Введение
Автоморфизм группы, кольца или алгебры, заданный действием сопряжения одного из её элементов. В абстрактной алгебре внутренний автоморфизм — это автоморфизм группы, кольца или алгебры, заданный действием сопряжения фиксированного элемента, называемого сопряжённым элементом. Они могут быть реализованы посредством простых операций внутри самой структуры, отсюда прилагательное "внутренний". Эти внутренние автоморфизмы образуют подгруппу группы автоморфизмов, а факторгруппа группы автоморфизмов по этой подгруппе определяется как группа внешних автоморфизмов.
In abstract algebra an inner automorphism is an automorphism of a group, ring, or algebra given by the conjugation action of a fixed element, called the conjugating element. They can be realized via simple operations from within the group itself, hence the adjective "inner". These inner automorphisms form a subgroup of the automorphism group, and the quotient of the automorphism group by this subgroup is defined as the outer automorphism group.
Типы групп
Внутренняя группа автоморфизмов группы G, Inn(G), тривиальна (то есть состоит только из единичного элемента), если и только если G абелева. Группа Inn(G) циклична только тогда, когда она тривиальна. На другом конце спектра внутренние автоморфизмы могут исчерпать всю группу автоморфизмов; группа, все автоморфизмы которой внутренние и центр которой тривиален, называется полной. Это справедливо для всех симметричных групп на n элементах, когда n не равно 2 или 6. Когда n=4, симметричная группа имеет единственный нетривиальный класс невнутренних автоморфизмов, а когда n=3, симметричная группа, несмотря на отсутствие невнутренних автоморфизмов, является абелевой, что дает нетривиальный центр и исключает её из разряда полных групп. Если внутренняя группа автоморфизмов совершенной группы G проста, то G называется квазипростой.
Случай с алгеброй лжи
Автоморфизм алгебры Ли 𝔊 называется внутренним автоморфизмом, если он имеет вид , где Ad — сопряжённое отображение, а g — элемент группы Ли, алгебра Ли которой является 𝔊. Понятие внутреннего автоморфизма для алгебр Ли согласуется с понятием для групп в том смысле, что внутренний автоморфизм группы Ли индуцирует единственный внутренний автоморфизм соответствующей алгебры Ли.
Расширение
Если G — группа единиц кольца A, то внутренний автоморфизм на G можно расширить до отображения на проективной прямой над A с помощью группы единиц матричного кольца. В частности, внутренние автоморфизмы классических групп можно расширить таким образом.