Введение

В топологии декартовому произведению топологических пространств можно придать несколько различных топологий. Один из наиболее естественных выборов – топология коробки, где базис задается декартовыми произведениями открытых множеств в исходных пространствах. Другая возможность – топология произведения, где базис задается декартовыми произведениями открытых множеств в исходных пространствах, причем конечное число из них может не совпадать со всем исходным пространством. Хотя топология коробки имеет несколько более интуитивное определение, чем топология произведения, она обладает меньшим числом желаемых свойств. В частности, если все исходные пространства компактны, то топология коробки на их декартовом произведении не обязательно будет компактной, в то время как топология произведения на их декартовом произведении всегда будет компактной. В общем случае, топология коробки тоньше топологии произведения, хотя они совпадают для конечных прямых произведений (или когда все, кроме конечного числа, сомножителей тривиальны).

Сближение в топологии ящика

Топологии часто лучше всего понимать, описывая, как сходятся последовательности. В общем случае, декартово произведение пространства с самим собой над множеством индексов – это пространство функций из в , обозначаемое . Топология произведения порождает топологию точечной сходимости; последовательности функций сходятся тогда и только тогда, когда они сходятся в каждой точке из . Поскольку топология коробки тоньше, чем топология произведения, сходимость последовательности в топологии коробки является более сильным условием. Предполагая, что является хаусдорфовым, последовательность функций в сходится в топологии коробки к функции тогда и только тогда, когда она сходится к ней поточечно и существует конечное подмножество и такое , что для всех последовательность в постоянна для всех . Иными словами, последовательность в конечном итоге постоянна почти для всех и равномерно.

Сравнение с топологией продукта

Основные множества в топологии произведения почти такое же определение, как и выше, за исключением того, что все, кроме конечного числа Ui, равны соответствующему пространству Xi. Топология произведения обладает очень важным свойством для отображений fi: Y → Xi в компонентные пространства: произведение отображений f: Y → X, определяемое компонентными функциями fi, непрерывно тогда и только тогда, когда все отображения fi непрерывны. Как было показано выше, это не всегда верно для топологии ящика. Это делает топологию ящика очень полезной для построения контрпримеров — многие свойства, такие как компактность, связность, метризуемость и т.д., которыми обладают фактор-пространства, в общем случае не сохраняются при взятии произведения с этой топологией.