Введение
Класс периодических математических функций
В области математического анализа комплексных функций эллиптические функции представляют собой особый вид мероморфных функций, удовлетворяющих двум условиям периодичности. Они получили своё название от эллиптических интегралов, которые, в свою очередь, были названы эллиптическими, поскольку впервые возникли при вычислении длины дуги эллипса. Важными эллиптическими функциями являются функции Якоби и функция Вейерштрасса. Дальнейшее развитие этой теории привело к гиперэллиптическим функциям и модулярным формам.
In the mathematical field of complex analysis, elliptic functions are special kinds of meromorphic functions, that satisfy two periodicity conditions. They are named elliptic functions because they come from elliptic integrals. Those integrals are in turn named elliptic because they first were encountered for the calculation of the arc length of an ellipse. Important elliptic functions are Jacobi elliptic functions and the Weierstrass function. Further development of this theory led to hyperelliptic functions and modular forms.
Теоремы Лювиля
Следующие три теоремы известны как теоремы Лиувиля (1847).
1-я теорема
Голоморфная эллиптическая функция постоянна. Это исходная формулировка теоремы Лиувиля и из нее может быть выведена. Голоморфная эллиптическая функция ограничена, так как она принимает все свои значения на фундаментальной области, которая является компактной. Следовательно, она постоянна по теореме Лиувиля.
Вторая теорема
Каждая эллиптическая функция имеет конечное число полюсов в ℂ, и сумма её вычетов равна нулю. Эта теорема влечёт за собой, что не существует эллиптической функции, отличной от нуля, с ровно одним полюсом первого порядка или ровно одним нулем первого порядка в фундаментальной области.
Третья теорема
Неконстантная эллиптическая функция принимает каждое значение одинаковое число раз, считая кратность.
История
Вскоре после разработки дифференциального и интегрального исчисления теория эллиптических функций была начата итальянским математиком Джулио ди Фагнано и швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Когда они попытались вычислить длину дуги лемнискаты, они столкнулись с проблемами, связанными с интегралами, содержащими квадратный корень из многочленов третьей и четвертой степени. Было очевидно, что эти так называемые эллиптические интегралы нельзя решить с помощью элементарных функций. Фагнано обнаружил алгебраическую связь между эллиптическими интегралами, которую он опубликовал в 1750 году. Его идеи не получили развития до 1786 года, когда Лежендр опубликовал свою работу «Mémoires sur les intégrations par arcs d’ellipse». Лежендр впоследствии изучал эллиптические интегралы и назвал их эллиптическими функциями. Лежендр ввел трехкратную классификацию – три типа – которая стала важным упрощением довольно сложной теории того времени. Другие важные работы Лежендра: «Mémoire sur les transcendantes elliptiques» (1792), «Exercices de calcul intégral» (1811–1817), «Traité des fonctions elliptiques» (1825–1832). Работы Лежендра в основном оставались без внимания математиков до 1826 года. Впоследствии Нильс Хенрик Абель и Карл Густав Якоби возобновили исследования и быстро сделали новые открытия. Сначала они инвертировали эллиптический интеграл. По предложению Якоби в 1829 году эти обратные функции стали называться эллиптическими функциями. Одной из важнейших работ Якоби является «Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum», опубликованная в 1829 году. Теорема сложения, найденная Эйлером, была сформулирована и доказана в общем виде Абелем в 1829 году. В то время теория эллиптических функций и теория двухпериодических функций считались различными теориями. Брио и Буке объединили их в 1856 году. Гаусс обнаружил многие свойства эллиптических функций за 30 лет до этого, но ничего по этой теме не опубликовал.