Ультимативная игра: анализ равновесий в экономических экспериментах.

Введение

Игра в экономических экспериментах

Игра в ультиматум – это игра, которая стала популярным инструментом для проведения экономических экспериментов. Первое описание дал нобелевский лауреат Джон Харсаньи в 1961 году. Один из игроков, предлагающий, получает определенную сумму денег. Задача предлагающего – разделить эту сумму с другим игроком, отвечающим (который знает размер общей суммы). После того, как предлагающий сообщает о своем решении, отвечающий может принять его или отклонить. Если отвечающий принимает предложение, деньги делятся в соответствии с ним; если отвечающий отклоняет предложение, оба игрока не получают ничего. Оба игрока заранее знают о последствиях принятия или отклонения предложения.

Анализ равновесия

Для облегчения изложения можно рассмотреть простой пример, проиллюстрированный выше, где предлагающий имеет два варианта: справедливое разделение или несправедливое разделение. Аргумент, представленный в этом разделе, можно расширить на более общий случай, когда предлагающий может выбирать из множества различных вариантов разделения. Равновесие Нэша – это набор стратегий (одна для предлагающего и одна для отвечающего в данном случае), при котором ни одна из сторон не может улучшить свою выгоду, изменив свою стратегию. Если предлагающий всегда делает несправедливое предложение, отвечающему выгоднее всегда принимать его, а предлагающий максимизирует свою выгоду. Хотя отвечающему всегда выгодно принимать даже несправедливые предложения, он может выбрать стратегию, при которой достаточно часто отклоняет несправедливые разделения, чтобы побудить предлагающего всегда делать справедливое предложение. Любое изменение стратегии со стороны предлагающего снизит его выгоду. Любое изменение стратегии отвечающего приведет к той же или меньшей выгоде. Таким образом, для этой игры существует два набора равновесий Нэша: предлагающий всегда делает несправедливое предложение, а отвечающий всегда принимает несправедливое предложение (предлагающий никогда не делает справедливое предложение, поэтому отвечающий может принимать справедливые предложения с любой частотой, не влияя на среднюю выгоду); предлагающий всегда делает справедливое предложение, а отвечающий достаточно часто отклоняет несправедливые предложения, чтобы справедливые предложения были по крайней мере столь же выгодны, как несправедливые, и всегда принимает справедливые предложения. Однако только первый набор равновесий Нэша удовлетворяет более строгой концепции равновесия – подигровому совершенству. Игру можно рассматривать как состоящую из двух подигр: подигры, в которой предлагающий делает справедливое предложение, и подигры, в которой предлагающий делает несправедливое предложение. Подигровое совершенное равновесие возникает, когда в каждой подигре существует равновесие Нэша, от которого у игроков нет стимула отклоняться. В обеих подиграх отвечающему выгодно принять предложение. Следовательно, второй набор равновесий Нэша, описанный выше, не является подигрово совершенным: отвечающий может выбрать лучшую стратегию для одной из подигр.

For ease of exposition, the simple example illustrated above can be considered, where the proposer has two options: a fair split, or an unfair split. The argument given in this section can be extended to the more general case where the proposer can choose from many different splits. A Nash equilibrium is a set of strategies (one for the proposer and one for the responder in this case), where no individual party can improve their reward by changing strategy. If the proposer always makes an unfair offer, the responder will do best by always accepting the offer, and the proposer will maximize their reward. Although it always benefits the responder to accept even unfair offers, the responder can adopt a strategy that rejects unfair splits often enough to induce the proposer to always make a fair offer. Any change in strategy by the proposer will lower their reward. Any change in strategy by the responder will result in the same reward or less. Thus, there are two sets of Nash equilibria for this game:
The proposer always makes an unfair offer, and the responder always accepts an unfair offer. (The proposer never gives a fair offer so the responder can accept fair offers with any frequency without affecting the average reward.) The proposer always makes a fair offer. The responder rejects unfair offers often enough to make fair offers at least as profitable as unfair offers, and always accepts fair offers. However, only the first set of Nash equilibria satisfies a more restrictive equilibrium concept, subgame perfection. The game can be viewed as having two subgames: the subgame where the proposer makes a fair offer, and the subgame where the proposer makes an unfair offer. A perfect subgame equilibrium occurs when there are Nash Equilibria in every subgame, that players have no incentive to deviate from. In both subgames, it benefits the responder to accept the offer. So, the second set of Nash equilibria above is not subgame perfect: the responder can choose a better strategy for one of the subgames.

