Введение

Система математической теории множеств. Внутренняя теория множеств (IST) — математическая теория множеств, разработанная Эдвардом Нельсоном, которая предоставляет аксиоматическую базу для части нестандартного анализа, предложенного Абрахамом Робинсоном. Вместо добавления новых элементов к действительным числам, подход Нельсона модифицирует аксиоматические основания посредством синтаксического обогащения. Таким образом, аксиомы вводят новый термин «стандартный», который позволяет проводить разграничения, невозможные в рамках обычных аксиом ZFC для множеств. Следовательно, IST является обогащением ZFC: все аксиомы ZFC выполняются для всех классических предикатов, в то время как новый унарный предикат «стандартный» удовлетворяет трем дополнительным аксиомам I, S и T. В частности, можно показать, что подходящие нестандартные элементы в множестве действительных чисел обладают свойствами, соответствующими свойствам бесконечно малых и бесконечно больших элементов. Формулировка Нельсона сделана более понятной для широкого круга математиков, поскольку в ней опущены многие сложности метаматематической логики, которые изначально требовались для строгого доказательства непротиворечивости систем чисел, содержащих бесконечно малые элементы.

Интуитивное обоснование

Хотя ИСТ имеет вполне формальную аксиоматическую схему, описанную ниже, желательно интуитивное обоснование значения термина "стандарт". Это не является частью формальной теории, но служит педагогическим приёмом, который может помочь студенту интерпретировать формализм. Существенное различие, аналогичное понятию определяемых чисел, противопоставляет конечность области понятий, которые мы можем задать и обсудить, безграничной бесконечности множества чисел; сопоставимо с финитизмом. Количество символов, которые можно написать, конечно. Количество математических символов на любой данной странице конечно. Количество страниц математики, которые один математик может создать за свою жизнь, конечно. Любое работоспособное математическое определение неизбежно конечно. Существует лишь конечное число различных объектов, которые математик может определить за свою жизнь. В течение нашей (вероятно, конечной) цивилизации будет лишь конечное число математиков. Следовательно, существует лишь конечное множество целых чисел, которые наша цивилизация может обсудить в течение отведенного ей срока. Сам предел этого множества нам неизвестен, поскольку он зависит от множества случайных культурных факторов. Это ограничение само по себе не подлежит математическому исследованию, но сам факт существования такого ограничения, в то время как множество целых чисел продолжается бесконечно без границ, является математической истиной. Таким образом, термин "стандарт" интуитивно понимается как соответствующий некоторой необходимо конечной части "доступных" целых чисел. Этот аргумент применим к любому бесконечному множеству объектов – можно задать лишь конечное число элементов за конечное время, используя конечное множество символов, и всегда будут существовать элементы, выходящие за пределы нашего терпения и выносливости, как бы мы ни старались. Мы должны признать обилие нестандартных элементов – слишком больших или слишком анонимных для понимания – в любом бесконечном множестве.

Принципы стандартного предиката

Следующие принципы вытекают из вышеуказанной интуитивной мотивации и, следовательно, должны быть выводимы из формальных аксиом. На данный момент мы рассматриваем область обсуждения как привычный набор целых чисел. Любое математическое выражение, которое не использует новый предикат "стандартный" явно или неявно, является внутренней формулой. Любое определение, которое его использует, является внешней формулой. Любое число, однозначно определяемое внутренней формулой, является стандартным (по определению). Нестандартные числа – это именно те, которые не могут быть однозначно определены (из-за ограничений времени и пространства) внутренней формулой. Нестандартные числа неуловимы: каждое из них настолько велико, что им невозможно управлять в десятичной записи или любом другом представлении, явном или подразумеваемом, каким бы гениальным оно ни было. Все, что вам удастся создать, по определению, является лишь очередным стандартным числом. Тем не менее, в любом бесконечном подмножестве N существует (множество) нестандартных целых чисел. Нестандартные числа – это совершенно обычные числа, имеющие десятичные представления, разложения на простые множители и т.д. Любая классическая теорема, применимая к натуральным числам, применима и к нестандартным натуральным числам. Мы создали не новые числа, а новый метод различения существующих чисел. Более того, любая классическая теорема, верная для всех стандартных чисел, обязательно верна для всех натуральных чисел. В противном случае формулировка "наименьшее число, не удовлетворяющее теореме" была бы внутренней формулой, однозначно определяющей нестандартное число. Предикат "нестандартный" является логически непротиворечивым методом для различения больших чисел – обычно используемый термин – "неограниченные". Обратные величины этих неограниченных чисел обязательно будут крайне малыми действительными числами – бесконечно малыми. Чтобы избежать путаницы с другими интерпретациями этих слов, в новых статьях по IST эти слова заменяются конструкциями "i large" и "i small". Конечное число стандартных чисел существует, но требуется осторожность: мы не можем собрать их вместе и утверждать, что результат является хорошо определенным математическим множеством. Это не подтверждается формализмом (интуитивное обоснование заключается в том, что точные границы этого множества меняются со временем и историей). В частности, мы не сможем говорить о наибольшем стандартном числе или наименьшем нестандартном числе. Можно говорить о некотором конечном множестве, содержащем все стандартные числа, но эта неклассическая формулировка может применяться только к нестандартному множеству.

