Введение

О репрезентативности контравариантного функтора на категории связных CW-комплексов
В математике теорема Брауна о репрезентативности в теории гомотопий дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы контравариантный функтор F на гомотопической категории Hotc связных CW-комплексов с выделенной точкой, в категорию множеств Set, был репрезентабельным функтором. Более конкретно, задан функтор

F: Hotcop → Set,

и существуют определенные, очевидно необходимые условия для того, чтобы F имел вид Hom(—, C), где C — связный CW-комплекс с выделенной точкой, которые можно вывести исключительно из теории категорий. Суть теоремы заключается в том, что эти необходимые условия являются также и достаточными. По техническим причинам теорему часто формулируют для функторов в категорию множеств с выделенной точкой; другими словами, множествам также задается базовая точка.

Варианты

Поскольку гомотопическая категория комплексов CW эквивалентна локализации категории всех топологических пространств по слабым эквивалентностям гомотопии, теорему можно эквивалентно сформулировать для функторов на категории, определенной таким образом. Однако теорема неверна без ограничения на связные указанные пространства, и аналогичное утверждение для неуказанных пространств также неверно. Аналогичное утверждение, однако, справедливо для спектров вместо комплексов CW. Браун также доказал общую категорную версию теоремы о представимости, которая включает в себя как версию для связных указанных комплексов CW, так и версию для спектров. Версия теоремы о представимости в случае триангулированных категорий принадлежит Амнону Ниману. Вместе с предыдущим замечанием, она дает критерий для (ковариантного) функтора F: C → D между триангулированными категориями, удовлетворяющими определенным техническим условиям, для существования правого сопряженного функтора. А именно, если C и D — триангулированные категории, причём C компактно порождена, а F — триангулированный функтор, коммутирующий с произвольными прямыми суммами, то F является левым сопряженным. Ниман применил это к доказательству теоремы двойственности Гротендика в алгебраической геометрии. Джейкоб Лурье доказал версию теоремы о представимости Брауна для гомотопической категории указанной квазикатегории с компактным множеством генераторов, которые являются когрупповыми объектами в гомотопической категории. Например, это применимо к гомотопической категории связных указанных комплексов CW, а также к неограниченной производной категории абелевой категории Гротендика (ввиду более высокой категорной усовершенствованности производной категории, предложенной Лурье).