Апериодическая мозаика: новое решение и квазикристаллы.

Введение

Форма плоского покрытия без повторений в масштабе. Апериодическое покрытие — это непериодическое покрытие с дополнительным свойством, заключающимся в отсутствии произвольно больших периодических областей или фрагментов. Набор типов плиток (или прототипов) является апериодическим, если копии этих плиток могут образовывать только непериодические покрытия. Плитки Пенроуза — хорошо известный пример апериодических покрытий. В марте 2023 года четыре исследователя — Дэвид Смит, Джозеф Сэмюэл Майерс, Крейг С. Каплан и Хайм Гудман Штраус — объявили о доказательстве того, что плитка, открытая Дэвидом Смитом, является апериодической моноплиткой, то есть решением задачи Эйнштейна, задачи, которая ставит целью поиск любой апериодической плитки единственной формы. В мае 2023 года те же авторы опубликовали хиральную апериодическую моноплитку с аналогичными, но более строгими ограничениями. Апериодические покрытия служат математическими моделями квазикристаллов — физических твердых тел, открытых в 1982 году Дэном Шехтманом, который впоследствии был удостоен Нобелевской премии в 2011 году. Однако специфическая локальная структура этих материалов до сих пор недостаточно изучена. Известно несколько методов построения апериодических покрытий.

Определение и иллюстрация

Рассмотрим периодическое покрытие плоскости единичными квадратами (это выглядит как бесконечная клетчатая бумага). Теперь разрежем один квадрат на два прямоугольника. Полученное таким образом покрытие не является периодическим: не существует ненулевого сдвига, который бы оставлял это покрытие неизменным. Но очевидно, что этот пример гораздо менее интересен, чем покрытие Пенроуза. Чтобы исключить подобные тривиальные примеры, апериодическое покрытие определяется как покрытие, не содержащее произвольно больших периодических фрагментов. Покрытие называется апериодическим, если его оболочка содержит только непериодические покрытия. Оболочка покрытия содержит все сдвиги T + x, где T – исходное покрытие, а также все покрытия, которые могут быть аппроксимированы сдвигами T. Формально это замыкание множества в локальной топологии. В локальной топологии (соответственно, в соответствующей метрике) два покрытия считаются близкими, если они совпадают в шаре радиуса r вокруг начала координат (возможно, после сдвига одного из покрытий на величину, меньшую ε). Чтобы привести еще более простой пример, чем выше, рассмотрим одномерное покрытие T прямой, которое выглядит следующим образом: ...a b a a a..., где a представляет собой интервал длины один, а b – интервал длины два. Таким образом, покрытие T состоит из бесконечного числа копий a и одной копии b (с центром, например, в точке 0). Теперь все сдвиги T – это покрытия с одной копией b где-то и множеством a в остальном. Последовательность покрытий, в которых b сосредоточена в точке n, сходится – в локальной топологии – к периодическому покрытию, состоящему только из a. Следовательно, T не является апериодическим покрытием, поскольку его оболочка содержит периодическое покрытие.

Для хорошо заданных покрытий (например, покрытий замещением с конечным числом локальных шаблонов) справедливо следующее: если покрытие непериодическое и репетитивное (то есть каждое локальное подмножество встречается в покрытии равномерно плотно), то оно апериодическое. Первый такой набор, использованный Бергером в его доказательстве неразрешимости, требовал 20 426 плиток Ванга. Бергер позже сократил этот набор до 104, а Ханс Лёхли впоследствии обнаружил апериодический набор, требующий всего 40 плиток Ванга. Меньший набор из шести апериодических плиток (основанных на плитках Ванга) был открыт Рафаэлем М. Робинсоном в 1971 году. Роджер Пенроуз обнаружил еще три набора в 1973 и 1974 годах, сократив необходимое количество плиток до двух, а Роберт Амманн открыл несколько новых наборов в 1977 году. Сегодня существует обширная литература, посвященная апериодическим покрытиям.