Многозначные или непрерывные стратегии

В простейшей версии игры в ультиматум у предлагающего есть две возможные стратегии: справедливая и несправедливая. Более реалистичная версия допускает множество возможных предложений. Например, разделяемым предметом может быть долларовая купюра стоимостью 100 центов, в этом случае множество стратегий предлагающего будет состоять из всех целых чисел от 0 до 100 включительно, определяющих его предложение S. Это приведёт к двум совершенным подигровым равновесиям: (Предлагающий: S=0, Принимающий: Принимает), которое является слабым равновесием, поскольку принимающий будет безразличен между своими двумя возможными стратегиями; и сильному (Предлагающий: S=1, Принимающий: Принимает, если S>=1 и Отклоняет, если S=0). Игра в ультиматум также часто моделируется с использованием непрерывного множества стратегий. Предположим, предлагающий выбирает долю S пирога для передачи получателю, где S может быть любым действительным числом между 0 и 1 включительно. Если получатель принимает предложение, выигрыш предлагающего равен (1-S), а выигрыш получателя – S. Если получатель отклоняет предложение, оба игрока получают ноль. Уникальное совершенное подигровое равновесие – (S=0, Принимает). Оно является слабым, поскольку выигрыш получателя равен нулю, независимо от того, принимает он или отклоняет предложение. Никакая доля с S > 0 не является совершенным подигровым равновесием, поскольку предлагающий отклонится к S' = S - ε для некоторого малого числа ε, и оптимальным ответом получателя всё равно будет принятие. Слабое равновесие является следствием непрерывности пространства стратегий.

Результаты экспериментов

Первый экспериментальный анализ игры в ультиматум был проведен Вернером Гютом, Рольфом Шмиттбергером и Берндом Шварцем: их эксперименты широко воспроизводились в различных условиях. При проведении игры между членами одной социальной группы (например, деревни, племени, нации, человечества) люди предлагают "справедливое" (то есть 50:50) разделение, а предложения менее 30% часто отклоняются. Одно ограниченное исследование монозиготных и дизиготных близнецов предполагает, что генетическая вариативность может оказывать влияние на реакцию на несправедливые предложения, хотя в этом исследовании не были использованы надлежащие контролируемые факторы для учета различий в окружающей среде. Также было установлено, что отсрочка принятия решения респондентом приводит к тому, что люди чаще соглашаются на "несправедливые" предложения. Обычные шимпанзе демонстрировали поведение, сходное с человеческим, предлагая справедливые варианты в одной из версий игры в ультиматум, предполагающей непосредственное взаимодействие между шимпанзе. Однако другое исследование, опубликованное также в ноябре 2012 года, показало, что оба вида шимпанзе (обычные шимпанзе и бонобо) не отклоняли несправедливые предложения, используя механическое устройство.

Межкультурные различия

Некоторые исследования выявили значительные различия между культурами в тех предложениях, которые с наибольшей вероятностью будут приняты, и в тех, которые с наибольшей вероятностью максимизируют доход предлагающего. В одном исследовании, охватившем 15 небольших сообществ, предлагающие в культурах, где распространена практика дарения, чаще делали высокие предложения, а отвечающие чаще отклоняли высокие предложения, несмотря на анонимность. В то же время, в других обществах низкие предложения ожидались и принимались, что, по мнению авторов, было связано с тем, как дарение и получение связаны с социальным статусом в каждой группе. Предлагающие и отвечающие из стран WEIRD (западных, образованных, индустриализованных, богатых, демократических) обществ с наибольшей вероятностью придут к равному разделу.

Эффекты рамки

Некоторые исследования выявили значительное влияние фрейминга на результаты игр. Установлено, что результаты меняются в зависимости от того, как описывается роль предлагающего – как дающего, разделяющего или забирающего, а также от того, как характеризуется сама игра – как неожиданная прибыль или обычная транзакция.

