Введение

Последовательность точек, которые последовательно сближаются друг с другом.

В математике последовательность Коши — это последовательность, элементы которой становятся сколь угодно близкими друг к другу по мере продвижения последовательности. Более точно, для любого заданного малого положительного расстояния, все элементы последовательности, за исключением конечного числа, находятся на расстоянии меньше заданного друг от друга. Последовательности Коши названы в честь Огюстена Луи Коши; их иногда также называют фундаментальными последовательностями. Недостаточно, чтобы каждый член последовательности был сколь угодно близок к предыдущему. Например, в последовательности квадратных корней натуральных чисел:

последовательные члены становятся сколь угодно близкими друг к другу – их разности стремятся к нулю при росте индекса n. Однако, с ростом значений n, члены последовательности становятся сколь угодно большими. Таким образом, для любого индекса n и расстояния d существует достаточно большой индекс m, такой что в результате, как бы далеко мы ни продвинулись, оставшиеся члены последовательности никогда не сближаются друг с другом; следовательно, последовательность не является последовательностью Коши. Ценность последовательностей Коши заключается в том, что в полном метрическом пространстве (где известно, что все такие последовательности сходятся к пределу), критерий сходимости зависит только от членов самой последовательности, в отличие от определения сходимости, которое использует как предел, так и члены последовательности. Это часто используется в алгоритмах, как теоретических, так и прикладных, где можно относительно легко показать, что итеративный процесс порождает последовательность Коши, состоящую из итераций, тем самым удовлетворяя логическому условию, такому как завершение. Обобщения последовательностей Коши в более абстрактных равномерных пространствах существуют в виде фильтров Коши и сетей Коши.

Полная информация

Метрическое пространство (X, d), в котором любая последовательность Коши сходится к элементу из X, называется полным.

Примеры

Реальные числа полны в метрике, индуцированной обычной абсолютной величиной, и одна из стандартных конструкций действительных чисел включает последовательности Коши рациональных чисел. В этой конструкции каждый класс эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел с определенным поведением на хвосте – то есть каждый класс последовательностей, которые сколь угодно близко сходятся друг к другу – является действительным числом. Совершенно иной пример представляет собой метрическое пространство X, наделенное дискретной метрикой (где любые две различные точки отстоят друг от друга на расстоянии 1). Любая последовательность Коши элементов X должна быть постоянной, начиная с некоторой фиксированной точки, и сходиться к этому повторяющемуся члену.

В гиперреальном континууме

Реальная последовательность имеет естественное гиперреальное расширение, определенное для гиперестественных значений H индекса n в дополнение к обычным натуральным n. Последовательность является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда для любых бесконечных H и K значения a_H и a_K бесконечно близки, или адекватны, то есть, st(a_H - a_K) = 0, где "st" – функция стандартной части.

Категории по коши

Ввел понятие Коши-заполнения категории. При применении к (категории, объектами которой являются рациональные числа, и морфизм из x в y существует тогда и только тогда, когда ), это Коши-заполнение дает (снова интерпретируемое как категория, использующая свой естественный порядок).