Апериодические иерархические тильники через сопоставление

Для покрытия плоскости конгруэнтными копиями прототилей необходимо полностью покрыть евклидову плоскость без перекрытий (за исключением границ) и без незаполненных областей. Следовательно, границы плиток, формирующих покрытие, должны геометрически соответствовать друг другу. Это справедливо для всех покрытий, как периодических, так и апериодических. Иногда этих геометрических условий соответствия достаточно, чтобы набор плиток был апериодическим, например, в случае плиток Робинсона, рассматриваемых ниже. В некоторых случаях требуются дополнительные правила соответствия, обычно связанные с цветами или маркировками, которые должны совпадать на нескольких плитках через границы. Плитки Ванга обычно требуют таких дополнительных правил. В ряде случаев удалось полностью заменить правила соответствия геометрическими условиями, модифицировав прототилы на их границах. Изначально плитка Пенроуза (P1) состоит из четырех прототилей вместе с некоторыми правилами соответствия. Одной из четырех плиток является пятиугольник. Этот пятиугольный прототип можно заменить тремя различными пятиугольными формами с дополнительными выступами и углублениями на границе, образующими три различные плитки. Вместе с тремя другими прототилями с соответствующим образом адаптированными границами получается набор из шести прототилей, которые по сути создают те же апериодические покрытия, что и исходные четыре плитки, но для шести плиток дополнительные правила соответствия не требуются, достаточно геометрического условия соответствия. Следует также отметить, что прототилы Робинсона, представленные ниже, снабжены маркировками для облегчения визуального распознавания структуры, однако эти маркировки не вводят дополнительных правил соответствия, помимо уже существующих благодаря геометрическим границам. На сегодняшний день не существует формального определения, описывающего, когда покрытие имеет иерархическую структуру; тем не менее, очевидно, что она присутствует в покрытиях, основанных на замещениях, а также в покрытиях Бергера, Кнута, Лёхли, Робинсона и Амманна. Как и термин "апериодическое покрытие", термин "апериодическое иерархическое покрытие" является удобным сокращением, обозначающим набор плиток, допускающий только непериодические покрытия с иерархической структурой. Для апериодических покрытий, независимо от того, используются ли дополнительные правила соответствия или нет, условия соответствия накладывают определенную иерархическую структуру на покрытие, что, в свою очередь, делает невозможными периодические структуры. Каждый из этих наборов плиток, в любом допустимом покрытии, навязывает определенную иерархическую структуру. (Во многих последующих примерах эту структуру можно описать как систему замещения плитки; это описано ниже). Ни одно покрытие, допустимое таким набором плиток, не может быть периодическим, поскольку ни один сдвиг не может оставить неизменной всю иерархическую структуру. Рассмотрим плитки Робинсона 1971 года: любое покрытие этими плитками может демонстрировать только иерархию квадратных решеток: центр любого оранжевого квадрата также является углом большего оранжевого квадрата и так далее до бесконечности. Любой сдвиг должен быть меньше некоторого размера квадрата и, следовательно, не может оставить такое покрытие неизменным. Робинсон доказывает, что эти плитки должны формировать эту структуру индуктивно; по сути, плитки должны формировать блоки, которые сами подходят друг к другу как увеличенные версии исходных плиток, и так далее. Эта идея – поиск наборов плиток, которые могут допускать только иерархические структуры – была использована при построении большинства известных на сегодняшний день апериодических наборов плиток. Однако полученное таким образом покрытие не является уникальным, даже с точностью до изометрий евклидовой группы, например, сдвигов и вращений. Полное покрытие плоскости, построенное из плиток Робинсона, может иметь или не иметь дефекты (также называемые коридорами), уходящие в бесконечность в четырех направлениях, и существуют дополнительные варианты, позволяющие кодировать бесконечные слова из Σω для алфавита Σ, состоящего максимум из четырех букв. Таким образом, существует несчетное множество различных покрытий, не связанных евклидовой изометрией, все они обязательно непериодичны, которые могут быть получены из плиток Робинсона.

