Бесконечная делимость: от атомов до парадоксов Зенона.

Введение

Бесконечная делимость возникает в различных областях философии, физики, экономики, теории порядка (раздел математики) и теории вероятностей (также раздел математики). Можно говорить о бесконечной делимости или её отсутствии в отношении материи, пространства, времени, денег или абстрактных математических объектов, таких как континуум.

В философии

Происхождение этой идеи в западной традиции можно проследить до V века до нашей эры, начиная с древнегреческого досократического философа Демокрита и его учителя Левкиппа, которые выдвинули теорию о делимости материи за пределы воспринимаемого чувствами, вплоть до неделимого атома. Индийский философ Махарши Канада также предложил атомистическую теорию, однако точные даты его жизни остаются неопределенными, варьируясь от VI до II века до нашей эры. Около 500 г. до н.э. он предположил, что при непрерывном делении материи (падарт) мы будем получать все более мелкие частицы. В конечном итоге наступит момент, когда мы достигнем самых маленьких частиц, дальнейшее деление которых будет невозможно. Он назвал эти частицы Парману. Другой индийский философ, Пакудха Катьяяна, развил эту доктрину, утверждая, что эти частицы обычно существуют в комбинированном состоянии, образуя различные формы материи. Атомизм исследуется в диалоге Платона «Тимей». Аристотель доказывает бесконечную делимость как длины, так и времени, тем самым опровергая атомизм. Эндрю Пайл дает четкое изложение концепции бесконечной делимости в первых главах своей книги «Атомизм и его критики». Там он показывает, что бесконечная делимость подразумевает существование некоторого протяженного объекта, например, яблока, которое можно разделить бесконечное число раз, при этом деление никогда не доходит до точки или атомов какого-либо рода. Многие философы полагают, что бесконечная делимость предполагает либо существование бесконечного множества элементов (поскольку бесконечное число делений требует бесконечного множества объектов), либо (реже) элементов точечного размера, либо и то, и другое. Пайл утверждает, что математика бесконечно делящихся протяжений не предполагает ни того, ни другого – существует бесконечное число делений, но лишь конечное число объектов, и деление никогда не доходит до элементов, меньших точки. Зенон задавался вопросом, как стрела может двигаться, если в каждый момент времени она находится в определенной точке и неподвижна. Однако рассуждения Зенона ошибочны, поскольку он утверждает, что если все, занимая равное пространство, находится в состоянии покоя, а движущееся тело всегда занимает такое пространство в любой момент времени, то летящая стрела, следовательно, неподвижна. Это неверно, поскольку время не состоит из неделимых мгновений, как и любая другая величина не состоит из неделимых частей. Альфред Норт Уайтхед, рассуждая о парадоксе Зенона о летящей стреле, пишет, что «бесконечное число актов становления может произойти за конечное время, если каждый последующий акт меньше в сходящейся прогрессии».

The origin of the idea in the Western tradition can be traced to the 5th century BCE starting with the Ancient Greek pre Socratic philosopher Democritus and his teacher Leucippus, who theorized matter's divisibility beyond what can be perceived by the senses until ultimately ending at an indivisible atom. The Indian philosopher, Maharshi Kanada also proposed an atomistic theory, however there is ambiguity around when this philosopher lived, ranging from sometime between the 6th century to 2nd century BCE. Around 500 BC, he postulated that if we go on dividing matter (padarth), we shall get smaller and smaller particles. Ultimately, a time will come when we shall come across the smallest particles beyond which further division will not be possible. He named these particles Parmanu. Another Indian philosopher, Pakudha Katyayama, elaborated this doctrine and said that these particles normally exist in a combined form which gives us various forms of matter. Atomism is explored in Plato's dialogue Timaeus. Aristotle proves that both length and time are infinitely divisible, refuting atomism. Andrew Pyle gives a lucid account of infinite divisibility in the first few pages of his Atomism and its Critics. There he shows how infinite divisibility involves the idea that there is some extended item, such as an apple, which can be divided infinitely many times, where one never divides down to point, or to atoms of any sort. Many philosophers claim that infinite divisibility involves either a collection of an infinite number of items (since there are infinite divisions, there must be an infinite collection of objects), or (more rarely), point sized items, or both. Pyle states that the mathematics of infinitely divisible extensions involve neither of these — that there are infinite divisions, but only finite collections of objects and they never are divided down to point extension less items. Zeno questioned how an arrow can move if at one moment it is here and motionless and at a later moment be somewhere else and motionless. Zeno's reasoning, however, is fallacious, when he says that if everything when it occupies an equal space is at rest, and if that which is in locomotion is always occupying such a space at any moment, the flying arrow is therefore motionless. This is false, for time is not composed of indivisible moments any more than any other magnitude is composed of indivisibles.|Aristotle|Physics VI:9, 239b5
In reference to Zeno's paradox of the arrow in flight, Alfred North Whitehead writes that "an infinite number of acts of becoming may take place in a finite time if each subsequent act is smaller in a convergent series":|A. N. Whitehead|Process and Reality

