Введение
Термин в математике
В математике характеристика объекта — это набор условий, которые, хотя и отличаются от определения объекта, логически эквивалентны ему. Говорить, что "Свойство P характеризует объект X" — значит утверждать, что не только X обладает свойством P, но и что X — единственный объект, обладающий свойством P (то есть P является определяющим свойством X). Аналогично, набор свойств P характеризует X, когда эти свойства выделяют X среди всех остальных объектов. Даже если характеристика однозначно определяет объект, для одного объекта может существовать несколько характеристик. Распространенные математические выражения для характеристики X в терминах P включают "P необходимо и достаточно для X" и "X выполняется тогда и только тогда, когда P". Также часто встречаются утверждения, такие как "Свойство Q характеризует Y с точностью до изоморфизма". Первый тип утверждения другими словами говорит о том, что расширение P является единичным множеством, а второй — что расширение Q представляет собой единственный класс эквивалентности (для изоморфизма, в данном примере — в зависимости от того, как интерпретируется "с точностью до", может быть вовлечено другое отношение эквивалентности). В справочнике по математической терминологии отмечается, что термин "характеристика" происходит от греческого термина *kharax*, означающего "острый кол": от греческого *kharax* произошло *kharakter* — инструмент, используемый для маркировки или гравировки объекта. После маркировки объект становился отличительным, поэтому "характер" чего-либо стал означать его отличительную особенность. Позднегреческий суффикс *-istikos* преобразовал существительное "характер" в прилагательное "характеристический", которое, помимо сохранения своего прилагательного значения, впоследствии также стало существительным. Подобно тому, как в химии характерное свойство материала позволяет идентифицировать образец, или в материаловедении структура и свойства определяют характеристику, в математике постоянно предпринимаются усилия для выражения свойств, которые выделяют желаемую особенность в теории или системе. Характеризация не является прерогативой математики, но поскольку эта наука абстрактна, значительная часть деятельности может быть описана как "характеризация". Например, по данным на 2018 год в базе данных Mathematical Reviews более 24 000 статей содержат это слово в заголовке, а 93 600 — где-либо в тексте обзора. В произвольном контексте объектов и признаков характеристики могут быть выражены через гетерогенное отношение aRb, означающее, что объект a обладает признаком b. Например, b может означать абстрактное или конкретное. Объекты можно рассматривать как расширения мира, а признаки — как выражение интенсионала. Непрерывная программа характеризации различных объектов приводит к их категоризации.
In mathematics, a characterization of an object is a set of conditions that, while different from the definition of the object, is logically equivalent to it. To say that "Property P characterizes object X" is to say that not only does X have property P, but that X is the only thing that has property P (i. e., P is a defining property of X). Similarly, a set of properties P is said to characterize X, when these properties distinguish X from all other objects. Even though a characterization identifies an object in a unique way, several characterizations can exist for a single object. Common mathematical expressions for a characterization of X in terms of P include "P is necessary and sufficient for X", and "X holds if and only if P". It is also common to find statements such as "Property Q characterizes Y up to isomorphism". The first type of statement says in different words that the extension of P is a singleton set, while the second says that the extension of Q is a single equivalence class (for isomorphism, in the given example — depending on how up to is being used, some other equivalence relation might be involved). A reference on mathematical terminology notes that characteristic originates from the Greek term kharax, "a pointed stake":From Greek kharax came kharakhter, an instrument used to mark or engrave an object. Once an object was marked, it became distinctive, so the character of something came to mean its distinctive nature. The Late Greek suffix istikos converted the noun character into the adjective characteristic, which, in addition to maintaining its adjectival meaning, later became a noun as well. Just as in chemistry, the characteristic property of a material will serve to identify a sample, or in the study of materials, structures and properties will determine characterization, in mathematics there is a continual effort to express properties that will distinguish a desired feature in a theory or system. Characterization is not unique to mathematics, but since the science is abstract, much of the activity can be described as "characterization". For instance, in Mathematical Reviews, as of 2018, more than 24,000 articles contain the word in the article title, and 93,600 somewhere in the review. In an arbitrary context of objects and features, characterizations have been expressed via the heterogeneous relation aRb, meaning that object a has feature b. For example, b may mean abstract or concrete. The objects can be considered the extensions of the world, while the features are expression of the intensions. A continuing program of characterization of various objects leads to their categorization.
Примеры
Рациональное число, обычно определяемое как отношение двух целых чисел, может быть охарактеризовано как число с конечной или периодической десятичной дробью. Круг характеризуется как многообразие тем, что он одномерный, компактный и связный; здесь характеристика как гладкого многообразия задается с точностью до диффеоморфизма.