Введение

В комплексном анализе целостная функция, также называемая интегральной функцией, — это комплекснозначная функция, голоморфная на всей комплексной плоскости. Типичными примерами целых функций являются многочлены и экспоненциальная функция, а также любые конечные суммы, произведения и композиции этих функций, такие как тригонометрические функции синус и косинус и их гиперболические аналоги sinh и cosh, а также производные и интегралы целых функций, например, функция ошибок. Если у целой функции есть корень в точке z₀, то функция f(z)/ (z-z₀) также является целой функцией. С другой стороны, натуральный логарифм, функция обратной величины и квадратный корень не являются целыми функциями и не могут быть аналитически продолжены до целой функции. Трансцендентная целая функция — это целая функция, которая не является многочленом. Подобно тому, как мероморфные функции можно рассматривать как обобщение рациональных дробей, целые функции можно рассматривать как обобщение многочленов. В частности, если для мероморфных функций можно обобщить разложение на простые дроби (теорема Миттага — Леффлера о разложении мероморфной функции), то для целых функций существует обобщение разложения — теорема Вейерштрасса о целых функциях.

Другие примеры

По словам Дж. Э. Литтлвуда, функция сигма Вейерштрасса является "типичной" целой функцией. Это утверждение можно сформулировать более точно в теории случайных целых функций: асимптотическое поведение почти всех целых функций аналогично поведению сигма-функции. Другие примеры включают интегралы Френеля, тета-функцию Якоби и обратную гамма-функцию. Экспоненциальная функция и функция ошибок являются частными случаями функции Миттага-Леффлера. Согласно фундаментальной теореме Пейли и Винера, преобразования Фурье функций (или распределений) с ограниченной областью определения являются целыми функциями заданного порядка и конечного типа. Другие примеры – решения линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами. Если коэффициент при старшей производной постоянен, то все решения таких уравнений являются целыми функциями. Например, таким образом возникают экспоненциальная функция, синус, косинус, функции Эйри и параболические цилиндрические функции. Класс целых функций замкнут относительно композиций. Это позволяет изучать динамику целых функций. Целая функция от квадратного корня комплексного числа является целой, если исходная функция четная, например, если последовательность многочленов, все корни которых действительны, сходится в окрестности нуля к пределу, не тождественно равному нулю, то этот предел является целой функцией. Такие целые функции образуют класс Лагерра — Поля, который также можно охарактеризовать с точки зрения произведения Адамара, а именно, функция принадлежит этому классу тогда и только тогда, когда в представлении Адамара все действительны, , и , где и действительны, и. Например, последовательность многочленов сходится, при увеличении , к. Многочлены имеют все действительные корни и сходятся к. Многочлены также сходятся к , демонстрируя формирование произведения Адамара для косинуса.