Основы евклидовой геометрии: аксиомы Гильберта

Введение

Основа евклидовой геометрии. Аксиомы Гильберта — это набор из 20 постулатов, предложенных Давидом Гильбертом в 1899 году в его книге «Grundlagen der Geometrie» (пер. «Основания геометрии») в качестве основания для современного подхода к евклидовой геометрии. Другими известными современными аксиоматизациями евклидовой геометрии являются аксиоматизации Альфреда Тарского и Джорджа Биркоффа.

I. Появление

Для каждых двух точек A и B существует прямая a, которая содержит обе эти точки. Мы пишем AB = a или BA = a. Вместо "содержит" мы можем также использовать другие выражения; например, мы можем сказать "точка A лежит на прямой a", "точка A принадлежит прямой a", "прямая a проходит через точки A и B", "прямая a соединяет точки A и B" и т. д. Если точка A лежит на прямой a и одновременно на другой прямой b, мы также используем выражение: "прямые a и b имеют общую точку A" и т. д. Для каждых двух точек существует не более одной прямой, содержащей обе эти точки; следовательно, если AB = a и AC = a, где B ≠ C, то также BC = a. На прямой существует по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. Для каждых трех точек A, B, C, не расположенных на одной прямой, существует плоскость α, содержащая все эти точки. Для каждой плоскости существует точка, лежащая на ней. Мы пишем ABC = α. Мы также используем выражения: "точки A, B, C лежат в плоскости α"; "точки A, B, C принадлежат плоскости α" и т. д. Для каждых трех точек A, B, C, не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, содержащей все эти точки. Если две точки A и B прямой a лежат в плоскости α, то каждая точка прямой a лежит в плоскости α. В этом случае мы говорим: "прямая a лежит в плоскости α" и т. д. Если две плоскости α и β имеют общую точку A, то у них есть по крайней мере вторая общая точка B. Существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

II. Порядок

Если точка B лежит между точками A и C, то B также лежит между точками C и A, и существует прямая, содержащая различные точки A, B и C. Если A и C – две точки, то на прямой AC существует по крайней мере одна точка B, такая что C лежит между A и B. Из любых трех точек, лежащих на одной прямой, не более одной лежит между двумя другими. Аксиома Паша: Пусть A, B, C – три точки, не лежащие на одной прямой, и пусть a – прямая, лежащая в плоскости ABC и не проходящая через какие-либо из точек A, B и C. Тогда, если прямая a проходит через точку отрезка AB, она также пройдет через точку отрезка BC или точку отрезка AC.

III. Соответствие

Если A и B – две точки на прямой a, и если A′ – точка на той же или другой прямой a′, то на заданной стороне точки A′ на прямой a′ мы всегда можем найти точку B′, так что отрезок AB конгруэнтен отрезку A′B′. Мы обозначаем это соотношение как AB ≅ A′B′. Каждый отрезок конгруэнтен самому себе, то есть всегда выполняется AB ≅ AB. Мы можем кратко сформулировать вышеуказанную аксиому, сказав, что каждый отрезок может быть отложен на заданной стороне заданной точки заданной прямой по крайней мере одним способом. Если отрезок AB конгруэнтен отрезку A′B′ и также конгруэнтен отрезку A″B″, то отрезок A′B′ конгруэнтен отрезку A″B″; то есть, если AB ≅ A′B′ и AB ≅ A″B″, то A′B′ ≅ A″B″. Пусть AB и BC – два отрезка прямой a, не имеющие общих точек, кроме точки B, и, кроме того, пусть A′B′ и B′C′ – два отрезка той же или другой прямой a′, также не имеющие общих точек, кроме B′. Тогда, если AB ≅ A′B′ и BC ≅ B′C′, то AC ≅ A′C′. Пусть угол ∠(h,k) задан в плоскости α и прямая a′ задана в плоскости α′. Предположим также, что в плоскости α′ определена определенная сторона прямой a′. Обозначим h′ луч прямой a′, исходящий из точки O′ этой прямой. Тогда в плоскости α′ существует единственный луч k′, такой что угол ∠(h, k) или ∠(k, h) конгруэнтен углу 1=∠(h′, k′) и при этом все внутренние точки угла 1=∠(h′, k′) лежат на заданной стороне a′. Это соотношение выражается обозначением ∠(h, k) ≅ ∠(h′, k′). Если угол ∠(h, k) конгруэнтен углу ∠(h′, k′) и углу ∠(h″, k″), то угол ∠(h′, k′) конгруэнтен углу ∠(h″, k″); то есть, если ∠(h, k) ≅ ∠(h′, k′) и ∠(h, k) ≅ ∠(h″, k″), то ∠(h′, k′) ≅ ∠(h″, k″). Если в двух треугольниках ABC и A′B′C′ выполняются конгруэнтности AB ≅ A′B′, AC ≅ A′C′, ∠BAC ≅ ∠B′A′C′, то выполняется конгруэнтность ∠ABC ≅ ∠A′B′C′ (и, при изменении обозначений, следует, что ∠ACB ≅ ∠A′C′B′ также выполняется).

