Введение
Книга Линн Стин «Контрпримеры в топологии» (1970, 2-е изд. 1978) – книга по математике, написанная топологами Линн Стин и Дж. Артуром Сибахом-младшим. В процессе работы над такими задачами, как проблема метризации, топологи (включая Стина и Сибаха) определили широкий спектр топологических свойств. При изучении и понимании абстрактных объектов, таких как топологические пространства, часто бывает полезно установить, что одно свойство не вытекает из другого. Один из самых простых способов это сделать – найти контрпример, демонстрирующий одно свойство, но не другое. В книге «Контрпримеры в топологии» Стин и Сибах вместе с пятью студентами, участвовавшими в исследовательском проекте колледжа Сент-Олаф (штат Миннесота) летом 1967 года, проанализировали область топологии в поисках таких контрпримеров и собрали их, чтобы упростить научную литературу. Например, контрпример №3 представляет собой пример первого счетного пространства, которое не является вторым счетным: это дискретная топология на несчетном множестве. Этот конкретный контрпример показывает, что вторая счетность не следует из первой счетности. Позже появились другие книги и статьи под названием «Контрпримеры в…», с аналогичными целями.
Counterexamples in Topology (1970, 2nd ed. 1978) is a book on mathematics by topologists Lynn Steen and J. Arthur Seebach, Jr. In the process of working on problems like the metrization problem, topologists (including Steen and Seebach) have defined a wide variety of topological properties. It is often useful in the study and understanding of abstracts such as topological spaces to determine that one property does not follow from another. One of the easiest ways of doing this is to find a counterexample which exhibits one property but not the other. In Counterexamples in Topology, Steen and Seebach, together with five students in an undergraduate research project at St. Olaf College, Minnesota in the summer of 1967, canvassed the field of topology for such counterexamples and compiled them in an attempt to simplify the literature. For instance, an example of a first countable space which is not second countable is counterexample #3, the discrete topology on an uncountable set. This particular counterexample shows that second countability does not follow from first countability. Several other "Counterexamples in " books and papers have followed, with similar motivations.
Обозначение
Некоторые обозначения в этой книге отличаются от более общепринятых современных, особенно в отношении аксиом разделения. Авторы используют термины T3, T4 и T5 для обозначения регулярных, нормальных и вполне нормальных пространств соответственно. Они также называют вполне хаусдорфовым пространством пространством Урысона. Это связано с различным историческим развитием теории метризации и общей топологии; подробнее см. в разделе "История аксиом разделения". Длинная прямая в примере 45 – это то, что большинство топологов сегодня называют "закрытым лучом".