Введение
Визуализация резких изменений поведения, вызванных непрерывным изменением параметров. В математике, особенно в динамических системах, диаграмма бифуркации отображает значения, достигаемые или асимптотически приближаемые (фиксированные точки, периодические орбиты или хаотические аттракторы) системой как функцию параметра бифуркации. Обычно стабильные значения изображаются сплошной линией, а нестабильные – пунктирной, хотя часто нестабильные точки опускаются. Диаграммы бифуркации позволяют визуализировать теорию бифуркаций. В контексте дискретных динамических систем диаграмма также называется диаграммой орбит.
In mathematics, particularly in dynamical systems, a bifurcation diagram shows the values visited or approached asymptotically (fixed points, periodic orbits, or chaotic attractors) of a system as a function of a bifurcation parameter in the system. It is usual to represent stable values with a solid line and unstable values with a dotted line, although often the unstable points are omitted. Bifurcation diagrams enable the visualization of bifurcation theory. In the context of discrete time dynamical systems, the diagram is also called orbit diagram.
Приложения
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, описывающую некоторую физическую величину, которая, для конкретности, может представлять один из трех примеров: 1. положение и скорость незатухающего и не имеющего трения маятника, 2. изменение мембранного потенциала нейрона во времени и 3. среднюю концентрацию вируса в кровотоке пациента. Дифференциальные уравнения для этих примеров включают *параметры*, которые могут влиять на результат решения уравнений. Изменение массы и длины маятника повлияет на частоту его колебаний, изменение величины инъецируемого тока в нейрон может вызвать переход мембранного потенциала от состояния покоя к генерации импульсов, а долгосрочная вирусная нагрузка в кровотоке может снизиться при правильно подобранном времени проведения лечения. В общем случае, исследователи стремятся количественно оценить, как изменяется долгосрочное (асимптотическое) поведение системы дифференциальных уравнений при изменении параметра. В математике, в области динамических систем, диаграмма бифуркации позволяет количественно оценить эти изменения, показывая, как фиксированные точки, периодические орбиты или хаотические аттракторы системы изменяются в зависимости от параметра бифуркации. Бифуркационные диаграммы используются для визуализации этих изменений.