Формальные аксиомы для ИСТ

IST — это аксиоматическая теория в логике первого порядка с равенством в языке, содержащем бинарный предикатный символ ∈ и унарный предикатный символ st(x). Формулы, не содержащие st (то есть формулы обычного языка теории множеств), называются внутренними, а остальные формулы — внешними. Мы используем следующие сокращения:

IST включает в себя все аксиомы теории множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Следует отметить, что схемы разделения и замены ZFC не расширяются на новый язык, они могут использоваться только с внутренними формулами. Кроме того, IST включает три новые схемы аксиом – по одной для каждой буквы в названии теории: идеализация, стандартизация и перенос.

Применяется к отношению ≠

Если S стандартно и конечно, то для отношения R(g, f) мы принимаем: g и f не равны, и g принадлежит S. Поскольку утверждение "Для каждого стандартного конечного множества F существует элемент g в S, такой, что g ≠ f для всех f из F" ложно (такого g не существует), мы можем использовать идеализацию, чтобы заключить, что утверждение "Существует G в S, такой, что G ≠ f для всех стандартных f" также ложно, то есть все элементы S стандартны. Если S бесконечно, то для отношения R(g, f) мы принимаем: g и f не равны, и g принадлежит S. Поскольку утверждение "Для каждого стандартного конечного множества F существует элемент g в S, такой, что g ≠ f для всех f из F" истинно (бесконечное множество S не является подмножеством конечного множества F), мы можем использовать идеализацию, чтобы вывести "Существует G в S, такой, что G ≠ f для всех стандартных f". Иными словами, каждое бесконечное множество содержит нестандартный элемент (даже много). Множество степеней стандартного конечного множества стандартно (по принципу переноса) и конечно, следовательно, все подмножества стандартного конечного множества стандартны. Если S нестандартно, то для отношения R(g, f) мы принимаем: g и f не равны, и g принадлежит S. Поскольку утверждение "Для каждого стандартного конечного множества F существует элемент g в S, такой, что g ≠ f для всех f из F" истинно (нестандартное множество S не является подмножеством стандартного и конечного множества F), мы можем использовать идеализацию, чтобы вывести "Существует G в S, такой, что G ≠ f для всех стандартных f". Иными словами, каждое нестандартное множество содержит нестандартный элемент. Как следствие всех этих результатов, все элементы множества S стандартны тогда и только тогда, когда S стандартно и конечно.

Применяется к отношению <

Поскольку "для каждого стандартного, конечного множества натуральных чисел F существует натуральное число g, такое, что g > f для всех f из F" – скажем, – мы можем использовать идеализацию, чтобы вывести утверждение: "Существует натуральное число G, такое, что G > f для всех стандартных натуральных чисел f". Иными словами, существует натуральное число, большее любого стандартного натурального числа.

Применяется к отношению ∈

Более точно, мы определяем R(g, f) как конечное множество g, содержащее элемент f. Поскольку "Для каждого стандартного конечного множества F существует конечное множество g, такое что f ∈ g для всех f из F" – например, выбирая g равным F – мы можем использовать идеализацию, чтобы вывести утверждение: "Существует конечное множество G, такое что f ∈ G для всех стандартных f". Для любого множества S, пересечение S с множеством G является конечным подмножеством S, содержащим все стандартные элементы S. Множество G обязательно является нестандартным.

Формальное обоснование аксиомы

Помимо интуитивных соображений, изложенных выше, необходимо доказать, что добавление аксиом IST не приводит к ошибкам или противоречиям в рассуждениях. Ошибки и философские недостатки в рассуждениях об бесконечно малых величинах в работах Готфрида Лейбница, Иоганна Бернулли, Леонарда Эйлера, Огюстена Луи Коши и других стали причиной того, что от них отказались в пользу более сложных, основанных на действительных числах, аргументов, разработанных Георгом Кантором, Рихардом Дедекиндом и Карлом Вейерштрассом, которые последователи Вейерштрасса считали более строгими. Подход к теории внутренних множеств аналогичен подходу к любой новой аксиоматической системе: мы строим модель для новых аксиом, используя элементы более простой и надёжной аксиоматической схемы. Это во многом напоминает обоснование непротиворечивости аксиом эллиптической неевклидовой геометрии, показывая, что их можно смоделировать соответствующей интерпретацией больших кругов на сфере в обычном трёхмерном пространстве. Фактически, с помощью подходящей модели можно доказать относительную согласованность IST с ZFC: если ZFC согласована, то IST также согласована. Более того, можно сделать более сильное утверждение: IST является консервативным расширением ZFC, то есть любая внутренняя формула, доказуемая в теории внутренних множеств, доказуема и в аксиомах Цермело — Френкеля с аксиомой выбора.

Связанные теории

Сходные теории были разработаны Карелом Хрбачеком и другими исследователями.