Логические противоречия и их следствия

Введение

Логическая несовместимость между двумя или более высказываниями.

В традиционной логике противоречие возникает, когда высказывание конфликтует либо само с собой, либо с установленным фактом. Оно часто используется как инструмент для выявления неискренних убеждений и предвзятости. Демонстрируя общую тенденцию в прикладной логике, закон непротиворечия Аристотеля гласит: "Невозможно, чтобы одно и то же одновременно и принадлежало, и не принадлежало одному и тому же объекту в одном и том же отношении". В современной формальной логике и теории типов этот термин в основном используется для обозначения отдельного высказывания, часто обозначаемого символом *falsum*; высказывание является противоречием, если из него, используя правила логики, можно вывести ложь. Это высказывание, которое безусловно ложно (то есть самопротиворечиво). Это понятие можно обобщить на набор высказываний, который тогда говорят "содержит" противоречие.

История

Создавая парадокс, диалог Платона «Эвтидем» демонстрирует необходимость понятия противоречия. В последующем диалоге Дионисодор отрицает существование "противоречия", в то время как Сократ противоречит ему: Действительно, Дионисодор согласен с тем, что "не существует ложного мнения, не существует невежества", и требует от Сократа: "Опровергни меня". Сократ отвечает: "Но как я могу опровергнуть тебя, если, по твоим словам, солгать невозможно?"

В формальной логике

В классической логике, особенно в логике высказываний и логике первого порядка, высказывание является противоречием тогда и только тогда, когда оно ложно при всех интерпретациях. Поскольку из противоречия следует всё (потому что из противоречия можно вывести любое высказывание), из любого набора аксиом, содержащего противоречие, можно вывести любое другое высказывание. Это называется "принципом взрыва" или "ex falso quodlibet" ("из ложного следует всё"). В полной логике формула является противоречивой тогда и только тогда, когда она невыполнима.

Доказательство противоречия

Для набора непротиворечивых посылок и предложения в классической логике верно, что (т.е. доказывает) тогда и только тогда, когда (т.е. и приводит к противоречию). Использование этого факта лежит в основе метода доказательства, называемого доказательством от противного, который математики широко используют для установления истинности широкого спектра теорем. Это применимо только в логике, где закон исключённого третьего принимается как аксиома. Используя минимальную логику, логику с аналогичными аксиомами классической логики, но без *ex falso quodlibet* и доказательства от противного, мы можем исследовать аксиоматическую силу и свойства различных правил, оперирующих с противоречием, рассматривая теоремы классической логики, которые не являются теоремами минимальной логики. Каждое из этих расширений приводит к промежуточной логике: устранение двойного отрицания (DNE) является самым сильным принципом, аксиоматизированным , и при добавлении к минимальной логике даёт классическую логику. *Ex falso quodlibet* (EFQ), аксиоматизированный , лицензирует многие следствия отрицаний, но обычно не помогает вывести предложения, не содержащие абсурда, из непротиворечивых посылок, содержащих его. При добавлении к минимальной логике EFQ даёт интуиционистскую логику. EFQ эквивалентен *ex contradictione quodlibet*, аксиоматизированному , над минимальной логикой. Правило Пирса (PR) — это аксиома , которая формализует доказательство от противного, не ссылаясь явно на абсурд. Минимальная логика + PR + EFQ даёт классическую логику. Аксиома Гёделя-Думмета (GD), наиболее простая интерпретация которой заключается в том, что существует линейный порядок на множестве истинностных значений. Минимальная логика + GD даёт логику Гёделя-Думмета. Правило Пирса включает, но не включается GD над минимальной логикой. Закон исключённого третьего (LEM), аксиоматизированный , является наиболее часто цитируемой формулировкой принципа бивалентности, но в отсутствие EFQ он не даёт полной классической логики. Минимальная логика + LEM + EFQ даёт классическую логику. PR предполагает, но не предполагается LEM в минимальной логике. Если формула B в правиле Пирса ограничена абсурдом, что даёт схему аксиом , то эта схема эквивалентна LEM над минимальной логикой. Слабый закон исключённого третьего (WLEM) аксиоматизирован и даёт систему, в которой дизъюнкция ведёт себя больше как в классической логике, чем в интуиционистской, то есть свойства дизъюнкции и существования не выполняются, но использование неинтуиционистского рассуждения маркируется появлением двойного отрицания в заключении. LEM включает, но не включается в WLEM в минимальной логике. WLEM эквивалентен экземпляру закона Де Моргана, распределяющего отрицание по конъюнкции: .

