Введение

Теоретические попытки объединить силы природы

С XIX века некоторые физики, в частности Альберт Эйнштейн, предпринимали попытки разработать единую теоретическую основу, способную объяснить все фундаментальные силы природы – единую теорию поля. Классические теории объединённого поля представляют собой попытки создать единую теорию поля, основанную на классической физике. Особенно активно объединение гравитации и электромагнетизма преследовалось рядом физиков и математиков в межвоенный период. Эта работа стимулировала чисто математическое развитие дифференциальной геометрии. В данной статье описываются различные попытки сформулировать классическую (не квантовую), релятивистскую единую теорию поля. Обзор классических релятивистских теорий гравитации, мотивированных теоретическими задачами, отличными от объединения, представлен в статье «Классические теории гравитации». Обзор текущих исследований, направленных на создание квантовой теории гравитации, см. в статье «Квантовая гравитация».

Обзор

Ранние попытки создания единой теории поля начались с римановой геометрии общей теории относительности и были направлены на включение электромагнитных полей в более общую геометрию, поскольку обычная риманова геометрия, казалось, не могла описать свойства электромагнитного поля. Эйнштейн был не единственным, кто пытался объединить электромагнетизм и гравитацию; многие математики и физики, включая Германна Вейля, Артура Эддингтона и Теодора Калуцу, также разрабатывали подходы, способные объединить эти взаимодействия. Эти ученые исследовали различные направления обобщения, в том числе расширение основ геометрии и добавление дополнительного пространственного измерения.

Ранние работы

Первые попытки создания единой теории были предприняты Г. Мие в 1912 году и Эрнстом Райхенбахером в 1916 году. Однако эти теории оказались неудовлетворительными, поскольку не учитывали общую теорию относительности, которая ещё не была разработана. Эти усилия, а также работы Рудольфа Фёрстера, заключались в том, чтобы сделать метрический тензор (который ранее предполагался симметричным и вещественным) асимметричным и/или комплексным, и одновременно создать теорию поля для материи.

Дифференциальная геометрия и теория поля

С 1918 по 1923 год существовало три различных подхода к теории поля: калибровочная теория Вейля, пятимерная теория Калуцы и развитие аффинной геометрии, предложенное Эддингтоном. Эйнштейн переписывался с этими исследователями и сотрудничал с Калуцей, но еще не был полностью вовлечен в работу по объединению теорий.

Бесконечно малая геометрия Вейла

Для того чтобы включить электромагнетизм в геометрию общей теории относительности, Герман Вейль работал над обобщением римановой геометрии, на которой основана общая теория относительности. Его идея заключалась в создании более общей бесконечно малой геометрии. Он заметил, что помимо метрического поля могут существовать дополнительные степени свободы вдоль пути между двумя точками в многообразии, и попытался использовать это, введя основной метод для сравнения локальных мер масштаба вдоль такого пути, выраженный через калибровочное поле. Эта геометрия обобщала риманову геометрию тем, что в дополнение к метрике g существовало векторное поле Q, которое вместе порождало как электромагнитное, так и гравитационное поля. Теория была математически корректной, хотя и сложной, что приводило к трудным и уравнениям поля высокого порядка. Ключевые математические элементы этой теории – лагранжианы и тензор кривизны – были разработаны Вейлем и его коллегами. Затем Вейль вел обширную переписку с Эйнштейном и другими учеными относительно её физической состоятельности, и в конечном итоге теория была признана физически несостоятельной. Однако принцип калибровочной инвариантности Вейля позднее был применен в модифицированном виде к квантовой теории поля.

Пятое измерение Калузы

Калуза рассматривал объединение, встраивая пространство-время в пятимерный цилиндрический мир, состоящий из четырех пространственных измерений и одного временного. В отличие от подхода Вейля, риманова геометрия сохранялась, а дополнительное измерение позволяло ввести вектор электромагнитного поля в геометрический аппарат. Несмотря на относительную математическую элегантность этого подхода, в сотрудничестве с Эйнштейном и его ассистентом Громером было установлено, что эта теория не имеет невырожденного, статического, сферически симметричного решения. Эта теория оказала некоторое влияние на последующие работы Эйнштейна и была впоследствии развита Клейном в попытке объединить теорию относительности с квантовой теорией, что получило название теории Калуцы — Клейна.

