Введение

Математическая теория, открытая Йозефом Марцинкевичем.
В математике теорема интерполяции Марцинкевича, открытая Йозефом Марцинкевичем, является результатом, ограничивающим нормы нелинейных операторов, действующих на пространства Lp. Теорема Марцинкевича похожа на теорему Риеша-Торина о линейных операторах, но также применима к нелинейным операторам.

Применение и примеры

Известный пример применения — преобразование Гильберта. Рассматриваемое как умножитель, преобразование Гильберта функции f можно вычислить, сначала взяв преобразование Фурье функции f, затем умножив на функцию знака и, наконец, применив обратное преобразование Фурье. Следовательно, теорема Парсеваля легко показывает, что преобразование Гильберта ограничено из в . Гораздо менее очевидным фактом является то, что оно ограничено из в . Таким образом, теорема Марцинкевича показывает, что оно ограничено из в для любого 1 < p < 2. Аргументы двойственности показывают, что оно также ограничено для 2 < p < ∞. Фактически, преобразование Гильберта неограниченно для p, равного 1 или ∞. Другой известный пример — максимальная функция Харди — Литтлвуда, которая является сублинейным оператором, а не линейным. В то время как границы из в можно получить непосредственно из слабой оценки из в путем умелой замены переменных, интерполяция Марцинкевича является более интуитивным подходом. Поскольку максимальная функция Харди — Литтлвуда тривиально ограничена из в , сильная ограниченность для всех следует непосредственно из слабой (1,1)-оценки и интерполяции. Слабая (1,1)-оценка может быть получена из леммы о покрытиях Витали.

История

Теорема была впервые объявлена , который показал этот результат Антони Зигмунду незадолго до его смерти во Второй мировой войне. Зигмунд почти забыл об этой теореме, и она отсутствовала в его оригинальных работах по теории сингулярных интегральных операторов. Позже осознал, что результат Марсинкевича может значительно упростить его работу, после чего он опубликовал теорему своего бывшего студента вместе со своим собственным обобщением. В 1964 году Ричард А. Хант и Гидо Вайс опубликовали новое доказательство теоремы интерполяции Марсинкевича.