Введение
Категория непустых конечных ординалов и отображений, сохраняющих порядок. В математике, симплексная категория (или симплициальная категория, или категория непустых конечных ординалов) — это категория непустых конечных ординалов и отображений, сохраняющих порядок. Она используется для определения симплициальных и косимплициальных объектов.
In mathematics, the simplex category (or simplicial category or nonempty finite ordinal category) is the category of non empty finite ordinals and order preserving maps. It is used to define simplicial and cosimplicial objects.
Формальное определение
Категория симплексов обычно обозначается как Δ. Существует несколько эквивалентных описаний этой категории. Δ можно описать как категорию непустых конечных ординалов в качестве объектов, рассматриваемых как вполне упорядоченные множества, и (нестрого) порядок-сохраняющих функций в качестве морфизмов. Объекты обычно обозначаются как [n] (так что [0] – это ординал 0). Категория порождается кофасными и кодегенеративными отображениями, которые сводятся к вставке или удалению элементов в упорядочениях. (См. симплициальный комплекс для связи между этими отображениями.) Симплициальный объект – это прешеф на Δ, то есть контрвариантный функтор из Δ в другую категорию. Например, симплициальные множества контрвариантны относительно кодоменной категории, являющейся категорией множеств. Косимплициальный объект определяется аналогично как ковариантный функтор, исходящий из Δ.
Категория "увеличенный симплекс"
Категория дополненного симплекса, обозначаемая как , является категорией всех конечных ординалов и отображений, сохраняющих порядок, таким образом , где . Соответственно, эта категория также может быть обозначена как FinOrd. Категорию дополненного симплекса иногда называют симплексной категорией алгебраистов, а вышеуказанную версию – симплексной категорией топологов. Контравариантный функтор, определенный на , называется дополненным симплициальным объектом, а ковариантный функтор из – дополненным косимплициальным объектом; когда целевая категория является категорией множеств, например, они называются соответственно дополненными симплициальными множествами и дополненными косимплициальными множествами. В отличие от категории симплекса, категория дополненного симплекса допускает естественную моноидальную структуру. Моноидальное произведение задается конкатенацией линейных порядков, а единицей является пустой ординал (отсутствие единицы не позволяет рассматривать это как моноидальную структуру на ). Фактически, – это моноидальная категория, свободно порожденная единственным моноидным объектом, заданным с единственной возможной единицей и умножением. Это описание полезно для понимания того, как любой комонадический объект в моноидальной категории порождает симплициальный объект, поскольку его можно рассматривать как образ функтора из в моноидальную категорию, содержащую комонаду; отбрасывая дополнение, мы получаем симплициальный объект. Аналогичным образом, это также проясняет построение симплициальных объектов из монад (и, следовательно, сопряженных функторов), поскольку монады можно рассматривать как моноидные объекты в категориях эндофункторов.