Выпуклая комбинация: определение, свойства и применение в геометрии и векторной алгебре. Взвешенное среднее с неотрицательными коэффициентами, сумма которых равна 1.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Линейная комбинация точек, в которой все коэффициенты неотрицательны и их сумма равна 1.
Linear combination of points where all coefficients are non negative and sum to 1
В выпуклой геометрии и векторной алгебре выпуклой комбинацией называется линейная комбинация точек (которые могут быть векторами, скалярами или, в более общем случае, точками в аффинном пространстве), где все коэффициенты неотрицательны и их сумма равна 1. Иными словами, эта операция эквивалентна стандартному взвешенному среднему, но веса выражаются в процентах от общей суммы весов, а не в виде доли от количества весов, как в стандартном взвешенном среднем. Более формально, для конечного числа точек в реальном векторном пространстве, выпуклая комбинация этих точек представляет собой точку вида
In convex geometry and vector algebra, a convex combination is a linear combination of points (which can be vectors, scalars, or more generally points in an affine space) where all coefficients are non negative and sum to 1. In other words, the operation is equivalent to a standard weighted average, but whose weights are expressed as a percent of the total weight, instead of as a fraction of the count of the weights as in a standard weighted average. More formally, given a finite number of points in a real vector space, a convex combination of these points is a point of the form
где действительные числа удовлетворяют условиям и
where the real numbers satisfy and
В качестве конкретного примера, любая выпуклая комбинация двух точек лежит на отрезке прямой, соединяющем эти точки. Множество называется выпуклым, если оно содержит все выпуклые комбинации своих точек. Выпуклая оболочка заданного набора точек совпадает с множеством всех их выпуклых комбинаций. Существуют подмножества векторного пространства, которые не замкнуты относительно линейных комбинаций, но замкнуты относительно выпуклых комбинаций. Например, интервал является выпуклым, но при линейных комбинациях он порождает вещественную прямую. Другой пример – выпуклое множество распределений вероятностей, поскольку линейные комбинации не сохраняют ни неотрицательность, ни аффинность (то есть, свойство иметь общий интеграл, равный 1).
As a particular example, every convex combination of two points lies on the line segment between the points. A set is convex if it contains all convex combinations of its points. The convex hull of a given set of points is identical to the set of all their convex combinations. There exist subsets of a vector space that are not closed under linear combinations but are closed under convex combinations. For example, the interval is convex but generates the real number line under linear combinations. Another example is the convex set of probability distributions, as linear combinations preserve neither nonnegativity nor affinity (i. e., having total integral one).
Другие предметы
О случайной величине говорят, что она имеет конечное смешанное распределение, если ее функция плотности вероятности является выпуклой комбинацией так называемых компонентных плотностей.
A random variable is said to have an component finite mixture distribution if its probability density function is a convex combination of so called component densities.
Связанные конструкции
Коническая комбинация — это линейная комбинация с неотрицательными коэффициентами. Если точка используется в качестве опорной для определения векторов смещения, то набор точек является выпуклой комбинацией, если и только если нулевое смещение является нетривиальной конической комбинацией соответствующих векторов смещения относительно этой точки. Взвешенные средние функционально эквивалентны выпуклым комбинациям, но используют иную запись. Коэффициенты (веса) во взвешенном среднем не обязаны суммироваться к 1; вместо этого взвешенная линейная комбинация явно делится на сумму весов. Аффинные комбинации аналогичны выпуклым комбинациям, но коэффициенты не обязаны быть неотрицательными. Следовательно, аффинные комбинации определяются в векторных пространствах над любым полем.
A conical combination is a linear combination with nonnegative coefficients. When a point is to be used as the reference origin for defining displacement vectors, then is a convex combination of points if and only if the zero displacement is a non trivial conical combination of their respective displacement vectors relative to Weighted means are functionally the same as convex combinations, but they use a different notation. The coefficients (weights) in a weighted mean are not required to sum to 1; instead the weighted linear combination is explicitly divided by the sum of the weights. Affine combinations are like convex combinations, but the coefficients are not required to be non negative. Hence affine combinations are defined in vector spaces over any field.