 4999 неудач), мы ожидаем, что до следующего успеха потребуется еще 500 попыток. Если бы этот человек сосредоточил свои попытки на одном сейфе и "запоминал" свои предыдущие попытки, он гарантированно открыл бы сейф максимум через 500 попыток (и, фактически, изначально ожидал бы, что потребуется всего 250 попыток, а не 500). Примеры отсутствия памяти в реальной жизни включают универсальный закон радиоактивного распада, описывающий время до распада данной радиоактивной частицы, и, возможно, время до обнаружения нового блока Bitcoin, хотя это утверждение оспаривается. Часто используемым (теоретическим) примером отсутствия памяти в теории массового обслуживания является время, которое продавцу необходимо ждать до прибытия следующего покупателя.

Дискретное отсутствие памяти

Предположим, что X — дискретная случайная величина, значения которой лежат в множестве {0, 1, 2, …}. Распределение вероятностей X не обладает свойством отсутствия памяти, если для любых m и n из , выполняется следующее:

Здесь обозначается условная вероятность того, что значение X больше m + n, при условии, что оно больше или равно m. Единственными дискретными распределениями вероятностей, не обладающими свойством отсутствия памяти, являются геометрические распределения, которые подсчитывают количество независимых, одинаково распределённых ("неуспешных") испытаний Бернулли, необходимых для получения одного "успеха"; то есть геометрическое распределение с областью определения {0, 1, 2, 3, …}. Следует отметить, что геометрическое распределение с областью определения {1, 2, …} не обладает свойством отсутствия памяти. Следует отметить, что вышеприведённое определение относится к определению геометрического распределения с областью определения {0, 1, 2, …}. Альтернативная параметризация с областью определения {1, 2, …} соответствует несколько иному определению дискретного отсутствия памяти: а именно, что

Постоянная потеря памяти

Предположим, что X — непрерывная случайная величина, значения которой лежат в неотрицательных действительных числах [0, ∞). Распределение вероятностей X не обладает памятью, если для любых неотрицательных действительных чисел t и s выполняется следующее условие:

Это аналогично дискретному случаю, за исключением того, что s и t ограничены лишь неотрицательными действительными числами, а не целыми числами. Вместо подсчета испытаний до первого "успеха", например, мы можем измерять время до поступления первого телефонного звонка на АТС.