Уверенность и достоверность убеждений: философский анализ.

Введение

Убеждение в истинности положений без каких-либо сомнений.

Уверенность (также известная как эпистемическая или объективная определенность) — это эпистемическое свойство убеждений, в отношении которых у человека нет рациональных оснований для сомнения. Один из стандартных способов определения эпистемической уверенности заключается в том, что убеждение является уверенным, если и только если человек, придерживающийся этого убеждения, не может в нем ошибиться. Другие распространенные определения уверенности включают неоспоримость таких убеждений или определяют уверенность как свойство убеждений, обладающих наибольшим возможным обоснованием. Уверенность тесно связана со знанием, хотя современные философы склонны считать, что для знания требуются менее строгие условия, чем для уверенности. Хотя слово «уверенность» иногда используется для обозначения субъективной уверенности человека в истинности убеждения, философов прежде всего интересует вопрос о том, могут ли какие-либо убеждения достигать объективной уверенности. Философский вопрос о том, возможно ли когда-либо быть по-настоящему уверенным в чем-либо, широко обсуждается на протяжении веков. Многие сторонники философского скептицизма отрицают возможность уверенности или утверждают, что она возможна только в априорных областях, таких как логика или математика. Исторически многие философы считали, что знание требует эпистемической уверенности, и, следовательно, для того чтобы считать, что человек знает истину какого-либо положения, необходимо иметь безошибочное обоснование. Однако многих философов, таких как Рене Декарт, беспокоили вытекающие из этого скептические последствия, поскольку все наши переживания, по крайней мере, кажутся совместимыми с различными скептическими сценариями. Сегодня общепринято, что большинство наших убеждений совместимы с их ложностью и, следовательно, подвержены ошибкам, хотя статус уверенности все еще часто приписывается ограниченному кругу убеждений (например, «Я существую»). Очевидная подверженность ошибок наших убеждений привела многих современных философов к отрицанию того, что знание требует уверенности.

Степень уверенности

Физик Лоуренс М. Краусс полагает, что необходимость определения уровней достоверности недостаточно оценивается в различных областях, включая разработку политики и понимание науки. Это происходит потому, что разные цели требуют разной степени достоверности, а политики не всегда осознают (или не сообщают ясно), с каким уровнем достоверности мы имеем дело. Рудольф Карнап рассматривал достоверность как вопрос степени ("уровни достоверности"), который можно объективно измерить, при этом уровень один соответствует полной достоверности. Байесовский анализ выводит уровни достоверности, которые интерпретируются как мера субъективной психологической уверенности. В качестве альтернативы можно использовать юридические уровни достоверности. Эти стандарты доказательств возрастают следующим образом: отсутствие достоверных доказательств, наличие некоторых достоверных доказательств, преобладание доказательств, ясные и убедительные доказательства, доказанность вне разумных сомнений и доказанность вне всяких сомнений (то есть, бесспорно признанный как недостижимый стандарт, служащий лишь для завершения перечня). Если знание требует абсолютной достоверности, то знание, вероятно, невозможно, что подтверждается очевидной подверженностью ошибок наших убеждений.

