Введение

Понятие в общей топологии и анализе. В общей топологии и анализе пространство Коши является обобщением метрических и равномерных пространств, для которых сохраняется понятие сходимости по Коши. Пространства Коши были введены Х. Х. Келлером в 1968 году как аксиоматический инструмент, основанный на идее фильтра Коши, для изучения полноты в топологических пространствах. Категория пространств Коши и Коши-непрерывных отображений является декартово замкнутой и содержит категорию пространств близости.

Свойства и определения

Любое пространство Коши также является пространством сходимости, где фильтр сходится к точке, если последовательность, определяемая этим фильтром, является последовательностью Коши. В частности, пространство Коши несет естественную топологию.

Примеры

Любое однородное пространство (а следовательно, любое метрическое пространство, топологическое векторное пространство или топологическая группа) является пространством Коши; определения см. в статье «Фильтр Коши». Решетчатая упорядоченная группа обладает естественной структурой Коши. Любое направленное множество можно превратить в пространство Коши, объявив фильтр Коши, если для любого элемента существует элемент, такой что этот элемент является либо одноэлементным множеством, либо подмножеством «хвоста». Далее, для любого другого пространства Коши, функции, непрерывные по Коши, из в , совпадают с коши-сетями в , индексированными по . Если пространство полно, то такую функцию можно продолжить до завершения , значение продолжения в точке будет пределом сети. В случае, когда является множеством натуральных чисел (так что коши-сеть, индексированная по , совпадает с последовательностью Коши), получает ту же структуру Коши, что и метрическое пространство.

Категория пространств Коши

Естественным понятием морфизма между пространствами Коши является каши-непрерывная функция, концепция, которая ранее изучалась для равномерных пространств.