Введение

Комплексная дифференцируемая (математическая) функция. Теория голоморфных функций Зариски на алгебраическом многообразии.

В математике голоморфная функция — это комплекснозначная функция одной или нескольких комплексных переменных, комплексно дифференцируемая в некоторой окрестности каждой точки в области в комплексном координатном пространстве Cⁿ. Существование комплексной производной в окрестности — очень сильное условие: оно подразумевает, что голоморфная функция бесконечно дифференцируема и локально совпадает со своим рядом Тейлора (является аналитической). Голоморфные функции являются центральными объектами изучения в комплексном анализе. Хотя термин «аналитическая функция» часто используется как синоним «голоморфной функции», слово «аналитическая» определяется в более широком смысле для обозначения любой функции (вещественной, комплексной или более общего типа), которую можно представить в виде сходящегося степенного ряда в некоторой окрестности каждой точки в её области определения. Тот факт, что все голоморфные функции являются комплексно аналитическими функциями, и наоборот, является важной теоремой в комплексном анализе. Голоморфные функции также иногда называют регулярными функциями. Голоморфная функция, областью определения которой является вся комплексная плоскость, называется целой функцией. Выражение «голоморфна в точке z₀» означает не только дифференцируемость в z₀, но и дифференцируемость во всей некоторой окрестности z₀ на комплексной плоскости.

Терминология

Термин "голоморфный" был введен в 1875 году Шарлем Брио и Жаном Клодом Буке, двумя учениками Огюстена Луи Коши, и происходит от греческого ὅλος (hólos), означающего "целый", и μορφή (morphḗ), означающего "форма", "вид" или "тип", в отличие от термина "мероморфный", происходящего от μέρος (méros), означающего "часть". Голоморфная функция подобна целой функции ("целой") в области комплексной плоскости, а мероморфная функция (определяемая как голоморфная, за исключением некоторых изолированных полюсов) подобна рациональной дроби ("части") целых функций в области комплексной плоскости. Коши вместо этого использовал термин "синектический". В настоящее время термин "голоморфная функция" иногда предпочитают термину "аналитическая функция". Важный результат в комплексном анализе заключается в том, что любая голоморфная функция является комплексно аналитической, что не следует непосредственно из определений. Термин "аналитический", однако, также широко используется.

Расширение функционального анализа

Понятие голоморфной функции может быть расширено на бесконечномерные пространства функционального анализа. Например, производная Фреше или производная Гато могут быть использованы для определения понятия голоморфной функции в пространстве Банаха над полем комплексных чисел.