If A, B are two points on a line a, and if A′ is a point upon the same or another line a′, then, upon a given side of A′ on the straight line a′, we can always find a point B′ so that the segment AB is congruent to the segment A′B′. We indicate this relation by writing AB ≅ A′B′. Every segment is congruent to itself; that is, we always have AB ≅ AB. We can state the above axiom briefly by saying that every segment can be laid off upon a given side of a given point of a given straight line in at least one way. If a segment AB is congruent to the segment A′B′ and also to the segment A″B″, then the segment A′B′ is congruent to the segment A″B″; that is, if AB ≅ A′B′ and AB ≅ A″B″, then A′B′ ≅ A″B″. Let AB and BC be two segments of a line a which have no points in common aside from the point B, and, furthermore, let A′B′ and B′C′ be two segments of the same or of another line a′ having, likewise, no point other than B′ in common. Then, if AB ≅ A′B′ and BC ≅ B′C′, we have AC ≅ A′C′. Let an angle ∠ (h,k) be given in the plane α and let a line a′ be given in a plane α′. Suppose also that, in the plane α′, a definite side of the straight line a′ be assigned. Denote by h′ a ray of the straight line a′ emanating from a point O′ of this line. Then in the plane α′ there is one and only one ray k′ such that the angle ∠ (h, k), or ∠ (k, h), is congruent to the angle 1=∠ (h′, k′) and at the same time all interior points of the angle 1=∠ (h′, k′) lie upon the given side of a′. We express this relation by means of the notation ∠ (h, k) ≅ ∠ (h′, k′). If the angle ∠ (h, k) is congruent to the angle ∠ (h′, k′) and to the angle ∠ (h″, k″), then the angle ∠ (h′, k′) is congruent to the angle ∠ (h″, k″); that is to say, if ∠ (h, k) ≅ ∠ (h′, k′) and ∠ (h, k) ≅ ∠ (h″, k″), then ∠ (h′, k′) ≅ ∠ (h″, k″). If, in the two triangles ABC and A′B′C′ the congruences AB ≅ A′B′, AC ≅ A′C′, ∠BAC ≅ ∠B′A′C′ hold, then the congruence ∠ABC ≅ ∠A′B′C′ holds (and, by a change of notation, it follows that ∠ACB ≅ ∠A′C′B′ also holds).

IV. Параллели

Аксиома Евклида: Пусть `a` — произвольная прямая, а `A` — точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости существует не более одной прямой, проходящей через точку `A` и не пересекающей прямую `a`.

V. Непрерывность

Аксиома Архимеда: Если AB и CD – любые отрезки, то существует число n, такое что n отрезков CD, последовательно приложенных к отрезку AB вдоль луча, исходящего из A и проходящего через B, перейдут точку B.
Аксиома полноты линии: Невозможно расширить множество точек на прямой, сохраняя их порядок и отношения конгруэнтности, так, чтобы сохранялись отношения между исходными элементами, а также фундаментальные свойства порядка и конгруэнтности, вытекающие из аксиом I, III и V 1.

Применение

Эти аксиомы аксиоматизируют евклидову стереометрию. Удаление пяти аксиом, в существенной мере упоминающих "плоскость", а именно I.4–8, и модификация аксиом III.4 и IV.1 для исключения упоминаний плоскостей, приводит к аксиоматизации евклидовой планиметрии. Аксиомы Гильберта, в отличие от аксиом Тарского, не образуют теорию первого порядка, поскольку аксиомы V.1–2 не могут быть выражены средствами логики первого порядка. Ценность «Основ геометрии» Гильберта была скорее методологической, чем содержательной или педагогической. Значительный вклад в аксиоматику геометрии внесли также Мориц Паш, Марио Пьери, Освальд Веблен, Эдвард Вермилье Хантингтон, Гилберт Робинсон и Генри Джордж Фордер. Ценность «Основ геометрии» заключается в его новаторском подходе к метаматематическим вопросам, включая использование моделей для доказательства независимости аксиом, а также в необходимости доказательства непротиворечивости и полноты аксиоматической системы. Математика в двадцатом веке превратилась в сеть аксиоматических формальных систем. Это во многом было обусловлено примером, заданным Гильбертом в «Основах геометрии». Однако попытка 2003 года (Meikle и Fleuriot) формализовать «Основы геометрии» с помощью компьютера показала, что некоторые доказательства Гильберта, по-видимому, опираются на диаграммы и геометрическую интуицию, что выявило некоторые потенциальные неоднозначности и упущения в его определениях.