Введение

Характерное свойство голоморфных функций

В области комплексного анализа в математике уравнения Коши — Римана, названные в честь Огюстена Коши и Бернхарда Римана, представляют собой систему из двух частных дифференциальных уравнений, которые являются необходимым и достаточным условием для комплексной дифференцируемости функции комплексной переменной. Эти уравнения имеют вид:

и

где u(x, y) и v(x, y) — действительные дифференцируемые функции двух переменных. Обычно u и v являются соответственно действительной и мнимой частями комплексной функции f(x + iy) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) одной комплексной переменной z = x + iy, где x и y — действительные переменные; u и v — действительные дифференцируемые функции действительных переменных. Тогда функция f является комплексно дифференцируемой в комплексной точке тогда и только тогда, когда частные производные u и v удовлетворяют уравнениям Коши — Римана в этой точке. Голоморфная функция — это комплексная функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого открытого подмножества комплексной плоскости C. Доказано, что голоморфные функции являются аналитическими, а аналитические комплексные функции — комплексно дифференцируемыми. В частности, голоморфные функции бесконечно комплексно дифференцируемы. Эта эквивалентность между дифференцируемостью и аналитичностью является отправной точкой всего комплексного анализа.

История

Уравнения Коши — Римана впервые появились в трудах Жана Ле Ронда д’Аламбера. Позднее Леонард Эйлер установил связь этой системы с аналитическими функциями. Коши затем использовал эти уравнения для создания своей теории функций. Диссертация Римана по теории функций была опубликована в 1851 году.

Интерпретация и переформулирование

Уравнения Коши-Римана — это один из способов определения условия дифференцируемости функции в контексте комплексного анализа: иными словами, они выражают понятие функции комплексной переменной средствами классического дифференциального исчисления. В теории существуют и другие важные подходы к этому понятию, и часто возникает необходимость переформулировать это условие на другом языке.

Теорема Гурса и её обобщения

Предположим, что f = u + iv – комплекснозначная функция, дифференцируемая как функция f : ℝ² → ℝ². Тогда теорема Гурса утверждает, что f аналитична в открытой комплексной области Ω тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши — Римана в этой области. В частности, непрерывная дифференцируемость f не требуется. Гипотезы теоремы Гурса можно существенно ослабить. Если f = u + iv непрерывна в открытом множестве Ω и частные производные f по x и y существуют в Ω и удовлетворяют уравнениям Коши — Римана во всей Ω, то f голоморфна (и, следовательно, аналитична). Этот результат известен как теорема Лумана — Менхоффа. Важно, чтобы f удовлетворяла уравнениям Коши — Римана во всей области Ω. Можно построить непрерывную функцию, удовлетворяющую уравнениям Коши — Римана в точке, но не являющуюся аналитической в этой точке (например, аналогично, помимо уравнений Коши — Римана (таких как непрерывность) требуются некоторые дополнительные предположения, что иллюстрирует следующий пример, который удовлетворяет уравнениям Коши — Римана везде, но не является непрерывной в z = 0. Тем не менее, если функция удовлетворяет уравнениям Коши — Римана в открытом множестве в слабом смысле, то функция аналитична. Более точно: если f(z) локально интегрируема в открытой области Ω ⊂ ℂ и слабо удовлетворяет уравнениям Коши — Римана, то f почти всюду совпадает с аналитической функцией в Ω. Это, по сути, частный случай более общего результата о регулярности решений гипоэллиптических уравнений в частных производных.

Несколько переменных

Существуют уравнения Коши — Римана, обобщенные для случая нескольких комплексных переменных. Они представляют собой существенно переопределённую систему уравнений в частных производных. Это достигается посредством прямого обобщения производной Виртингера, при котором требуется, чтобы (частная) производная Виртингера рассматриваемой функции по отношению к каждой комплексной переменной равнялась нулю.

Трансформация Баклунда

Рассматриваемые как сопряженные гармонические функции, уравнения Коши — Римана представляют собой простой пример преобразования Баклунда. Более сложные, как правило нелинейные преобразования Баклунда, например, в уравнении синуса-Гордона, представляют значительный интерес в теории солитонов и интегрируемых систем.

Конформные отображения в более высоких измерениях

Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве Rn. Условие, при котором ориентационно-сохраняющее отображение является конформным (то есть, сохраняющим углы), заключается в следующем:

где Df — матрица Якоби, с транспонированной матрицей , а I — единичная матрица. Для n = 2 эта система эквивалентна стандартным уравнениям Коши — Римана комплексного анализа, и её решениями являются голоморфные функции. В размерности n > 2 это по-прежнему иногда называют системой Коши — Римана, и теорема Лиувиля, при соответствующих условиях гладкости, влечёт, что любое такое отображение является преобразованием Мёбиуса.