Эддингтонова аффинная геометрия

Сэр Артур Стэнли Эддингтон был выдающимся астрономом, ставшим восторженным и влиятельным сторонником общей теории относительности Эйнштейна. Он одним из первых предложил расширение теории гравитации, основанное на аффинной связи как на фундаментальном структурном поле, а не на метрическом тензоре, который изначально был в центре внимания общей теории относительности. Аффинная связь является основой для параллельного переноса векторов из одной точки пространства-времени в другую; Эддингтон предположил, что аффинная связь симметрична по своим ковариантным индексам, поскольку казалось правдоподобным, что результат параллельного переноса одного бесконечно малого вектора вдоль другого должен быть таким же, как при переносе второго вдоль первого. (Позднее это предположение было пересмотрено другими исследователями.) Эддингтон подчеркивал то, что он считал эпистемологическими соображениями; например, он полагал, что версия уравнения поля общей теории относительности с космологической постоянной выражает свойство самосогласованности Вселенной. Поскольку простейшая космологическая модель (вселенная Де Ситтера), удовлетворяющая этому уравнению, представляет собой сферически симметричную, стационарную, замкнутую вселенную (демонстрирующую космологическое красное смещение, которое обычно интерпретируется как следствие расширения), она, казалось, объясняла общую структуру Вселенной. Как и многие другие классические теоретики единого поля, Эддингтон считал, что тензор энергии-импульса в уравнениях поля Эйнштейна для общей теории относительности, представляющий материю/энергию, является лишь предварительным, и что в истинно единой теории исходный член автоматически возникнет как некий аспект уравнений поля свободного пространства. Он также разделял надежду, что усовершенствованная фундаментальная теория объяснит, почему две известные тогда элементарные частицы (протон и электрон) имеют существенно разные массы. Уравнение Дирака для релятивистского квантового электрона заставило Эддингтона пересмотреть свое прежнее убеждение, что фундаментальная физическая теория должна основываться на тензорах. Впоследствии он посвятил свои усилия разработке «Фундаментальной теории», основанной главным образом на алгебраических понятиях (которые он называл «E-фреймами»). К сожалению, его описания этой теории были схематичными и трудными для понимания, поэтому лишь немногие физики продолжили его работу.

