Введение

Одна из четырех основных арифметических операций

Вычитание (означаемое знаком минус) является одной из четырех арифметических операций наряду со сложением, умножением и делением. Вычитание – это операция, представляющая собой удаление объектов из совокупности. Например, на прилегающем рисунке изображено 5 − 2 персика, что означает 5 персиков, из которых убрали 2, в результате чего осталось 3 персика. Следовательно, разность 5 и 2 равна 3; то есть 5 − 2 = 3. Хотя вычитание в основном связано с натуральными числами в арифметике, оно также может представлять удаление или уменьшение физических и абстрактных величин с использованием различных видов объектов, включая отрицательные числа, дроби, иррациональные числа, векторы, десятичные числа, функции и матрицы. В определенном смысле вычитание является обратной операцией сложению. То есть, c = a − b тогда и только тогда, когда c + b = a. Иными словами, разность двух чисел – это число, которое при сложении со вторым числом дает первое. Вычитание подчиняется нескольким важным закономерностям. Оно антикоммутативно, то есть изменение порядка операндов меняет знак результата. Оно также не ассоциативно, что означает, что при вычитании более двух чисел порядок выполнения операций имеет значение. Поскольку 0 является аддитивным элементом, вычитание нуля не изменяет число. Вычитание также подчиняется предсказуемым правилам, касающимся связанных операций, таких как сложение и умножение. Все эти правила могут быть доказаны, начиная с вычитания целых чисел и обобщая их до действительных чисел и далее. Общие бинарные операции, соответствующие этим закономерностям, изучаются в абстрактной алгебре. В теории вычислимости, поскольку вычитание не определено для натуральных чисел, операции между числами фактически определяются с использованием «усеченного вычитания» или моноса.

Целые числа

Представьте себе отрезок прямой длиной b с левым концом, обозначенным a, и правым концом, обозначенным c. Начиная с a, требуется b шагов вправо, чтобы достичь c. Это движение вправо моделируется математически сложением: a + b = c. От c требуется b шагов влево, чтобы вернуться к a. Это движение влево моделируется вычитанием: c − b = a. Теперь рассмотрим отрезок прямой, размеченный числами , , и . С позиции 3, чтобы остаться на 3, не требуется шагов влево, то есть 3 = 3 − 0 = 3. Чтобы добраться до позиции 1, нужно сделать 2 шага влево, то есть 1 = 3 − 2 = 1. Однако, эта модель недостаточна для описания того, что произойдет, если мы сделаем 3 шага влево от позиции 3. Чтобы представить такую операцию, линию необходимо расширить. Для вычитания произвольных натуральных чисел, начинаем с прямой, содержащей все натуральные числа (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …). От 3 требуется 3 шага влево, чтобы добраться до 0, то есть 0 = 3 − 3 = 0. Но 3 − 4 все еще не имеет смысла, так как это снова выходит за пределы прямой. Натуральные числа не являются подходящим контекстом для вычитания. Решение состоит в том, чтобы рассмотреть числовую прямую целых чисел (…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …). Таким образом, чтобы добраться от 3 до −1, нужно сделать 4 шага влево: −1 = 3 − 4 = −1.

Натуральные числа

Вычитание натуральных чисел не является замкнутым: разность не является натуральным числом, если уменьшаемое меньше вычитаемого. Например, из 11 нельзя вычесть 26, чтобы получить натуральное число. В этом случае применяют один из двух подходов:
Считать, что вычитание 26 из 11 невозможно; тогда вычитание становится частной функцией. Либо представить ответ в виде целого числа, обозначающего отрицательное число, то есть результатом вычитания 26 из 11 будет −15.

Реальные числа

Поле действительных чисел может быть определено, указав только две бинарные операции — сложение и умножение, а также унарные операции, дающие аддитивные и мультипликативные обратные. Вычитание одного действительного числа (вычитаемого) из другого (уменьшаемого) можно тогда определить как сложение уменьшаемого и аддитивного обратного вычитаемого. Например, 1 = 3 − π = 3 + (−π). Альтернативно, вместо требования наличия этих унарных операций, в качестве основных можно принять бинарные операции вычитания и деления.

Антикоммутативность

Вычитание обладает антикоммутативностью, что означает, что если в разности поменять местами вычитаемое и уменьшаемое, то результат изменится на противоположный. Символически, для любых двух чисел a и b верно следующее: a − b = −(b − a).

Предшественник

В контексте целых чисел вычитание единицы также играет особую роль: для любого целого числа a, целое число (a − 1) является наибольшим целым числом, меньшим a, также известным как предшественник числа a.

Единицы измерения

При вычитании двух чисел, выраженных в единицах измерения, таких как килограммы или фунты, необходимо, чтобы эти единицы были одинаковыми. В большинстве случаев разность будет выражена в той же единице измерения, что и исходные числа.

Проценты

Изменения в процентах могут быть представлены как минимум в двух формах: процентное изменение и изменение в процентных пунктах. Процентное изменение отражает относительное изменение между двумя величинами, выраженное в процентах, а изменение в процентных пунктах – это просто разность между двумя процентами. Например, предположим, что 30% изделий, произведенных на фабрике, являются бракованными. Через шесть месяцев 20% изделий оказываются бракованными. Процентное изменение равно (20-30)/30 = -0.3333 = -33.33%, а изменение в процентных пунктах составляет -10 процентных пунктов.

Обучение вычитанию в школах

Методы обучения вычитанию в начальной школе различаются в зависимости от страны, а внутри одной страны в разные периоды времени применяются разные подходы. В том, что в Соединенных Штатах называют традиционной математикой, учащимся преподают определенный алгоритм в конце первого (или в течение второго) класса для работы с многозначными целыми числами, который затем, в четвертом или пятом классе, расширяется для включения десятичных представлений дробных чисел.

В Америке

Почти во всех американских школах в настоящее время преподают метод вычитания с использованием заёма или перегруппировки (алгоритм разложения) и систему вспомогательных отметок, называемую «костылями». Хотя метод заёма был известен и публиковался в учебниках и ранее, использование «костылей» в американских школах получило распространение после публикации исследования Уильяма А. Браунелла, в котором утверждалось, что «костыли» полезны для учеников, использующих этот метод. Эта система быстро прижилась, вытеснив другие методы вычитания, которые использовались в Америке в то время.

В Европе

В некоторых европейских школах используется метод вычитания, называемый австрийским методом, также известный как метод прибавления. В этом методе не происходит заёма. Также используются вспомогательные обозначения (помощники для запоминания), которые различаются в зависимости от страны.

Американский метод

В этом методе каждая цифра вычитаемого вычитается из цифры, расположенной над ней, начиная справа налево. Если верхняя цифра меньше нижней, к ней прибавляется 10; это 10 "заимствуется" у следующей цифры слева, из которой вычитается 1. Затем переходим к вычитанию следующей цифры и заимствованию при необходимости, пока не будут вычтены все цифры. Пример: