Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Обратимый маятник свободного качания
Reversible free swinging pendulum
Маятник Катера — это обратимый маятник свободного качания, изобретенный британским физиком и армейским капитаном Генри Катером в 1817 году и опубликованный 29 января 1818 года для использования в качестве гравиметрического инструмента для измерения локального ускорения свободного падения. Его преимущество заключается в том, что, в отличие от предыдущих маятниковых гравиметров, не требуется определять центр тяжести и центр колебаний маятника, что обеспечивает более высокую точность. Около столетия, до 1930-х годов, маятник Катера и его различные усовершенствования оставались стандартным методом измерения силы тяжести Земли при геодезических съемках. В настоящее время он используется только для демонстрации принципов работы маятника.
A Kater's pendulum is a reversible free swinging pendulum invented by British physicist and army captain Henry Kater in 1817, published 29th January 1818 for use as a gravimeter instrument to measure the local acceleration of gravity. Its advantage is that, unlike previous pendulum gravimeters, the pendulum's centre of gravity and center of oscillation do not have to be determined, allowing a greater accuracy. For about a century, until the 1930s, Kater's pendulum and its various refinements remained the standard method for measuring the strength of the Earth's gravity during geodetic surveys. It is now used only for demonstrating pendulum principles.
Измерение гравитации маятниками
Первым человеком, обнаружившим, что сила тяжести меняется на поверхности Земли, был французский ученый Жан Рише, которого в 1671 году Французская академия наук отправила в экспедицию в Кайенну, Французская Гвиана, с задачей проводить измерения с помощью маятниковых часов. Благодаря наблюдениям, сделанным в следующем году, Рише установил, что часы отставали на 2 1/2 минуты в день по сравнению с Парижем, или, что эквивалентно, длина маятника с периодом колебания в одну секунду была на 1 1/4 парижских линий, или 2,6 мм, короче, чем в Париже. Ученые того времени осознали это, а Исаак Ньютон доказал в 1687 году, что это связано с тем, что Земля не является идеальной сферой, а слегка сплюснута у полюсов; она расширена в районе экватора из-за вращения Земли. Поскольку поверхность в Кайенне находилась дальше от центра Земли, чем в Париже, сила тяжести там была слабее. После этого открытия свободно качающиеся маятники стали использоваться как прецизионные гравиметры, которые брали с собой в путешествия по разным частям света для измерения местного ускорения свободного падения. Накопление географических данных о гравитации привело к созданию все более точных моделей общей формы Земли. Маятники настолько широко использовались для измерения силы тяжести, что во времена Катера местную силу тяжести обычно выражали не значением ускорения g, используемым сейчас, а длиной секундного маятника в данной точке – маятника с периодом в две секунды, то есть с периодом колебания в одну секунду для каждого полукачания. Из уравнения (1) следует, что для секундного маятника длина просто пропорциональна g:
The first person to discover that gravity varied over the Earth's surface was French scientist Jean Richer, who in 1671 was sent on an expedition to Cayenne, French Guiana, by the French Académie des Sciences, assigned the task of making measurements with a pendulum clock. Through the observations he made in the following year, Richer determined that the clock was 2 1/2 minutes per day slower than at Paris, or equivalently the length of a pendulum with a swing of one second there was 1 1/4 Paris lines, or 2.6 mm, shorter than at Paris. It was realized by the scientists of the day, and proven by Isaac Newton in 1687, that this was due to the fact that the Earth was not a perfect sphere but slightly oblate; it was thicker at the equator because of the Earth's rotation. Since the surface was farther from the Earth's center at Cayenne than at Paris, gravity was weaker there. After that discovery was made, freeswinging pendulums started to be used as precision gravimeters, taken on voyages to different parts of the world to measure the local gravitational acceleration. The accumulation of geographical gravity data resulted in more and more accurate models of the overall shape of the Earth. Pendulums were so universally used to measure gravity that, in Kater's time, the local strength of gravity was usually expressed not by the value of the acceleration g now used, but by the length at that location of the seconds pendulum, a pendulum with a period of two seconds, so each swing takes one second. It can be seen from equation (1) that for a seconds pendulum, the length is simply proportional to g:
Неточность гравиметров
В свое время период Т маятника можно было очень точно измерить, отсчитывая его с помощью точных часов, установленных по прохождению звезд. До открытия Катера точность измерений g была ограничена сложностью точного измерения другого фактора L – длины маятника. L в уравнении (1) выше – это длина идеального математического «простого маятника», состоящего из точечной массы, качающейся на конце невесомой нити. Однако «длину» реального маятника, представляющего собой колеблющееся твердое тело, известного в механике как составной маятник, определить сложнее. В 1673 году голландский ученый Христиан Гюйгенс в своем математическом анализе маятников, «Horologium Oscillatorium», показал, что реальный маятник имеет тот же период, что и простой маятник с длиной, равной расстоянию между точкой подвеса и точкой, называемой центром колебаний, которая находится под центром тяжести маятника и зависит от распределения массы по его длине. Проблема заключалась в том, что не существовало способа точно определить положение центра колебаний в реальном маятнике. Теоретически его можно было рассчитать по форме маятника, если бы металлические части имели однородную плотность, но металлургическое качество и математические возможности того времени не позволяли провести расчет с достаточной точностью. Чтобы обойти эту проблему, большинство ранних исследователей гравитации, такие как Жан Пикар (1669), Шарль Мари де ла Кондамин (1735) и Жан Шарль де Борда (1792), аппроксимировали простой маятник, используя металлическую сферу, подвешенную на легкой проволоке. Если масса проволоки была пренебрежимо мала, центр колебаний был близок к центру тяжести сферы. Но даже точное определение центра тяжести сферы было затруднительно. Кроме того, этот тип маятника изначально не отличался высокой точностью. Сфера и проволока не качались вперед и назад как единое жесткое тело, поскольку сфера приобретала небольшой угловой импульс при каждом колебании. Также проволока упруго растягивалась во время качания маятника, незначительно изменяя L в течение цикла.
In Kater's time, the period T of pendulums could be measured very precisely by timing them with precision clocks set by the passage of stars overhead. Prior to Kater's discovery, the accuracy of g measurements was limited by the difficulty of measuring the other factor L, the length of the pendulum, accurately. L in equation (1) above was the length of an ideal mathematical 'simple pendulum' consisting of a point mass swinging on the end of a massless cord. However the 'length' of a real pendulum, a swinging rigid body, known in mechanics as a compound pendulum, is more difficult to define. In 1673 Dutch scientist Christiaan Huygens in his mathematical analysis of pendulums, Horologium Oscillatorium, showed that a real pendulum had the same period as a simple pendulum with a length equal to the distance between the pivot point and a point called the center of oscillation, which is located under the pendulum's center of gravity and depends on the mass distribution along the length of the pendulum. The problem was there was no way to find the location of the center of oscillation in a real pendulum accurately. It could theoretically be calculated from the shape of the pendulum if the metal parts had uniform density, but the metallurgical quality and mathematical abilities of the time didn't allow the calculation to be made accurately. To get around this problem, most early gravity researchers, such as Jean Picard (1669), Charles Marie de la Condamine (1735), and Jean Charles de Borda (1792) approximated a simple pendulum by using a metal sphere suspended by a light wire. If the wire had negligible mass, the center of oscillation was close to the center of gravity of the sphere. But even finding the center of gravity of the sphere accurately was difficult. In addition, this type of pendulum inherently wasn't very accurate. The sphere and wire didn't swing back and forth as a rigid unit, because the sphere acquired a slight angular momentum during each swing. Also the wire stretched elastically during the pendulum's swing, changing L slightly during the cycle.