Пояснения

Очень смешанные результаты, наряду с аналогичными результатами в игре диктатора, были восприняты как свидетельства в пользу и против предположений Homo economicus о рациональных, максимизирующих полезность, индивидуальных решениях. Поскольку индивид, отклоняющий положительное предложение, выбирает не получить ничего вместо чего-то, он не обязательно действует исключительно ради максимизации экономической выгоды, если только не учитывать экономические аспекты социальных, психологических и методологических факторов (таких как эффект наблюдателя). Было предпринято несколько попыток объяснить такое поведение. Некоторые предполагают, что индивиды максимизируют ожидаемую полезность, однако деньги не конвертируются напрямую в ожидаемую полезность. Возможно, индивиды получают психологическое удовлетворение от наказания или испытывают психологический дискомфорт от принятия низкого предложения. Также возможно, что второй игрок, обладая правом отклонить предложение, использует эту власть как рычаг воздействия на первого игрока, мотивируя его на справедливость. Классическое объяснение игры с ультиматумом как хорошо разработанного эксперимента, приближающего к общему поведению, часто приводит к выводу, что рациональное поведение в предположении в определенной степени верно, но должно включать дополнительные векторы принятия решений. Поведенческие экономические и психологические теории предполагают, что вторые игроки, отклоняющие предложения менее 50% от суммы на кону, делают это по одной из двух причин. Согласно теории альтруистического наказания, отклонения происходят из альтруизма: люди отклоняют несправедливые предложения, чтобы преподать первый стороне урок и тем самым снизить вероятность несправедливого предложения в будущем. Таким образом, отклонения совершаются в интересах второго игрока в будущем или других людей в будущем. В отличие от этого, теория самоконтроля предполагает, что отклонения являются следствием неспособности подавить желание наказать первого игрока за несправедливое предложение. Morewedge, Krishnamurti и Ariely (2014) обнаружили, что участники в состоянии алкогольного опьянения чаще отклоняют несправедливые предложения, чем трезвые участники. Поскольку опьянение усиливает преобладающую реакцию принимающих решения, этот результат подтверждает теорию самоконтроля, а не теорию альтруистического наказания. Другие исследования в области социальной когнитивной нейробиологии поддерживают эти выводы. Однако несколько конкурирующих моделей предлагают способы включения культурных предпочтений игроков в оптимизированную функцию полезности таким образом, чтобы сохранить агента, максимизирующего полезность, как характеристику микроэкономики. Например, исследователи обнаружили, что монгольские предлагающие склонны предлагать равные доли, несмотря на то, что знают, что крайне неравные доли почти всегда принимаются. Другие предполагают, что социальный статус отвечающего может быть частью выигрыша. Еще один способ интеграции вывода с максимизацией полезности – это некоторая форма модели неприятия неравенства (предпочтение справедливости). Даже в анонимных однократных ситуациях экономическая теория предполагает, что минимальный денежный перевод и принятие отклоняются более чем 80% игроков. Объяснение, которое изначально было довольно популярным, – это модель «обучения», в которой предполагалось, что предложения предлагающих будут снижаться к совершенному равновесию Нэша в подигре (почти к нулю) по мере освоения стратегии игры; такая тенденция к снижению наблюдается и в других повторяющихся играх. Однако это объяснение (ограниченная рациональность) сейчас предлагается реже в свете последующих эмпирических данных. Была выдвинута гипотеза (например, Джеймсом Суровецки), что крайне неравные распределения отклоняются только потому, что абсолютная сумма предложения невелика. Суть в том, что если сумма к разделу составляет 10 миллионов долларов, то разделение 9:1, вероятно, будет принято, а не отклонено предложение в 1 миллион долларов. По сути, это объяснение утверждает, что абсолютная величина наделения недостаточно значительна для обеспечения стратегически оптимального поведения. Однако было проведено множество экспериментов, в которых предлагаемая сумма была существенной: исследования Кэмерона и Хоффмана и др. показали, что более высокие ставки заставляют предложения приближаться к равному разделу, даже в игре на 100 долларов США, проводимой в Индонезии, где средний доход на душу населения намного ниже, чем в Соединенных Штатах. Отклонения, как сообщается, не зависят от ставок на этом уровне, причем предложения в 30 долларов США отклоняются в Индонезии так же, как и в Соединенных Штатах, хотя это эквивалентно двухнедельной заработной плате в Индонезии. Однако исследование 2011 года со ставками до 40 недель заработной платы в Индии показало, что «по мере увеличения ставок частота отклонений приближается к нулю». Стоит отметить, что инструкции, предоставленные предлагающим в этом исследовании, прямо указывали: «если цель отвечающего – заработать как можно больше денег с эксперимента, он должен принять любое предложение, которое дает ему положительный доход, каким бы низким он ни был», тем самым представляя игру исключительно в денежном выражении.

