Введение
Категория, единственными морфизмами которой являются тождественные морфизмы. В математике, в области теории категорий, дискретная категория – это категория, единственными морфизмами которой являются тождественные морфизмы: homC(X, X) = {idX} для всех объектов X, homC(X, Y) = ∅ для всех объектов X ≠ Y. Поскольку по аксиомам всегда существует тождественный морфизм между одним и тем же объектом, мы можем выразить вышесказанное как условие относительно кардинальности множества hom: |homC(X, Y)| равно 1, когда X = Y, и 0, когда X ≠ Y. Некоторые авторы предпочитают более слабое определение, согласно которому дискретная категория должна лишь быть эквивалентна такой категории.
In mathematics, in the field of category theory, a discrete category is a category whose only morphisms are the identity morphisms:
homC(X, X) = {idX} for all objects X
homC(X, Y) = ∅ for all objects X ≠ Y
Since by axioms, there is always the identity morphism between the same object, we can express the above as condition on the cardinality of the hom set
| homC(X, Y) | is 1 when X = Y and 0 when X is not equal to Y. Some authors prefer a weaker notion, where a discrete category merely needs to be equivalent to such a category.
Простые факты
Любой класс объектов определяет дискретную категорию, если дополнить его отображениями тождественности. Любая подкатегория дискретной категории является дискретной. Также категория является дискретной тогда и только тогда, когда все её подкатегории полные. Предел любого функтора из дискретной категории в другую категорию называется произведением, а копредел – сопроизведением. Таким образом, например, дискретная категория, состоящая всего из двух объектов, может использоваться как диаграмма или диагональный функтор для определения произведения или сопроизведения двух объектов. Альтернативно, для произвольной категории C и дискретной категории 2 можно рассмотреть категорию функторов C². Диаграммы из 2 в этой категории – это пары объектов, а предел этой диаграммы – произведение. Функтор из множеств в категории, который отображает множество в соответствующую дискретную категорию, является левым сопряжённым к функтору, отображающему малую категорию в её множество объектов. (О правом сопряжённом см. недискретную категорию.)