В квантовой физике

До открытия квантовой механики не проводилось различий между вопросом о том, бесконечно ли делима материя, и вопросом о том, можно ли разрезать материю на всё более мелкие части до бесконечности. В результате греческое слово átomos (ἄτομος), буквально означающее «неразрезаемое», обычно переводится как «неделимое». В то время как современный атом действительно поддаётся делению, он фактически неразрезаем: не существует такого разделения пространства, чтобы его части соответствовали материальным частям атома. Иными словами, квантово-механическое описание материи больше не соответствует упрощённой, шаблонной парадигме. Это проливает новый свет на древнюю загадку делимости материи. Множественность материального объекта — количество его частей — зависит не от наличия ограничивающих поверхностей, а от внутренних пространственных отношений (взаимного расположения частей), которые не имеют определённых значений. Согласно Стандартной модели физики частиц, частицы, составляющие атом — кварки и электроны — являются точечными частицами: они не занимают пространство. Однако то, что атом всё же занимает пространство, обусловлено не каким-либо пространственно протяжённым «веществом», которое «занимает пространство» и которое можно было бы разрезать на всё более мелкие части, а неопределённостью его внутренних пространственных отношений. Физическое пространство часто рассматривается как бесконечно делимое: считается, что любой, сколь бы мал он ни был, отрезок пространства можно разделить ещё на более мелкие части. Время также считается бесконечно делимым. Однако, согласно лучшей на сегодняшний день общепринятой теории в физике, Стандартной модели, существует расстояние (называемое длиной Планка, 1.616229(38) × 10−35 метра, названное в честь одного из основоположников квантовой теории, Макса Планка) и, следовательно, интервал времени (время, необходимое свету для преодоления этого расстояния в вакууме, 5.39116(13) × 10−44 секунды, известное как время Планка), при достижении которого Стандартная модель, как ожидается, перестанет работать — фактически определяя наименьший физический масштаб, о котором на данный момент можно делать осмысленные утверждения. Для предсказания физического поведения пространства-времени и фундаментальных частиц на меньших расстояниях требуется новая теория квантовой гравитации, объединяющая до сих пор несовместимые теории квантовой механики и общей теории относительности.

Until the discovery of quantum mechanics, no distinction was made between the question of whether matter is infinitely divisible and the question of whether matter can be cut into smaller parts ad infinitum. As a result, the Greek word átomos (ἄτομος), which literally means "uncuttable", is usually translated as "indivisible". Whereas the modern atom is indeed divisible, it actually is uncuttable: there is no partition of space such that its parts correspond to material parts of the atom. In other words, the quantum mechanical description of matter no longer conforms to the cookie cutter paradigm. This casts fresh light on the ancient conundrum of the divisibility of matter. The multiplicity of a material object—the number of its parts—depends on the existence, not of delimiting surfaces, but of internal spatial relations (relative positions between parts), and these lack determinate values. According to the Standard Model of particle physics, the particles that make up an atom—quarks and electrons—are point particles: they do not take up space. What makes an atom nevertheless take up space is not any spatially extended "stuff" that "occupies space", and that might be cut into smaller and smaller pieces, but the indeterminacy of its internal spatial relations. Physical space is often regarded as infinitely divisible: it is thought that any region in space, no matter how small, could be further split. Time is similarly considered as infinitely divisible. However, according to the best currently accepted theory in physics, The Standard Model, there is a distance (called the Planck length, 1.616229(38)×10−35 metres, named after one of the fathers of Quantum Theory, Max Planck) and therefore a time interval (the amount of time which light takes to traverse that distance in a vacuum, 5.39116(13) × 10−44 seconds, known as the Planck time) at which the Standard Model is expected to break down – effectively making this the smallest physical scale about which meaningful statements can be currently made. To predict the physical behaviour of space time and fundamental particles at smaller distances requires a new theory of Quantum Gravity, which unifies the hitherto incompatible theories of Quantum Mechanics and General Relativity.