Кризис в математике

Основополагающий кризис математики — термин начала XX века, обозначавший поиск надёжных основ математики. После того как в XX веке одна за другой несколько школ философии математики столкнулись с трудностями, предположение о том, что математика имеет какие-либо основания, которые можно сформулировать внутри самой математики, подверглось серьёзным сомнениям. Одна попытка за другой создать непоколебимые основания для математики оказывалась подвержена различным парадоксам (таким как парадокс Рассела) и противоречиям. Различные школы мысли противопоставлялись друг другу. Ведущей была формалистская школа, главным представителем которой был Давид Гильберт, кульминацией которой стала известная как программа Гильберта, стремившаяся обосновать математику на небольшом базисе формальной системы, обоснованность которой доказывалась метаматематическими финитистскими методами. Главным оппонентом была школа интуиционизма во главе с Л. Э. Й. Брауэром, которая решительно отвергала формализм как бессмысленную игру с символами. Борьба была ожесточённой. В 1920 году Гильберту удалось отстранить Брауэра, которого он считал угрозой для математики, из редакционного совета журнала Mathematische Annalen, ведущего математического журнала того времени. Теоремы о неполноте Гёделя, доказанные в 1931 году, показали, что существенные аспекты программы Гильберта не могут быть достигнуты. В первом результате Гёдель показал, как построить для любой достаточно мощной и непротиворечивой конечно аксиоматизируемой системы, такой как необходимая для аксиоматизации элементарной теории арифметики, утверждение, которое можно доказать истинным, но которое не вытекает из правил системы. Таким образом, стало ясно, что понятие математической истины нельзя свести к чисто формальной системе, как это предполагалось в программе Гильберта. Во втором результате Гёдель показал, что такой системе недостаточно мощности для доказательства собственной непротиворечивости, не говоря уже о том, что более простая система могла бы справиться с этой задачей. Это доказывает, что нет надежды доказать непротиворечивость любой системы, содержащей аксиоматизацию элементарной арифметики, и, в частности, доказать непротиворечивость теории множеств Цермело — Френкеля (ZFC), системы, которая обычно используется для построения всей математики. Однако, если ZFC непротиворечива, существует доказательство как теоремы, так и её отрицания, что привело бы к доказательству всех теорем и всех их отрицаний. Поскольку, несмотря на большое количество глубоко изученных математических областей, такого противоречия так и не было обнаружено, это обеспечивает почти полную уверенность в математических результатах. Более того, если такое противоречие в конечном итоге будет найдено, большинство математиков убеждены, что его можно будет разрешить путём незначительной модификации аксиом ZFC. Кроме того, метод принуждения позволяет доказать непротиворечивость теории, при условии, что другая теория непротиворечива. Например, если ZFC непротиворечива, то добавление к ней гипотезы континуума или её отрицания определяет две непротиворечивые теории (иными словами, гипотеза континуума независима от аксиом ZFC). Существование доказательств относительной непротиворечивости подразумевает, что непротиворечивость современной математики в слабой степени зависит от конкретного выбора аксиом, на которых построена математика. В этом смысле кризис был разрешён, поскольку, хотя непротиворечивость ZFC не доказуема, она решает (или обходит) все логические парадоксы, лежавшие в основе кризиса, и существует множество фактов, обеспечивающих квази-уверенность в непротиворечивости современной математики.

The foundational crisis of mathematics was the early 20th century's term for the search for proper foundations of mathematics. After several schools of the philosophy of mathematics ran into difficulties one after the other in the 20th century, the assumption that mathematics had any foundation that could be stated within mathematics itself began to be heavily challenged. One attempt after another to provide unassailable foundations for mathematics was found to suffer from various paradoxes (such as Russell's paradox) and to be inconsistent. Various schools of thought were opposing each other. The leading school was that of the formalist approach, of which David Hilbert was the foremost proponent, culminating in what is known as Hilbert's program, which sought to ground mathematics on a small basis of a formal system proved sound by metamathematical finitistic means. The main opponent was the intuitionist school, led by L. E. J. Brouwer, which resolutely discarded formalism as a meaningless game with symbols. The fight was acrimonious. In 1920 Hilbert succeeded in having Brouwer, whom he considered a threat to mathematics, removed from the editorial board of Mathematische Annalen, the leading mathematical journal of the time. Gödel's incompleteness theorems, proved in 1931, showed that essential aspects of Hilbert's program could not be attained. In Gödel's first result he showed how to construct, for any sufficiently powerful and consistent finitely axiomatizable systemsuch as necessary to axiomatize the elementary theory of arithmetica statement that can be shown to be true, but that does not follow from the rules of the system. It thus became clear that the notion of mathematical truth cannot be reduced to a purely formal system as envisaged in Hilbert's program. In a next result Gödel showed that such a system was not powerful enough for proving its own consistency, let alone that a simpler system could do the job. This proves that there is no hope to prove the consistency of any system that contains an axiomatization of elementary arithmetic, and, in particular, to prove the consistency of Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), the system which is generally used for building all mathematics. However, if ZFC is not consistent, there exists a proof of both a theorem and its negation, and this would imply a proof of all theorems and all their negations. As, despite the large number of mathematical areas that have been deeply studied, no such contradiction has ever been found, this provides an almost certainty of mathematical results. Moreover, if such a contradiction would eventually be found, most mathematicians are convinced that it will be possible to resolve it by a slight modification of the axioms of ZFC. Moreover, the method of forcing allows proving the consistency of a theory, provided that another theory is consistent. For example, if ZFC is consistent, adding to it the continuum hypothesis or a negation of it defines two theories that are both consistent (in other words, the continuum is independent from the axioms of ZFC). This existence of proofs of relative consistency implies that the consistency of modern mathematics depends weakly on a particular choice on the axioms on which mathematics are built. In this sense, the crisis has been resolved, as, although consistency of ZFC is not provable, it solves (or avoids) all logical paradoxes at the origin of the crisis, and there are many facts that provide a quasi certainty of the consistency of modern mathematics.