The highly mixed results, along with similar results in the dictator game, have been taken as both evidence for and against the Homo economicus assumptions of rational, utility maximizing, individual decisions. Since an individual who rejects a positive offer is choosing to get nothing rather than something, that individual must not be acting solely to maximize their economic gain, unless one incorporates economic applications of social, psychological, and methodological factors (such as the observer effect). Several attempts have been made to explain this behavior. Some suggest that individuals are maximizing their expected utility, but money does not translate directly into expected utility. Perhaps individuals get some psychological benefit from engaging in punishment or receive some psychological harm from accepting a low offer. It could also be the case that the second player, by having the power to reject the offer, uses such power as leverage against the first player, thus motivating them to be fair. The classical explanation of the ultimatum game as a well formed experiment approximating general behaviour often leads to a conclusion that the rational behavior in assumption is accurate to a degree, but must encompass additional vectors of decision making. Behavioral economic and psychological accounts suggest that second players who reject offers less than 50% of the amount at stake do so for one of two reasons. An altruistic punishment account suggests that rejections occur out of altruism: people reject unfair offers to teach the first player a lesson and thereby reduce the likelihood that the player will make an unfair offer in the future. Thus, rejections are made to benefit the second player in the future, or other people in the future. By contrast, a self control account suggests that rejections constitute a failure to inhibit a desire to punish the first player for making an unfair offer. Morewedge, Krishnamurti, and Ariely (2014) found that intoxicated participants were more likely to reject unfair offers than sober participants. As intoxication tends to exacerbate decision makers' prepotent response, this result provides support for the self control account, rather than the altruistic punishment account. Other research from social cognitive neuroscience supports this finding. However, several competing models suggest ways to bring the cultural preferences of the players within the optimized utility function of the players in such a way as to preserve the utility maximizing agent as a feature of microeconomics. For example, researchers have found that Mongolian proposers tend to offer even splits despite knowing that very unequal splits are almost always accepted. Others have proposed the social status of the responder may be part of the payoff. Another way of integrating the conclusion with utility maximization is some form of inequity aversion model (preference for fairness). Even in anonymous one shot settings, the economic theory suggested outcome of minimum money transfer and acceptance is rejected by over 80% of the players. An explanation which was originally quite popular was the "learning" model, in which it was hypothesized that proposers' offers would decay towards the sub game perfect Nash equilibrium (almost zero) as they mastered the strategy of the game; this decay tends to be seen in other iterated games. However, this explanation (bounded rationality) is less commonly offered now, in light of subsequent empirical evidence. It has been hypothesized (e. g. by James Surowiecki) that very unequal allocations are rejected only because the absolute amount of the offer is low. The concept here is that if the amount to be split were 10 million dollars, a 9:1 split would probably be accepted rather than rejecting a 1 million dollar offer. Essentially, this explanation says that the absolute amount of the endowment is not significant enough to produce strategically optimal behaviour. However, many experiments have been performed where the amount offered was substantial: studies by Cameron and Hoffman et al. have found that higher stakes cause offers to approach closer to an even split, even in a US$100 game played in Indonesia, where average per capita income is much lower than in the United States. Rejections are reportedly independent of the stakes at this level, with US$30 offers being turned down in Indonesia, as in the United States, even though this equates to two weeks' wages in Indonesia. However, 2011 research with stakes of up to 40 weeks' wages in India showed that "as stakes increase, rejection rates approach zero". It is worth noting that the instructions offered to proposers in this study explicitly state, "if the responder's goal is to earn as much money as possible from the experiment, they should accept any offer that gives them positive earnings, no matter how low," thus framing the game in purely monetary terms.