В экономике

Один доллар или евро делятся на 100 центов; платить можно только кратно центу. Вполне обычным явлением является то, что цены на некоторые товары, такие как бензин, указываются с точностью до десятой доли цента за галлон или за литр. Если бензин стоит $3,979 за галлон и покупается 10 галлонов, то "дополнительные" 9/10 цента составляют в десять раз больше, то есть "дополнительные" 9 центов, и в этом случае цент оплачивается. Деньги бесконечно делимы в том смысле, что они основаны на системе действительных чисел. Однако современные монеты не делятся (в прошлом некоторые монеты взвешивались при каждой транзакции и считались делимыми без каких-либо ограничений). В каждой сделке существует определенный предел точности, который бесполезен, поскольку такие малые суммы денег незначительны для человека. Чем больше цена, тем важнее может оказаться точность. Например, при покупке миллиона акций покупатель и продавец могут быть заинтересованы в разнице в цене в десятую долю цента, но это лишь их выбор. Все остальное в бизнес-измерениях и выборе также делимо в той степени, в которой это интересно сторонам. Например, финансовая отчетность может быть годовой, квартальной или ежемесячной. Некоторые руководители ведут отчетность по денежным потокам более одного раза в день. Хотя время может делиться бесконечно, данные о ценах на ценные бумаги представляются в дискретные моменты времени. Например, если посмотреть на записи цен на акции 1920-х годов, можно найти цены на конец каждого дня, но, возможно, не через три сотых секунды после 12:47. Однако новый метод теоретически может предоставлять данные в два раза чаще, что не помешает дальнейшему увеличению скорости предоставления информации. Возможно, парадоксально, но техническая математика, применяемая к финансовым рынкам, часто проще, если бесконечно делимое время используется в качестве приближения. Даже в этих случаях выбирается определенная точность, до которой округляются измерения. С точки зрения человеческого взаимодействия, деньги и время делимы, но только до той точки, где дальнейшее деление не имеет ценности, и эту точку невозможно определить точно.

One dollar, or one euro, is divided into 100 cents; one can only pay in increments of a cent. It is quite commonplace for prices of some commodities such as gasoline to be in increments of a tenth of a cent per gallon or per litre. If gasoline costs $3.979 per gallon and one buys 10 gallons, then the "extra" 9/10 of a cent comes to ten times that: an "extra" 9 cents, so the cent in that case gets paid. Money is infinitely divisible in the sense that it is based upon the real number system. However, modern day coins are not divisible (in the past some coins were weighed with each transaction, and were considered divisible with no particular limit in mind). There is a point of precision in each transaction that is useless because such small amounts of money are insignificant to humans. The more the price is multiplied the more the precision could matter. For example, when buying a million shares of stock, the buyer and seller might be interested in a tenth of a cent price difference, but it's only a choice. Everything else in business measurement and choice is similarly divisible to the degree that the parties are interested. For example, financial reports may be reported annually, quarterly, or monthly. Some business managers run cash flow reports more than once per day. Although time may be infinitely divisible, data on securities prices are reported at discrete times. For example, if one looks at records of stock prices in the 1920s, one may find the prices at the end of each day, but perhaps not at three hundredths of a second after 12:47 PM. A new method, however, theoretically, could report at double the rate, which would not prevent further increases of velocity of reporting. Perhaps paradoxically, technical mathematics applied to financial markets is often simpler if infinitely divisible time is used as an approximation. Even in those cases, a precision is chosen with which to work, and measurements are rounded to that approximation. In terms of human interaction, money and time are divisible, but only to the point where further division is not of value, which point cannot be determined exactly.

В теории порядка

Сказать, что поле рациональных чисел бесконечно делимо (т. е. теоретически плотное), означает, что между любыми двумя рациональными числами существует другое рациональное число. В отличие от этого, кольцо целых чисел бесконечно не делимо. Бесконечная делимость не подразумевает отсутствие промежутков: рациональные числа не обладают свойством верхней границы. Это означает, что если бы мы разбили рациональные числа на два непустых множества A и B, где A содержит все рациональные числа, меньшие некоторого иррационального числа (например, π), а B – все рациональные числа, большие его, то в множестве A не будет наибольшего элемента, а в множестве B – наименьшего. Поле действительных чисел, напротив, является одновременно бесконечно делимым и не имеет промежутков. Любое линейно упорядоченное множество, которое бесконечно делимо, не имеет промежутков и содержит более одного элемента, является несчетно бесконечным. Доказательство можно найти в первом доказательстве несчетности Кантора. Бесконечная делимость сама по себе подразумевает бесконечность, но не несчетность, что демонстрируют рациональные числа.

В распределениях вероятности

Если говорить, что распределение вероятностей F на вещественной прямой бесконечно делимо, это означает, что если X – любая случайная величина, имеющая распределение F, то для каждого положительного целого числа n существуют n независимых одинаково распределённых случайных величин X₁, …, Xₙ, сумма которых имеет такое же распределение, как X (эти n других случайных величин обычно не имеют такое же распределение вероятностей, как X). Распределение Пуассона, прерывистое распределение Пуассона, отрицательное биномиальное распределение и гамма-распределение являются примерами бесконечно делимых распределений, как и нормальное распределение, распределение Коши и все остальные члены семейства устойчивых распределений. Скошенное нормальное распределение является примером распределения, не являющегося бесконечно делимым. (См. Domínguez Molina и Rocha Arteaga (2007).) Каждому бесконечно делимому распределению вероятностей естественным образом соответствует процесс Леви, то есть стохастический процесс {Xt : t ≥ 0} со стационарными независимыми приращениями (стационарность означает, что для s < t распределение вероятностей Xt − Xs зависит только от t − s; независимые приращения означают, что эта разность независима от соответствующей разности на любом непересекающемся с [s, t] интервале, и аналогично для любого конечного числа интервалов). Концепция бесконечной делимости распределений вероятностей была введена в 1929 году Бруно де Финетти.