Кіріспе
Математика терминдері
Математикада объектінің сипаттамасы – объектінің анықтамасынан өзгеше, бірақ оған логикалық тұрғыдан тең келетін шарттар жиынтығы. "P қасиеті X объектісін сипаттайды" деу – X тек P қасиетіне ие ғана емес, сонымен қатар P қасиетіне ие жалғыз нәрсе (яғни, P – X-тің анықтамалық қасиеті) дегенді білдіреді. Сол сияқты, егер қасиеттер жиынтығы P X-ті басқа барлық объектілерден ажырататын болса, онда ол X-ті сипаттайды. Сипаттама объектіні бірегей түрде анықтаса да, бір объекті үшін бірнеше сипаттама болуы мүмкін. X-ті P арқылы сипаттау үшін қолданылатын жалпы математикалық өрнектер: "P, X үшін қажетті және жеткілікті" және "X тек қана P болғанда ғана орындалады". Сондай-ақ, "Q қасиеті Y-ді изоморфизмге дейін сипаттайды" сияқты мәлімдемелерге де кездесуге болады. Бірінші түрі P-нің кеңейтімі бірлік жиын екенін, ал екіншісі Q-ның кеңейтімі – бірлік эквиваленттілік класы екенін (изоморфизм үшін берілген мысалда, "дейін" қалай қолданылғанына байланысты, басқа эквиваленттілік қатынасы болуы мүмкін) басқаша айтудың бір жолы. Математикалық терминологияға қатысты сілтемелерде сипаттаманың грек тіліндегі "харакс" терминінен шыққандығы айтылады: грек тіліндегі "харакс" сөзінен "характер" деген құрал пайда болды, ол объектіні белгілеуге немесе қашап жазуға қолданылды. Объектіге белгі қойылғаннан кейін, ол ерекшеленіп, бір нәрсенің сипаты оның ерекшелігін білдіретін болды. Кейінгі грек тіліндегі "-истикос" жұрнағы зат есім "характер"ді сипаттама сөзіне айналдырды, ол бастапқы мағынасын сақтап қалумен қатар, кейіннен зат есімге де айналды. Химияда материалдың сипаттамалық қасиеті үлгіні анықтауға мүмкіндік береді, ал материалтануда құрылым мен қасиеттер сипаттаманы анықтайды. Математикада да теория немесе жүйедегі қажетті ерекшелікті ажырататын қасиеттерді білдіруге үнемі күш жұмсалады. Сипаттама математикаға ғана тән емес, бірақ ғылым абстрактілі болғандықтан, оның көп бөлігін "сипаттама" деп сипаттауға болады. Мысалы, 2018 жылғы мәліметтерге сәйкес, "Mathematical Reviews" журналында 24 000-нан астам мақаланың тақырыбында және 93 600 мақаланың рецензиясында осы сөз кездеседі. Объектілер мен ерекшеліктердің кез келген контекстінде сипаттамалар aRb гетерогенді қатынасы арқылы беріледі, яғни a объектісінің b ерекшелігі бар. Мысалы, b абстрактілі немесе нақты мағынаны білдіруі мүмкін. Объектілерді әлемнің кеңейтілімдері деп қарастыруға болады, ал ерекшеліктер – ниеттердің көрінісі. Әртүрлі объектілерді сипаттаудың үздіксіз бағдарламасы оларды жіктеуге әкеледі.
In mathematics, a characterization of an object is a set of conditions that, while different from the definition of the object, is logically equivalent to it. To say that "Property P characterizes object X" is to say that not only does X have property P, but that X is the only thing that has property P (i. e., P is a defining property of X). Similarly, a set of properties P is said to characterize X, when these properties distinguish X from all other objects. Even though a characterization identifies an object in a unique way, several characterizations can exist for a single object. Common mathematical expressions for a characterization of X in terms of P include "P is necessary and sufficient for X", and "X holds if and only if P". It is also common to find statements such as "Property Q characterizes Y up to isomorphism". The first type of statement says in different words that the extension of P is a singleton set, while the second says that the extension of Q is a single equivalence class (for isomorphism, in the given example — depending on how up to is being used, some other equivalence relation might be involved). A reference on mathematical terminology notes that characteristic originates from the Greek term kharax, "a pointed stake":From Greek kharax came kharakhter, an instrument used to mark or engrave an object. Once an object was marked, it became distinctive, so the character of something came to mean its distinctive nature. The Late Greek suffix istikos converted the noun character into the adjective characteristic, which, in addition to maintaining its adjectival meaning, later became a noun as well. Just as in chemistry, the characteristic property of a material will serve to identify a sample, or in the study of materials, structures and properties will determine characterization, in mathematics there is a continual effort to express properties that will distinguish a desired feature in a theory or system. Characterization is not unique to mathematics, but since the science is abstract, much of the activity can be described as "characterization". For instance, in Mathematical Reviews, as of 2018, more than 24,000 articles contain the word in the article title, and 93,600 somewhere in the review. In an arbitrary context of objects and features, characterizations have been expressed via the heterogeneous relation aRb, meaning that object a has feature b. For example, b may mean abstract or concrete. The objects can be considered the extensions of the world, while the features are expression of the intensions. A continuing program of characterization of various objects leads to their categorization.
Мысалдар
Рационалды сан, әдетте екі бүтін санның қатынасы ретінде анықталады, және оны шекті немесе қайталанатын ондық өрнек түрінде көрсетуге болады. Шеңбер бір өлшемді, сығылған және байланысқан көпқырлы ретінде сипатталады; мұндағы сипаттама, тегіс көпқырлы ретінде, диффеоморфизмге дейін анықталады.