Введение

Функция, фактическая область определения которой может быть меньше, чем её кажущаяся область определения.

В математике частичная функция f из множества X в множество Y является функцией из подмножества S множества X (возможно, самого X) в Y. Подмножество S, то есть область определения f, рассматриваемая как функция, называется областью определения или естественной областью f. Если S равно X, то есть, если f определена на каждом элементе в X, то f называется полной функцией. Более технически, частичная функция – это бинарное отношение между двумя множествами, которое связывает каждый элемент первого множества не более чем с одним элементом второго множества; таким образом, это однозначное отношение. Это обобщает понятие (полной) функции, не требуя, чтобы каждый элемент первого множества был сопоставлен элементу второго множества. Частичная функция часто используется, когда её точная область определения неизвестна или трудно указать. Это справедливо для математического анализа, где, например, частное двух функций является частичной функцией, область определения которой не может содержать нули знаменателя. По этой причине в математическом анализе и, в более общем смысле, в математическом анализе частичную функцию обычно называют просто функцией. В теории вычислимости общая рекурсивная функция – это частичная функция от целых чисел к целым числам; не существует алгоритма для определения, является ли произвольная такая функция полной. Когда для функций используется стрелочная нотация, частичная функция из X в Y иногда записывается как f: X → Y или X ∋ x ↦ f(x). Однако единой общепринятой конвенции нет, и последняя нотация чаще используется для включений или вложений. В частности, для частичной функции f и любого x либо:
(существует единственный элемент f(x) в Y), либо
f(x) не определено. Например, если f – функция квадратного корня, ограниченная целыми числами, определённая следующим образом:
f(x) = √x, если и только если x ≥ 0,
то f определена только если x является полным квадратом (то есть, x = n² для некоторого целого n). Таким образом, f(4) = 2, но f(-1) не определено.

Основные понятия

Частичная функция возникает из рассмотрения отображений между двумя множествами X и Y, которые могут быть не определены на всем множестве X. Типичным примером является операция извлечения квадратного корня из действительных чисел: поскольку отрицательные действительные числа не имеют действительных квадратных корней, эта операция может рассматриваться как частичная функция из в . Областью определения частичной функции является подмножество S множества X, на котором частичная функция определена; в этом случае частичную функцию также можно рассматривать как функцию из S в Y. В примере операции извлечения квадратного корня множество S состоит из неотрицательных действительных чисел.

Понятие частичной функции особенно удобно, когда точная область определения неизвестна или даже принципиально непознаваема. Примером последнего в информатике служит проблема останова. Если область определения S равна всему множеству X, то частичная функция называется полной. Таким образом, полные частичные функции из X в Y совпадают с функциями из X в Y. Многие свойства функций могут быть расширены на частичные функции в соответствующем смысле. Частичная функция называется инъективной, сюръективной или биективной, если функция, полученная ограничением частичной функции областью ее определения, является инъективной, сюръективной или биективной соответственно. Поскольку функция тривиально сюръективна при ограничении ее образом, термин «частичная биекция» обозначает инъективную частичную функцию. Инъективная частичная функция может быть обращена в инъективную частичную функцию, а частичная функция, которая является одновременно инъективной и сюръективной, имеет инъективную функцию в качестве обратной. Кроме того, инъективную функцию можно обратить в биективную частичную функцию. Понятие преобразования также может быть обобщено на частичные функции. Частичное преобразование — это функция , где и являются подмножествами некоторого множества . Один учебник отмечает, что «это формальное расширение множеств и частичных отображений путем добавления «несобственных», «бесконечных» элементов было многократно изобретено, в частности, в топологии (компактификация одним добавлением точки) и в теоретической информатике». Категория множеств и частичных биекций эквивалентна своей двойственной категории. Это прототипическая обратная категория.

В абстрактной алгебре

Частичная алгебра обобщает понятие универсальной алгебры на частичные операции. Примером может служить поле, в котором мультипликативная инверсия является единственной собственной частичной операцией (поскольку деление на ноль не определено). Множество всех частичных функций (частичных преобразований) на заданном базовом множестве образует регулярную полугруппу, называемую полугруппой всех частичных преобразований (или полугруппой частичных преобразований на ), обычно обозначаемую . Множество всех частичных биекций на образует симметричную обратную полугруппу.

Графики и атласы для коллекторов и волокнистых пучков

Графики в атласах, которые задают структуру многообразий и расслоений, являются частными функциями. В случае многообразий областью определения является множество точек многообразия. В случае расслоений областью определения является пространство расслоения. В этих приложениях наиболее важной конструкцией является карта перехода, которая представляет собой композицию одной диаграммы с обратной к другой. Начальная классификация многообразий и расслоений в значительной степени выражается через ограничения на эти карты перехода. Причина использования частных функций вместо функций заключается в том, чтобы позволить представлять общие глобальные топологии, сшивая локальные участки для описания глобальной структуры. "Участки" – это области, на которых диаграммы определены.