For a set of consistent premises and a proposition , it is true in classical logic that (i. e., proves ) if and only if (i. e., and leads to a contradiction). Therefore, a proof that also proves that is true under the premises The use of this fact forms the basis of a proof technique called proof by contradiction, which mathematicians use extensively to establish the validity of a wide range of theorems. This applies only in a logic where the law of excluded middle is accepted as an axiom. Using minimal logic, a logic with similar axioms to classical logic but without ex falso quodlibet and proof by contradiction, we can investigate the axiomatic strength and properties of various rules that treat contradiction by considering theorems of classical logic that are not theorems of minimal logic. Each of these extensions leads to an intermediate logic:
Double negation elimination (DNE) is the strongest principle, axiomatized , and when it is added to minimal logic yields classical logic. Ex falso quodlibet (EFQ), axiomatized , licenses many consequences of negations, but typically does not help to infer propositions that do not involve absurdity from consistent propositions that do. When added to minimal logic, EFQ yields intuitionistic logic. EFQ is equivalent to ex contradiction quodlibet, axiomatized , over minimal logic. Peirce's rule (PR) is an axiom that captures proof by contradiction without explicitly referring to absurdity. Minimal logic + PR + EFQ yields classical logic. The Gödel Dummett (GD) axiom , whose most simple reading is that there is a linear order on truth values. Minimal logic + GD yields Gödel Dummett logic. Peirce's rule entails but is not entailed by GD over minimal logic. Law of the excluded middle (LEM), axiomatised , is the most often cited formulation of the principle of bivalence, but in the absence of EFQ it does not yield full classical logic. Minimal logic + LEM + EFQ yields classical logic. PR entails but is not entailed by LEM in minimal logic. If the formula B in Peirce's rule is restricted to absurdity, giving the axiom schema , the scheme is equivalent to LEM over minimal logic. Weak law of the excluded middle (WLEM) is axiomatised and yields a system where disjunction behaves more like in classical logic than intuitionistic logic, i. e. the disjunction and existence properties don't hold, but where use of non intuitionistic reasoning is marked by occurrences of double negation in the conclusion. LEM entails but is not entailed by WLEM in minimal logic. WLEM is equivalent to the instance of De Morgan's law that distributes negation over conjunction: .

Символическое представление

В математике символ, используемый для обозначения противоречия в доказательстве, может быть различным. Некоторые символы, которые могут использоваться для обозначения противоречия, включают ↯, Opq, , ⊥, / и ※; в любой символике противоречие может быть подставлено вместо значения истинности "ложь", которое обозначается, например, "0" (как это принято в булевой алгебре). Не редкостью является использование Q. E. D. или его вариантов сразу после символа противоречия. Фактически, это часто встречается в доказательстве от противного, чтобы указать на то, что исходное предположение было доказано ложным, а следовательно, его отрицание должно быть истинным.

Философия

Сторонники эпистемологической теории когерентизма обычно утверждают, что необходимым условием обоснованности убеждения является то, что это убеждение должно быть частью логически непротиворечивой системы убеждений. Некоторые диалетеисты, включая Грэхема Приста, утверждают, что когерентность может не требовать непротиворечивости.

Прагматические противоречия

Прагматическое противоречие возникает, когда само высказывание аргумента противоречит тем утверждениям, которые он призван обосновать. В этом случае возникает непоследовательность, поскольку именно акт высказывания, а не содержание сказанного, ставит под сомнение его заключение.

За пределами формальной логики

В повседневной речи действия или высказывания могут считаться противоречивыми, если они основаны (или кажутся основанными) на предположениях, которые логически противоречат друг другу. В математике доказательство от противного используется для построения доказательств. Научный метод использует противоречия для фальсификации неверных теорий.