Введение

Комплексный анализ, традиционно известный как теория функций комплексной переменной, — это раздел математического анализа, изучающий функции комплексного числа. Он находит применение во многих областях математики, включая алгебраическую геометрию, теорию чисел, аналитическую комбинаторику и прикладную математику, а также в физике, в таких областях, как гидродинамика, термодинамика, квантовая механика и теория твисторов. Кроме того, комплексный анализ применяется в различных инженерных дисциплинах, таких как ядерная, аэрокосмическая, машиностроительная и электротехника. Поскольку дифференцируемая функция комплексной переменной равна своему ряду Тейлора (то есть является аналитической), комплексный анализ особенно посвящен изучению аналитических функций комплексной переменной, то есть голоморфных функций. Эта концепция может быть расширена на функции нескольких комплексных переменных.

История

Комплексный анализ — одна из классических областей математики, уходящая корнями в XVIII век и предшествующее ему время. Важнейшие математики, работавшие с комплексными числами, включают Эйлера, Гаусса, Римана, Коши, Гёсту Миттаг-Леффлера, Вейерштрасса и многих других в XX веке. Комплексный анализ, особенно теория конформных отображений, имеет множество применений в физике и широко используется в аналитической теории чисел. В последнее время он приобрел новую популярность благодаря развитию комплексной динамики и визуализации фракталов, получаемых итерациями голоморфных функций. Важным применением комплексного анализа также является теория струн, в которой исследуются конформные инварианты в квантовой теории поля.

Голоморфные функции

Сложные функции, которые дифференцируемы в каждой точке открытого подмножества комплексной плоскости, называются голоморфными на. В контексте комплексного анализа производная в точке определяется как.

Поверхностно, это определение формально аналогично определению производной вещественной функции. Однако комплексные производные и дифференцируемые функции ведут себя значительно иначе, чем их вещественные аналоги. В частности, для существования этого предела значение разностного отношения должно стремиться к одному и тому же комплексному числу, независимо от способа приближения к в комплексной плоскости. Следовательно, комплексная дифференцируемость имеет гораздо более сильные следствия, чем вещественная дифференцируемость. Например, голоморфные функции бесконечно дифференцируемы, в то время как существование n-й производной не обязательно влечет за собой существование (n+1)-й производной для вещественных функций. Кроме того, все голоморфные функции удовлетворяют более сильному условию аналитичности, что означает, что функция в каждой точке своей области локально задается сходящимся степенным рядом. По сути, это означает, что функции, голоморфные на, могут быть сколь угодно хорошо аппроксимированы полиномами в некоторой окрестности каждой точки в. Это резко контрастирует с дифференцируемыми вещественными функциями; существуют бесконечно дифференцируемые вещественные функции, которые нигде не являются аналитическими; см. Большинство элементарных функций, включая экспоненциальную функцию, тригонометрические функции и все полиномиальные функции, расширенные соответствующим образом до комплексных аргументов как функции, являются голоморфными на всей комплексной плоскости, что делает их целыми функциями, в то время как рациональные функции, где p и q – полиномы, являются голоморфными на областях, исключающих точки, в которых q обращается в ноль. Такие функции, которые являются голоморфными везде, кроме множества изолированных точек, называются мероморфными функциями. С другой стороны, функции, и не являются голоморфными нигде в комплексной плоскости, что можно показать по их неспособности удовлетворять условиям Коши — Римана (см. ниже). Важным свойством голоморфных функций является связь между частными производными их вещественной и мнимой частей, известная как условия Коши — Римана. Если, заданное , где , является голоморфной в области , то для всех ,

в терминах вещественной и мнимой частей функции, u и v, это эквивалентно паре уравнений и , где нижние индексы указывают на частную производную. Однако условия Коши — Римана не характеризуют голоморфные функции без дополнительных условий непрерывности (см. теорему Лумана — Менхоффа). Голоморфные функции обладают некоторыми замечательными свойствами. Например, теорема Пикара утверждает, что область значений целой функции может принимать только три возможных вида: , , или для некоторого. Другими словами, если два различных комплексных числа и не принадлежат области значений целой функции , то является постоянной функцией. Кроме того, голоморфная функция на связном открытом множестве определяется своим ограничением на любое непустое открытое подмножество.

Основные результаты

Одним из центральных инструментов в комплексном анализе является линейный интеграл. Линейный интеграл по замкнутому контуру функции, голоморфной во всей области, ограниченной этим контуром, всегда равен нулю, что утверждает теорема Коши об интегралах. Значения такой голоморфной функции внутри диска можно вычислить с помощью контурного интеграла по границе диска (как показано в интегральной формуле Коши). Контурные интегралы в комплексной плоскости часто используются для вычисления сложных вещественных интегралов, и здесь, в частности, применима теория вычетов (см. методы контурного интегрирования). «Полюс» (или изолированная особая точка) функции — это точка, в которой значение функции становится неограниченным, или «взрывается». Если функция имеет такой полюс, то можно вычислить её вычет в этой точке, который можно использовать для вычисления контурных интегралов, включающих эту функцию; это суть мощной теоремы о вычетах. Удивительное поведение голоморфных функций вблизи существенно особых точек описывается теоремой Пикара. Функции, имеющие только полюса, но не существенно особые точки, называются мероморфными. Ряд Лорана является комплексным аналогом ряда Тейлора, но его можно использовать для изучения поведения функций вблизи особых точек посредством бесконечных сумм более понятных функций, таких как полиномы. Ограниченная функция, голоморфная на всей комплексной плоскости, должна быть постоянной; это теорема Лиувиля. Её можно использовать для получения естественного и краткого доказательства фундаментальной теоремы алгебры, утверждающей, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Если функция голоморфна во всей связной области, то её значения полностью определяются её значениями на любой меньшей подобласти. Говорят, что функция на большей области является аналитическим продолжением от её значений на меньшей области. Это позволяет расширить определение функций, таких как дзета-функция Римана, которые изначально определяются в терминах бесконечных сумм, сходящихся только на ограниченных областях, почти на всю комплексную плоскость. Иногда, как в случае с натуральным логарифмом, невозможно аналитически продолжить голоморфную функцию до несвязной области в комплексной плоскости, но можно расширить её до голоморфной функции на тесно связанной поверхности, известной как поверхность Римана. Всё это относится к комплексному анализу одной переменной. Существует также богатая теория комплексного анализа более чем в одном комплексном измерении, в которой аналитические свойства, такие как разложение в степенной ряд, сохраняются, в то время как большинство геометрических свойств голоморфных функций в одном комплексном измерении (таких как конформность) не сохраняются. Теорема Римана об отображениях, устанавливающая конформную связь определенных областей в комплексной плоскости, которая, возможно, является наиболее важным результатом в одномерной теории, резко терпит неудачу в более высоких измерениях. Важным применением определенных комплексных пространств является квантовая механика, где они используются в качестве волновых функций.