Неврологические объяснения

В игре с ультиматумом щедрые предложения (предложения, превышающие минимально приемлемое) делаются довольно часто. Зак, Стэнтон и Ахмади (2007) показали, что два фактора могут объяснить щедрые предложения: эмпатия и способность принимать точку зрения другого человека. Они варьировали уровень эмпатии, вводя участникам интраназальный окситоцин или плацебо (вслепую). На способность принимать точку зрения повлияли, попросив участников делать выбор как за игрока 1, так и за игрока 2 в игре с ультиматумом, с последующим случайным назначением в одну из этих ролей. Окситоцин увеличил количество щедрых предложений на 80% по сравнению с плацебо. Окситоцин не повлиял на минимальный порог принятия или на предложения в игре диктатора (предназначенной для измерения альтруизма). Это указывает на то, что эмоции являются движущей силой щедрости. Отказы в игре с ультиматумом, как было показано, вызываются негативными физиологическими реакциями на скупые предложения. В эксперименте по нейровизуализации, проведенном Sanfey et al., скупые предложения (по сравнению со справедливыми и чрезмерно справедливыми предложениями) дифференциально активировали несколько областей мозга, особенно переднюю островковую кору, область, связанную с висцеральным отвращением. Если игрок 1 в игре с ультиматумом предвидит такую реакцию на скупое предложение, он может быть более щедрым. У опытных буддийских медитаторов наблюдается увеличение рациональных решений в игре. Данные фМРТ показывают, что медитаторы активируют заднюю островковую кору (связанную с интероцепцией) во время несправедливых предложений и демонстрируют сниженную активность в передней островковой коре по сравнению с контрольной группой. Люди с искусственно пониженным уровнем серотонина чаще отвергают несправедливые предложения, чем игроки с нормальным уровнем серотонина. У людей с поражениями вентромедиальной префронтальной коры чаще наблюдается отторжение несправедливых предложений. Предполагается, что это связано с абстрактностью и отсроченностью вознаграждения, а не с усиленной эмоциональной реакцией на несправедливость предложения.

Эволюционная теория игр

Другие авторы использовали теорию эволюционных игр для объяснения поведения в игре с ультиматумом. Простые эволюционные модели, например, динамика репликатора, не способны объяснить эволюцию справедливых предложений или отказов. Эти авторы предпринимали попытки разработать все более сложные модели для объяснения справедливого поведения.

Социологические применения

Игра в ультиматумы важна с социологической точки зрения, поскольку она демонстрирует нежелание людей мириться с несправедливостью. Склонность отказываться от небольших предложений также может быть связана с понятием чести. Степень терпимости к различным вариантам распределения вознаграждения в "совместных" начинаниях определяет неравенство, которое, как показывают измерения, экспоненциально возрастает на разных уровнях управления в крупных корпорациях. См. также: Неприятие неравенства в компаниях.

История

Раннее описание игры в ультиматум дано нобелевским лауреатом Джоном Харсаньи в 1961 году, который ссылается на книгу Томаса Шеллинга «Стратегия конфликта» (1960) и его решение с помощью методов доминирования. Харсаньи пишет:

«Важным применением этого принципа является игра в ультиматум, то есть игра, в которой один из игроков может твердо взять на себя обязательство заранее, под серьезным штрафом, настаивать при любых обстоятельствах на определенном требовании (которое называется его ультиматумом). Следовательно, первому игроку рационально взять на себя обязательство по своему максимальному требованию, то есть самому крайнему допустимому требованию, которое он может выдвинуть». Джош Кларк считает, что современный интерес к этой игре связан с именем Ариэля Рубинштейна, однако наиболее известной работой является экспериментальный анализ 1982 года, проведенный Гютом, Шмиттбергером и Шварце. Результаты тестирования игры в ультиматум оспорили традиционный экономический принцип о том, что потребители рациональны и стремятся к максимальной выгоде. Это положило начало ряду исследований в области психологии человека. С момента разработки игры в ультиматум она стала популярным экономическим экспериментом и, как отмечалось в статье Мартина Новака, Карен М. Пейдж и Карла Сигмунда, «быстро набирает популярность, догоняя дилемму заключенного как наглядный пример, казалось бы, иррационального поведения».

Варианты

В "конкурентной игре ультиматумов" есть множество предлагающих, и отвечающий может принять только одно из их предложений: при наличии более трех (наивных) предлагающих отвечающему обычно предлагают почти весь надел (что было бы равновесием Нэша при условии отсутствия сговора между предлагающими). В "игре ультиматумов с возможностью дать чаевые" допускается передача чаевых от отвечающего предлагающему – особенность игры на доверие, и чистые разделы, как правило, становятся более справедливыми. "Обратная игра ультиматумов" предоставляет больше власти отвечающему, давая предлагающему право предлагать столько вариантов разделения надела, сколько он захочет. Теперь игра заканчивается только тогда, когда отвечающий принимает предложение или отказывается от игры, и поэтому предлагающий обычно получает немного меньше половины первоначального надела. Ультиматумные игры с неполной информацией: некоторые авторы изучали варианты игры ультиматумов, в которых либо предлагающий, либо отвечающий обладают частной информацией о размере разделяемого пирога. Эти эксперименты связывают игру ультиматумов с проблемами "принципал-агент", изучаемыми в теории контрактов. "Пиратская игра" иллюстрирует вариант с более чем двумя участниками, обладающими правом голоса, как описано в книге Иэна Стюарта "Задача для пиратов".