Раствор Катера
Однако в «Horologium Oscillatorium» Гюйгенс также доказал, что точка опоры и центр колебаний взаимозаменяемы. То есть, если любой маятник подвесить вниз головой от центра колебаний, его период колебаний останется прежним, а новый центр колебаний совпадёт со старой точкой опоры. Расстояние между этими двумя сопряжёнными точками равно длине простого маятника с тем же периодом. Будучи членом комитета, назначенного Королевским обществом в 1816 году для реформирования британской системы мер, Катер получил заказ от Палаты общин на точное определение длины секундного маятника в Лондоне. Он понял, что принцип Гюйгенса можно использовать для определения центра колебаний, а следовательно, и длины L жёсткого (составного) маятника. Если маятник подвесить вниз головой от второй точки опоры, которую можно регулировать вверх и вниз по стержню маятника, и отрегулировать эту вторую точку опоры до тех пор, пока период колебаний маятника не станет таким же, как при обычном подвесе от первой точки опоры, то вторая точка опоры окажется в центре колебаний, а расстояние между двумя точками опоры будет равно L.
However, in Horologium Oscillatorium, Huygens had also proved that the pivot point and the center of oscillation were interchangeable. That is, if any pendulum is suspended upside down from its center of oscillation, it has the same period of swing, and the new center of oscillation is the old pivot point. The distance between these two conjugate points was equal to the length of a simple pendulum with the same period. As part of a committee appointed by the Royal Society in 1816 to reform British measures, Kater had been contracted by the House of Commons to determine accurately the length of the seconds pendulum in London. He realized Huygens' principle could be used to find the center of oscillation, and so the length L, of a rigid (compound) pendulum. If a pendulum were hung upside down from a second pivot point that could be adjusted up and down on the pendulum's rod, and the second pivot were adjusted until the pendulum had the same period as it did when swinging right side up from the first pivot, the second pivot would be at the center of oscillation, and the distance between the two pivot points would be L.
Катер был не первым, кто пришёл к этой идее. Французский математик Гаспар де Прони впервые предложил обратимый маятник в 1800 году, но его работа была опубликована лишь в 1889 году. В 1811 году Фридрих Боненбергер вновь открыл его, однако Катер независимо изобрел его и первым реализовал на практике.
Kater was not the first to have this idea. French mathematician Gaspard de Prony first proposed a reversible pendulum in 1800, but his work was not published until 1889. In 1811 Friedrich Bohnenberger again discovered it, but Kater independently invented it and was first to put it in practice.
Маятник
Катер построил маятник, состоящий из латунного стержня длиной около 2 метров, шириной 1 1/2 дюйма и толщиной в 1/8 дюйма, с грузом (d) на одном конце. Для обеспечения низкого трения он использовал пару коротких треугольных "ножевых" лезвий, прикрепленных к стержню. При использовании маятник подвешивался на кронштейне на стене, опираясь краями ножевых лезвий на плоские агатовые пластины. Маятник имел два таких опорных узла (a), обращенных друг к другу, на расстоянии около метра (40 дюймов) друг от друга, так что период колебаний маятника составлял примерно одну секунду при подвешивании на каждом узле. Катер обнаружил, что регулировка одного из узлов вносила неточности, затрудняя поддержание точного параллелизма осей обоих узлов. Вместо этого он прочно закрепил ножевые лезвия на стержне и регулировал период маятника с помощью небольшого подвижного груза (b, c) на стержне маятника. Поскольку сила тяжести изменяется не более чем на 0,5% на всей Земле, а в большинстве мест – значительно меньше, груз требовалось лишь незначительно корректировать. Перемещение груза к одному из узлов уменьшало период при подвешивании на этом узле и увеличивало период при подвешивании на другом. Это также давало преимущество в том, что точное измерение расстояния между осями узлов требовалось выполнить только один раз.