Геометрические подходы Эйнштейна

Когда эквивалент уравнений Максвелла для электромагнетизма сформулирован в рамках теории общей относительности Эйнштейна, энергия электромагнитного поля (будучи эквивалентной массе, как и следовало ожидать из знаменитого уравнения Эйнштейна E = mc2) вносит вклад в тензор напряжений и, следовательно, в кривизну пространства-времени, которое является релятивистским представлением гравитационного поля; или, другими словами, определенные конфигурации искривленного пространства-времени включают в себя эффекты электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что чисто геометрическая теория должна рассматривать эти два поля как различные аспекты одного и того же фундаментального явления. Однако обычная риманова геометрия не способна описать свойства электромагнитного поля как чисто геометрическое явление. Эйнштейн пытался создать обобщенную теорию гравитации, которая объединила бы гравитационные и электромагнитные силы (и, возможно, другие), руководствуясь верой в единое происхождение всех физических законов. Эти попытки изначально были сосредоточены на дополнительных геометрических понятиях, таких как vierbein и "дальний параллелизм", но в конечном итоге перешли к рассмотрению как метрического тензора, так и аффинной связи как фундаментальных полей. (Поскольку они не являются независимыми, метрико-аффинная теория была несколько сложной.) В общей теории относительности эти поля симметричны (в матричном смысле), но поскольку антисимметрия казалась существенной для электромагнетизма, требование симметрии было ослаблено для одного или обоих полей. Предложенные Эйнштейном уравнения единого поля (фундаментальные законы физики) обычно выводились из вариационного принципа, выраженного через тензор кривизны Римана для предполагаемого пространственно-временного многообразия. В полевых теориях такого рода частицы проявляются как ограниченные области в пространстве-времени, в которых напряженность поля или плотность энергии особенно велики. Эйнштейну и его коллеге Леопольду Инфельду удалось показать, что в окончательной теории Эйнштейна об объединенном поле истинные сингулярности поля имеют траектории, напоминающие точечные частицы. Однако сингулярности – это места, где уравнения теряют смысл, и Эйнштейн полагал, что в окончательной теории законы должны действовать повсеместно, а частицы должны быть решениями, подобными солитонам (высоко нелинейных) уравнений поля. Кроме того, крупномасштабная топология Вселенной должна налагать ограничения на решения, такие как квантование или дискретные симметрии. Высокая степень абстракции, в сочетании с относительной нехваткой эффективных математических инструментов для анализа нелинейных систем уравнений, затрудняет сопоставление таких теорий с физическими явлениями, которые они могут описывать. Например, было предположено, что кручение (антисимметричная часть аффинной связи) может быть связано с изоспином, а не с электромагнетизмом; это связано с дискретной (или "внутренней") симметрией, известной Эйнштейну как "дуальность поля смещения". Эйнштейн все больше изолировался в своих исследованиях обобщенной теории гравитации, и большинство физиков считают его попытки в конечном итоге безуспешными. В частности, его стремление к объединению фундаментальных сил игнорировало достижения в квантовой физике (и наоборот), особенно открытие сильного ядерного взаимодействия и слабого ядерного взаимодействия.

Теория чисто-аффина Шредингера

Вдохновленный подходом Эйнштейна к единой теории поля и идеей Эддингтона об аффинной связи как единственном основании для дифференциально-геометрической структуры пространства-времени, Эрвин Шрёдингер с 1940 по 1951 год всесторонне исследовал чисто аффинные формулировки обобщенной теории гравитации. Изначально он предполагал симметричную аффинную связь, но, подобно Эйнштейну, впоследствии рассматривал несимметричное поле. Наиболее значительным открытием Шрёдингера в ходе этой работы стало то, что метрический тензор индуцируется на многообразии посредством простой конструкции из тензора кривизны Римана, который, в свою очередь, формируется исключительно из аффинной связи. Более того, применение этого подхода с наиболее простой возможной основой для вариационного принципа привело к уравнению поля, имеющему вид уравнения поля общей теории относительности Эйнштейна с автоматически возникающим космологическим членом. Скептицизм Эйнштейна и опубликованная критика других физиков поколебали Шрёдингера, и его работа в этой области осталась в значительной степени незамеченной.

Поздние работы

После 1930-х годов все меньше ученых работали над классическим объединением, из-за продолжающегося развития квантово-теоретических описаний негравитационных фундаментальных сил природы и трудностей, возникших при разработке квантовой теории гравитации. Эйнштейн продолжал свои попытки теоретически объединить гравитацию и электромагнетизм, но становился все более изолированным в этих исследованиях, которым он посвятил себя до самой смерти. Широкая известность Эйнштейна привлекала внимание к его последнему стремлению, которое, однако, не принесло значительных успехов. Большинство физиков, напротив, в конечном итоге отказались от классических унифицированных теорий. Современные основные исследования в области объединенных теорий поля сосредоточены на проблеме создания квантовой теории гравитации и ее объединения с другими фундаментальными теориями физики, все из которых являются квантовыми теориями поля. (Некоторые направления, такие как теория струн, стремятся решить обе эти задачи одновременно.) Из четырех известных фундаментальных сил, гравитация остается единственной, объединение которой с остальными представляет собой проблему. Хотя время от времени продолжают предлагаться новые "классические" теории объединенного поля, часто включающие нетрадиционные элементы, такие как спиноры, или устанавливающие связь между гравитацией и электромагнитной силой, ни одна из них пока не получила широкого признания среди физиков.