Замены

Системы замещения плиток предоставляют богатый источник апериодических покрытий. Набор плиток, который вынуждает к возникновению структуру замещения, называется обеспечивающим эту структуру замещения. Например, плитки в форме кресла, показанные ниже, допускают замену, а фрагмент покрытия замещением показан справа ниже. Эти покрытия замещением обязательно непериодичны, точно так же, как описано выше, но сама плитка кресла не является апериодической – легко найти периодические покрытия из немаркированных плиток кресла, удовлетворяющие геометрическим условиям сопоставления. Однако плитки, показанные ниже, вынуждают к возникновению структуру замещения кресла, и поэтому сами являются апериодическими. Плитки Пенроуза, а вскоре после этого несколько различных наборов плиток Аммана, были первым примером, основанным на явном принуждении к возникновению структуры замещения. Джошуа Соколар, Роджер Пенроуз, Людвиг Данцер, Хайм Гудман-Штраус и Чарльз Радин обнаружили правила, обеспечивающие систему замещения «ветряной мельницы» Конвея. В 1998 году Гудман-Штраус показал, что можно найти локальные правила сопоставления, чтобы вынудить к возникновению любую структуру замещения, при соблюдении некоторых нестрогих условий. Полной (алгебраической) характеристики покрытий типа «вырезание и проектирование», которые могут быть обеспечены правилами сопоставления, пока не существует, хотя известно множество необходимых или достаточных условий.

Другие методы

Было обнаружено лишь несколько различных видов конструкций. Особенно примечательно, что Джаркко Кари построил апериодичный набор плиток Ванга, основанный на умножении реальных чисел на 2 или 2/3, которые кодируются линиями плиток (кодирование связано со штурмовыми последовательностями, получаемыми как разности последовательных элементов последовательностей Битти). Апериодичность в основном обусловлена тем, что 2n/3m никогда не равно 1 для любых положительных целых чисел n и m. Позднее Гудман Штраус адаптировал этот метод для получения сильно апериодичного набора плиток в гиперболической плоскости. Шахар Мозес обнаружил множество альтернативных конструкций апериодичных наборов плиток, некоторые – в более экзотических областях, например, в полупростых группах Ли. Блок и Вайнбергер использовали гомологические методы для построения апериодичных наборов плиток для всех неаменабельных многообразий. Джошуа Соколар предложил другой способ обеспечения апериодичности, основанный на принципе чередования. Как правило, это приводит к гораздо меньшим наборам плиток, чем те, которые получаются с помощью подстановок.

Физика

Апериодические покрытия рассматривались как математические артефакты до 1984 года, когда физик Дэн Шетман объявил об открытии фазы алюминиево-марганцевого сплава, которая дала четкую дифрактограмму с однозначной пятикратной симметрией. Волны Фарадея наблюдались формирующими большие области апериодических узоров. Физика этого открытия вновь пробудила интерес к несоизмеримым структурам и частотам, предполагая связь апериодических покрытий с явлениями интерференции.

Смысловая путаница

Термин "апериодичный" используется в математической литературе по укладкам (плиткам) в самых разных значениях (а также в других математических областях, таких как динамические системы или теория графов, где он имеет совершенно иные значения). В отношении укладок термин "апериодичный" иногда использовался как синоним термина "непериодический". Непериодическая укладка – это просто укладка, не инвариантная относительно какого-либо нетривиального сдвига. Иногда под этим термином – явно или неявно – подразумевали укладку, сгенерированную апериодичным набором прототилов. Зачастую термин "апериодичный" употреблялся расплывчато для описания рассматриваемых структур, ссылаясь на физические апериодичные твердые тела, а именно квазикристаллы, или на что-то непериодическое, обладающее определенным глобальным порядком. Использование слова "укладка" также является проблематичным, несмотря на его простое определение. Например, не существует единственной укладки Пенроуза: ромбы Пенроуза допускают бесконечное множество укладок (которые нельзя различить локально). Распространенным решением является стараться использовать термины точно в научной литературе, но признавать широкое распространение неформальных терминов.