Kater built a pendulum consisting of a brass rod about 2 meters long, 1 1/2 inches wide and one eighth inch thick, with a weight (d) on one end. For a low friction pivot he used a pair of short triangular 'knife' blades attached to the rod. In use the pendulum was hung from a bracket on the wall, supported by the edges of the knife blades resting on flat agate plates. The pendulum had two of these knife blade pivots (a), facing one another, about a meter (40 in) apart, so that a swing of the pendulum took approximately one second when hung from each pivot. Kater found that making one of the pivots adjustable caused inaccuracies, making it hard to keep the axis of both pivots precisely parallel. Instead he permanently attached the knife blades to the rod, and adjusted the periods of the pendulum by a small movable weight (b,c) on the pendulum shaft. Since gravity only varies by a maximum of 0.5% over the Earth, and in most locations much less than that, the weight only had to be adjusted slightly. Moving the weight toward one of the pivots decreased the period when hung from that pivot, and increased the period when hung from the other pivot. This also had the advantage that the precision measurement of the separation between the pivots only had to be made once.
Экспериментальная процедура
Для использования маятник подвешивался на кронштейне к стене, при этом опоры ножа поддерживались на двух небольших горизонтальных агатовых пластинах перед прецизионными маятниковыми часами для измерения периода. Сначала его раскачивали с одной опоры, измеряя период колебаний, затем переворачивали и раскачивали с другой опоры, снова измеряя период. Небольшой груз (b) регулировался регулировочным винтом, и процесс повторялся до тех пор, пока период колебаний маятника не стал одинаковым при раскачивании с каждой опоры. Подставляя измеренный период T и измеренное расстояние между опорами L в уравнение периода (1), можно было очень точно вычислить g. Катер провёл 12 измерений.
To use, the pendulum was hung from a bracket on a wall, with the knife blade pivots supported on two small horizontal agate plates, in front of a precision pendulum clock to time the period. It was swung first from one pivot, and the oscillations timed, then turned upside down and swung from the other pivot, and the oscillations timed again. The small weight (b) was adjusted with the adjusting screw, and the process repeated until the pendulum had the same period when swung from each pivot. By putting the measured period T, and the measured distance between the pivot blades L, into the period equation (1), g could be calculated very accurately. Kater performed 12 trials.
Использование
Значительное повышение точности измерений силы тяжести, ставшее возможным благодаря маятнику Катера, утвердило гравиметрию в качестве неотъемлемой части геодезии. Для практического применения требовалось точно определять местоположение (широту и долготу) "станции", где проводилось измерение силы тяжести, поэтому измерения с помощью маятника вошли в практику геодезических съемок. Маятники Катера использовались в масштабных исторических геодезических экспедициях, проводившихся по всему миру в XIX веке. В частности, они применялись при Великой тригонометрической съемке Индии. Обратимые маятники оставались стандартным методом абсолютных гравиметрических измерений до 1950-х годов, когда их вытеснили гравиметры свободного падения.
The large increase in gravity measurement accuracy made possible by Kater's pendulum established gravimetry as a regular part of geodesy. To be useful, it was necessary to find the exact location (latitude and longitude) of the 'station' where a gravity measurement was taken, so pendulum measurements became part of surveying. Kater's pendulums were taken on the great historic geodetic surveys of much of the world that were being done during the 19th century. In particular, Kater's pendulums were used in the Great Trigonometric Survey of India. Reversible pendulums remained the standard method used for absolute gravity measurements until they were superseded by free fall gravimeters in the 1950s.
Перепродано маятник Бесселя
Повторное измерение времени каждого периода маятника Катера и подгонка весов до их уравновешивания были трудоемкими и подверженными ошибкам. Фридрих Бессель показал в 1826 году, что это излишне. Пока периоды, измеряемые от каждой точки подвеса, T1 и T2, близки по значению, период T эквивалентного простого маятника можно вычислить по следующей формуле:
Repeatedly timing each period of a Kater pendulum, and adjusting the weights until they were equal, was time consuming and error prone. Friedrich Bessel showed in 1826 that this was unnecessary. As long as the periods measured from each pivot, T1 and T2, are close in value, the period T of the equivalent simple pendulum can be calculated from them:
Здесь и – расстояния двух точек подвеса от центра тяжести маятника. Расстояние между точками подвеса, , можно измерить с высокой точностью. Величины и , а следовательно, и их разность , нельзя измерить с сопоставимой точностью. Их определяют, балансируя маятник на острие, чтобы найти его центр тяжести, и измеряя расстояния от каждой точки подвеса до центра тяжести. Однако, поскольку значительно меньше , второй член в правой части приведенного выше уравнения мал по сравнению с первым, поэтому не требуется определять с высокой точностью, и описанной выше процедуры балансировки достаточно для получения точных результатов. Следовательно, маятник не обязательно должен быть регулируемым; он может быть просто стержнем с двумя точками подвеса. Пока каждая точка подвеса находится близко к центру колебаний другой, так что два периода близки, период T эквивалентного простого маятника можно вычислить по уравнению (2), а ускорение свободного падения – по T и L, используя уравнение (1). Кроме того, Бессель показал, что если маятник имеет симметричную форму, но внутренне утяжелен на одном конце, то ошибка, вызванная сопротивлением воздуха, будет компенсироваться. Также, другую ошибку, вызванную конечным диаметром краев точек подвеса, можно компенсировать, меняя местами эти края. Бессель не строил такой маятник, но в 1864 году Адольф Репсольд, по заказу Швейцарской геодезической комиссии, разработал симметричный маятник длиной 56 см с взаимозаменяемыми лезвиями точек подвеса и периодом около 3/4 секунды. Маятник Репсольда широко использовался швейцарскими и российскими геодезическими службами, а также в службе геодезии Индии. Другие широко используемые маятники этой конструкции были изготовлены Чарльзом Пирсом и С. Деффоржем.
Here and are the distances of the two pivots from the pendulum's center of gravity. The distance between the pivots, , can be measured with great accuracy. and , and thus their difference , cannot be measured with comparable accuracy. They are found by balancing the pendulum on a knife edge to find its center of gravity, and measuring the distances of each of the pivots from the center of gravity. However, because is so much smaller than , the second term on the right in the above equation is small compared to the first, so doesn't have to be determined with high accuracy, and the balancing procedure described above is sufficient to give accurate results. Therefore, the pendulum doesn't have to be adjustable at all, it can simply be a rod with two pivots. As long as each pivot is close to the center of oscillation of the other, so the two periods are close, the period T of the equivalent simple pendulum can be calculated with equation (2), and the gravity can be calculated from T and L with (1). In addition, Bessel showed that if the pendulum was made with a symmetrical shape, but internally weighted on one end, the error caused by effects of air resistance would cancel out. Also, another error caused by the finite diameter of the pivot knife edges could be made to cancel out by interchanging the knife edges. Bessel didn't construct such a pendulum, but in 1864 Adolf Repsold, under contract to the Swiss Geodetic Commission, developed a symmetric pendulum 56 cm long with interchangeable pivot blades, with a period of about 3/4 second. The Repsold pendulum was used extensively by the Swiss and Russian Geodetic agencies, and in the Survey of India. Other widely used pendulums of this design were made by Charles Peirce and C. Defforges.
Международная ассоциация геодезии
На конференции по европейским дуговым измерениям 1875 года обсуждался вопрос о наилучшем инструменте для определения силы тяжести. Ассоциация отдала предпочтение реверсионному маятнику и приняла решение повторить определение силы тяжести в Берлине, на станции, где Фридрих Вильгельм Бессель провел свои знаменитые измерения, используя различные типы приборов, применяемых в разных странах, чтобы сравнить их и установить соотношение между их шкалами, после углубленной дискуссии, в которой участвовал американский ученый Чарльз Сандерс Пирс. Поскольку форму Земли можно было вывести из изменений длины секундного маятника, руководство Береговой геодезической службы США весной 1875 года поручило Чарльзу Сандерсу Пирсу отправиться в Европу для проведения маятниковых экспериментов на ключевых начальных станциях, чтобы сопоставить определения силы тяжести в Америке с определениями, полученными в других частях мира, а также для тщательного изучения методов проведения подобных исследований в различных европейских странах. Определение силы тяжести с помощью реверсионного маятника подвергалось воздействию двух типов ошибок: сопротивления воздуха и движений, которые колебания маятника передавали плоскости его подвеса. Эти движения были особенно заметны при использовании аппарата, разработанного братьями Репсольдами по указаниям Бесселя, поскольку маятник имел большую массу для компенсации влияния вязкости воздуха. Пока Эмиль Плантамур проводил серию экспериментов с этим прибором, Адольф Хирш разработал способ демонстрации движений плоскости подвеса маятника с помощью оригинального метода оптического усиления. Исаак Чарльз Элизе Селье, математик из Женевы, и Чарльз Сандерс Пирс независимо друг от друга разработали формулу коррекции, позволявшую использовать наблюдения, полученные с помощью этого типа гравиметра. Карлос Ибанес Ибанес де Иберо, президент Постоянной комиссии по европейским дуговым измерениям с 1874 по 1886 год, стал первым президентом Международной геодезической ассоциации (1887–1891) после смерти Иоганна Якоба Баейера. Под руководством Ибанеса Международная геодезическая ассоциация приобрела глобальный масштаб с присоединением Соединенных Штатов, Мексики, Чили, Аргентины и Японии. В результате работы Международной геодезической ассоциации в 1901 году Фридрих Роберт Гельмерт, в основном на основе гравиметрических данных, определил параметры эллипсоида, удивительно близкие к реальным значениям.
The 1875 Conference of the European Arc Measurement dealt with the best instrument to be used for the determination of gravity. The association decided in favor of the reversion pendulum and it was resolved to redo in Berlin, in the station where Friedrich Wilhelm Bessel made his famous measurements, the determination of gravity by means of devices of various kinds employed in different countries, in order to compare them and thus to have the equation of their scales, after an in depth discussion in which an American scholar, Charles Sanders Peirce, took part. Indeed, as the figure of the Earth could be inferred from variations of the seconds pendulum length, the United States Coast Survey's direction instructed Charles Sanders Peirce in the spring of 1875 to proceed to Europe for the purpose of making pendulum experiments to chief initial stations for operations of this sort, in order to bring the determinations of the forces of gravity in America into communication with those of other parts of the world; and also for the purpose of making a careful study of the methods of pursuing these researches in the different countries of Europe. The determination of gravity by the reversible pendulum was subject to two types of error. On the one hand the resistance of the air and on the other hand the movements that the oscillations of the pendulum imparted to its plane of suspension. These movements were particularly important with the apparatus designed by the Repsold brothers on the indications of Bessel, because the pendulum had a large mass in order to counteract the effect of the viscosity of the air. While Emile Plantamour was carrying out a series of experiments with this device, Adolph Hirsch found a way to demonstrate the movements of the pendulum's suspension plane by an ingenious process of optical amplification. Isaac Charles Élisée Cellérier, a mathematician from Geneva and Charles Sanders Peirce would independently develop a correction formula that allowed the use of the observations made with this type of gravimeter. President of the Permanent Commission of the European Arc Measurement from 1874 to 1886, Carlos Ibáñez Ibáñez de Ibero became the first president of the International Geodetic Association (1887–1891) after the death of Johann Jacob Baeyer. Under Ibáñez's presidency, the International Geodetic Association acquired a global dimension with the accession of the United States, Mexico, Chile, Argentina and Japan. As a result of the work of the International Geodetic Association, in 1901, Friedrich Robert Helmert found, mainly by gravimetry, parameters of the ellipsoid remarkably close to reality.